基于改進(jìn)滑模變結(jié)構(gòu)的加筋板振動(dòng)控制研究

馬天兵 丁威海 周青 杜菲

摘 要：針對(duì)外部持續(xù)激勵(lì)下加筋板振動(dòng)滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間較長(zhǎng)，且存在抖振現(xiàn)象的問(wèn)題，在傳統(tǒng)冪次、指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的自適應(yīng)因子，形成了一種改進(jìn)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，并證明其收斂性。分析3種不同趨近律對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)控制的效果，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的方法取得了比傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)算法更優(yōu)的控制效果，能在一定程度上削弱抖振。

關(guān)鍵詞：加筋板;滑模變結(jié)構(gòu)控制;改進(jìn)趨近律;振動(dòng)

中圖分類號(hào)： TP273.5? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-1098（2021）01-0007-06

收稿日期：2020-05-20

基金項(xiàng)目：安徽高校自然科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（KJ2020A0281）;安徽省博士后基金資助項(xiàng)目（2017B172）;安徽高校協(xié)同創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（GXXT-2019-048）;安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2008085ME178）;安徽高校學(xué)科（專業(yè)）拔尖人才學(xué)術(shù)資助項(xiàng)目（gxbjZD2020063）

作者簡(jiǎn)介：馬天兵（1981-），男，安徽廬江人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向：壓電能量回收、振動(dòng)主動(dòng)控制方面研究。

Research on Vibration Control of Stiffened Plate Based on?? Improved Sliding Mode Variable Structure

MA Tianbing，? DING Weihai，? ZHOU Qing，? DU Fei

（School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui 232001， China）

Abstract：To the problem that the sliding mode variable structure control system of the stiffened plate vibration with external continuous excitation takes a long time to enter the steady state and the chattering phenomenon is relatively obvious， a new adaptive factor is constructed on the basis of the traditional power and exponential approach law forming an improved sliding mode variable structure control algorithm of the approach law， and its convergence is proved. The results of simulation and experiment show that the improved method has better control effect than the traditional algorithm and will weaken chattering to a certain extent.

Key words：stiffened plate; sliding mode variable structure control; improved approach law; vibration

隨著工業(yè)領(lǐng)域?qū)τ诓牧细黜?xiàng)性能要求的提高，高強(qiáng)度、強(qiáng)耐用性的加筋板結(jié)構(gòu)的應(yīng)用也愈發(fā)廣泛。但是當(dāng)加筋板結(jié)構(gòu)受到外力擾動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，并帶來(lái)一系列不利影響，因此對(duì)其振動(dòng)的控制十分必要[1-3]。加筋板控制系統(tǒng)中常采用反饋控制、線性二次高斯（LQR）、魯棒控制等方法，其中，滑模變結(jié)構(gòu)控制廣受國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的青睞[4-6]。

滑模變結(jié)構(gòu)控制算法屬于非線性控制算法范疇，此控制策略與其他方法不同之處在于系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)變化的，控制過(guò)程中無(wú)需系統(tǒng)在線識(shí)別，并且不受系統(tǒng)參數(shù)的影響，這就使得滑模變結(jié)構(gòu)控制具有一定的抗干擾能力，具備魯棒性[7-9]。文獻(xiàn)[10]利用自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，解決航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中的強(qiáng)非線性位姿控制問(wèn)題，并且消除了外界不確定擾動(dòng)力對(duì)于航天器飛行姿勢(shì)形態(tài)的干擾。該方法很好地凸顯了滑模變控制算法具有的較優(yōu)的抗擾動(dòng)效果。文獻(xiàn)[11]對(duì)PWM整流器模型預(yù)測(cè)控制穩(wěn)態(tài)波紋大、采樣頻率高、開關(guān)頻率不固定等問(wèn)題，結(jié)合了滑模控制，研究了一種新的種改進(jìn)的模型預(yù)測(cè)控制方法。相對(duì)于傳統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制，改進(jìn)后的方法能夠顯著地減小功率脈動(dòng)，增強(qiáng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)特性，取得了不錯(cuò)的效果。文獻(xiàn)[12]在研究磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)，結(jié)合該系統(tǒng)的強(qiáng)非線性特征，提出一種Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，并設(shè)計(jì)了4輸入4輸出的控制策略，使得磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有了更高效的控制。此方法與傳統(tǒng)的PID控制器的控制結(jié)果相比，具有很好的抗干擾能力，并且在很短的響應(yīng)時(shí)間內(nèi)減弱抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[13]對(duì)于汽車制動(dòng)過(guò)程中防抱死制動(dòng)系統(tǒng)具有的非線性、時(shí)變性和不確定性的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了以最佳滑移率為目標(biāo)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，并且采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)調(diào)整滑模變結(jié)構(gòu)控制器參數(shù)，削弱了滑模變結(jié)構(gòu)控制中的抖振現(xiàn)象，并能使車輛具有良好的制動(dòng)效果。盡管滑模變結(jié)構(gòu)控制具有很好的抗擾動(dòng)能力，但控制抖振現(xiàn)象在滑模變結(jié)構(gòu)控制中一直存在，但抖振的產(chǎn)生與控制的抗擾動(dòng)能力是相關(guān)的，需要權(quán)衡兩者以達(dá)到較好的穩(wěn)態(tài)。

針對(duì)滑模變結(jié)構(gòu)控制中的抖振問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]在滑模算法控制電機(jī)的基礎(chǔ)上加入了模糊切換增益控制，不但沒(méi)有影響滑?？刂祈憫?yīng)速度快的優(yōu)點(diǎn)，并且相對(duì)于單純的滑?？刂齐姍C(jī)，加入模糊切換增益算法，有效的減少了電機(jī)跟蹤正弦曲線的抖動(dòng)。文獻(xiàn)[15]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑模變結(jié)構(gòu)相結(jié)合的復(fù)合控制方法來(lái)解決這一問(wèn)題，并在伺服系統(tǒng)的時(shí)變性問(wèn)題上得到了應(yīng)用。但大部分學(xué)者通過(guò)研究如何改進(jìn)滑模變結(jié)構(gòu)中的趨近律，來(lái)減弱抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[16]在研究永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)問(wèn)題時(shí)，設(shè)計(jì)一種新型滑模趨近律，對(duì)比電機(jī)在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律下的轉(zhuǎn)矩抖動(dòng)，該方法使抖動(dòng)得到了很大的改善。并且該新型趨近律下的控制系統(tǒng)具有抖動(dòng)小，自適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[17]提出一種將分?jǐn)?shù)階PI與變速趨近律相結(jié)合的改進(jìn)型PI趨近律，基于該改進(jìn)趨近律下的滑模控制算法減弱了系統(tǒng)輸出的抖振問(wèn)題，并且魯棒性強(qiáng)。綜上，研究學(xué)者們?cè)诳粗谢Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制具有抗干擾優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，通過(guò)對(duì)趨近律進(jìn)行改進(jìn)來(lái)獲取抖振小、魯棒性強(qiáng)的控制系統(tǒng)成了振動(dòng)研究的熱門與趨勢(shì)。

針對(duì)滑?？刂葡到y(tǒng)抖振等問(wèn)題，本文選擇壓電加筋板作為研究對(duì)象，對(duì)傳統(tǒng)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，并證明其收斂性，為驗(yàn)證改進(jìn)趨近律控制效果，搭建加筋板仿真控制系統(tǒng)和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證改進(jìn)算法的控制有效性和優(yōu)越性。

1 滑模變結(jié)構(gòu)原理及收斂性證明

抖振問(wèn)題是滑模變結(jié)構(gòu)控制中一直存在的問(wèn)題，也是歷來(lái)人們研究的重點(diǎn)，其特點(diǎn)在于它可以削弱但不可消除，如果消除了抖振，也就消除了變結(jié)構(gòu)控制對(duì)外界抗擾動(dòng)的能力，從而失去魯棒性。為了削弱控制的抖振問(wèn)題，同時(shí)又要在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面，并且快速趨近滑動(dòng)模態(tài)，那么，可以從趨近律方面入手，進(jìn)而改善運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。目前較為常見的有

（1）指數(shù)趨近律

s·=-ε sgns-ks ?ε>0，k>0（1）

式中：s為超曲面，k是趨近律，ks為指數(shù)趨近項(xiàng)，sgn為符號(hào)函數(shù)，ε為速度。

其中，ks為指數(shù)趨近項(xiàng)，當(dāng)s較大時(shí)，即運(yùn)動(dòng)點(diǎn)離切換面較遠(yuǎn)，系統(tǒng)能快速趨近切換面，并且指數(shù)趨近律還能使運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在即將到達(dá)切換面時(shí)速度較小。同時(shí)為了保證有限時(shí)間內(nèi)抵達(dá)切換面，滿足切換面上存在滑動(dòng)模態(tài)的條件，式中等速趨近項(xiàng) 的作用就是使運(yùn)動(dòng)點(diǎn)接近切換面時(shí)，速度是 而不是0，保證有限時(shí)間內(nèi)趨近。

（2）冪次趨近律

s·=-k|s|αsgns ?k>0，α>0（2）

式中：α為常數(shù)。

同樣為了較快進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，冪次趨近律可以調(diào)整 值大小，使運(yùn)動(dòng)點(diǎn)離滑動(dòng)模態(tài)較遠(yuǎn)時(shí)以較快的速度向它靠近，靠近滑動(dòng)模態(tài)（s較?。r(shí)，則保持較小的控制增益，可以降低抖振。

結(jié)合考慮傳統(tǒng)冪次、指數(shù)趨近律的優(yōu)缺點(diǎn)對(duì)趨近律進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)趨近律如下

s·=-k0|s|sgn s-ks ?k0>0，k>0（3）

改進(jìn)的趨近律可以看成在指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上把速度項(xiàng)改成k0|s|，使系統(tǒng)接近切換面即s越小時(shí)，趨近速度越小，減少抖振;也可以看成對(duì)冪次趨近律增加了一個(gè)指數(shù)項(xiàng)-ks，使運(yùn)動(dòng)點(diǎn)離切換面較遠(yuǎn)時(shí)以一個(gè)較快的速度趨近切換面，保證快速趨近，這樣就滿足了快速趨近和較少抖振的需求。

“滑模”區(qū)域上的點(diǎn)都是終止點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)在該區(qū)域運(yùn)動(dòng)將會(huì)被“吸引”在該區(qū)域，該區(qū)域附近的點(diǎn)都將滿足

lims→0ss·≤0（4）

為了說(shuō)明改進(jìn)趨近律的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也具有這一特性，需要對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。首先，根據(jù)實(shí)際被控對(duì)象壓電加筋板模型

x··=-f（x，t）+bu（t）+d（t）（5）

式中：x代表結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移，f（x，t）是加筋板振動(dòng)函數(shù)，b為常數(shù)，u（t）為控制輸出電壓，d（t）為外界干擾。

以及跟蹤誤差：e（t）=xd（t）-x（t），其中，xd（t）和x（t）分別是參考模型的位移以及加筋板的實(shí)際位移。

對(duì)其進(jìn)行滑模函數(shù)設(shè)計(jì)為

s（t）=ce（t）+e·（t）（6）

式中：c>0。

對(duì)式（6）進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到如下

s·（t）=ce·（t）+e··（t）=c（x·d（t）-x·（t））+（x··d（t）-x··（t））=c（x·d（t）-x·（t））+（x··

d（t）+f（x，t）-bu（t））-d（t））（7）

由式（3）和式（7）可以得到等式

c（x·d（t）-x·（t））+（x··d（t）+f（x，t）-bu（t））-d（t））=-k0|s|sgn s-ks（8）

將上式化簡(jiǎn)，則可以得到

u（t）=1b（k0|s|sgn s+ks+c（x·d（t）-x·（t））+x··d（t）+f（x，t）-d（t））（9）

對(duì)于干擾d（t），由于是未知，我們可以利用干擾界來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。將d（t）取為dc，其中dc為跟干擾界相關(guān)的正實(shí)數(shù)。則

u（t）=1b（k0|s|sgn s+ks+c（x·d（t）-x·（t））+x··d（t）+f（x，t）-dc）（10）

將式（12）代入式（8）中并化簡(jiǎn)得到

s·=-k0|s|sgn s-ks+dc-d（t）（11）

假使對(duì)于d（t）干擾的上下界為dL和dU，則

dL≤d（t）≤dU（12）

那么對(duì)于實(shí)數(shù)dc的選取，如下

當(dāng)s（t）>0時(shí)，s·=-k0s-ks+dc-d（t），為了使ss·≤0，則取dc=dL。

當(dāng)s（t）<0時(shí)，s·=-k0s-ks+dc-d（t），為了使ss·≤0，則取dc=dU。

因此，對(duì)dc進(jìn)行設(shè)計(jì)如下

dc=dU+dL2-dU-dL2sgn s（13）

即能保證在dc可取的范圍內(nèi)，改進(jìn)趨近律后的滑模運(yùn)動(dòng)滿足lims→0ss·≤0的收斂條件。

2 改進(jìn)滑模變結(jié)構(gòu)仿真控制

2.1 加筋板模態(tài)參數(shù)識(shí)別

搭建加筋板實(shí)物作為后續(xù)控制研究對(duì)象，具體為尺寸為400mm×600mm×1.2mm的壁板。主要控制的是加筋板的第一階模態(tài)振動(dòng)。實(shí)驗(yàn)中的掃頻信號(hào)采用60～300Hz的正弦信號(hào)對(duì)加筋板進(jìn)行掃頻激勵(lì)，利用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法獲取的一階模態(tài)振動(dòng)頻率為f1=213.4Hz，運(yùn)用半功率帶寬阻尼分析法得第一階阻尼比為ξ=-0.012 9，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得δM-1=0.1m，其中δ為力因子，M為一階模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量。

綜合上述結(jié)果可得一階模態(tài)的空間狀態(tài)方程為

X·=01-1 801 201.2-34.6X+00.1uY=01X??????????? （14）

2.2 仿真結(jié)果及分析

在MATLAB里編寫指數(shù)趨近律、冪次趨近律和改進(jìn)趨近律3種滑?？刂破鞒绦?， 為保證對(duì)比有效性， 其中共同參數(shù)選擇相同值， 令k=100、c=50、 k0=1 000、 b=0.07; 而不同算法內(nèi)的獨(dú)屬參數(shù)則選擇效果最佳參數(shù)，多次實(shí)驗(yàn)下發(fā)現(xiàn)取值ε=2、α=1.5時(shí)效果最佳。

分別對(duì)不同趨近律控制器下的系統(tǒng)進(jìn)行仿真控制，激勵(lì)信號(hào)設(shè)置相同，系統(tǒng)中積分初始值均取0，仿真時(shí)間為0.5s，經(jīng)過(guò)仿真控制系統(tǒng)運(yùn)行，3種不同控制算法下控制前及控制后的振動(dòng)位移對(duì)比結(jié)果如圖1～圖3所示。

根據(jù)圖1～圖3仿真控制結(jié)果可知，三種控制均達(dá)到了振動(dòng)控制的效果，但控制效果的好壞存在差異。3種控制方法在未控制前的振動(dòng)位移均穩(wěn)定在2.11×10-5m左右，在分別基于指數(shù)趨近律、冪次趨近律以及改進(jìn)趨近律的3種滑模控制器下，振動(dòng)位移分別被控制至6.70×10-6m、7.52×10-6m、4.95×10-6m，可以看出，基于改進(jìn)趨近律控制下的控制結(jié)果振動(dòng)位移最低，振動(dòng)控制效果最佳。根據(jù)振動(dòng)控制波形結(jié)果可知，改進(jìn)趨近律的滑?？刂瓶墒贡豢卣駝?dòng)信號(hào)更快進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)圖4可知，相對(duì)于指數(shù)趨近律和冪次趨近律，采用改進(jìn)趨近律控制后的抖振現(xiàn)象不顯著，說(shuō)明該方法對(duì)抖振實(shí)現(xiàn)了較好的抑制作用。仿真效果綜合來(lái)看，基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂破髂軌蚝芎玫貙?shí)現(xiàn)振動(dòng)控制，并且具有一定的優(yōu)越性。

3 改進(jìn)滑模變結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

本壓電加筋板振動(dòng)主動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)是在CompactRIO（CRIO）平臺(tái)下的振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)，所用壓電傳感片和壓電作動(dòng)片的尺寸規(guī)格是50mm×50mm×0.2mm，粘貼于加筋板一階模態(tài)振動(dòng)最大處前后對(duì)稱位置。由信號(hào)發(fā)生器輸出正弦激勵(lì)信號(hào)，激勵(lì)信號(hào)的頻率設(shè)置為加筋板一階模態(tài)頻率213Hz，經(jīng)過(guò)功率放大器放大后，通過(guò)激振器作用于加筋板上，CRIO的信號(hào)采集模塊采集壓電傳感片振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，經(jīng)過(guò)CRIO實(shí)時(shí)分析運(yùn)算后由輸出卡輸出控制制加筋板振動(dòng)，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖5所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

在信號(hào)發(fā)生器中設(shè)置正弦激勵(lì)信號(hào)，頻率為213Hz，通道采樣率設(shè)置為10k，根據(jù)模態(tài)分析中的內(nèi)容，加筋板參數(shù)取上文求取的模態(tài)參數(shù)?？刂破鲄?shù)按照仿真中選取的參數(shù)設(shè)定。實(shí)驗(yàn)時(shí)首先運(yùn)行控制程序，待程序運(yùn)行起來(lái)并且前面板中出現(xiàn)信號(hào)波形圖，然后打開信號(hào)發(fā)生器，設(shè)定好激勵(lì)信號(hào)后選擇輸出，驅(qū)動(dòng)激振器進(jìn)行激勵(lì)，然后逐步緩慢調(diào)節(jié)功率放大器，調(diào)節(jié)輸出控制信號(hào)的放大倍數(shù)直至運(yùn)行穩(wěn)定，并確保每種趨近律下的未控制前的電壓幅值一致，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到不同趨近律下的振動(dòng)控制結(jié)果如圖5～圖7所示。為更好的說(shuō)明控制效果，頻譜選擇包含213Hz振動(dòng)頻率的100～500Hz頻段結(jié)果進(jìn)行顯示，由于頻率分辨率的影響，該頻段主要振動(dòng)頻率較為顯著。

根據(jù)圖6～圖8實(shí)驗(yàn)的時(shí)頻域結(jié)果可知，基于改進(jìn)趨近律的滑模變振動(dòng)控制算法實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)控制，由未控制的2.002V下降至了0.972 1V，降低了51.4%，相較于指數(shù)趨近律30.7%以及冪次趨近律的36.4%的控制效果，明顯較優(yōu)。相對(duì)于指數(shù)趨近律以及冪次趨近律，基于改進(jìn)趨近律抖振的高頻振蕩也得到了一定程度的削弱。

4 總結(jié)

本文綜合考慮傳統(tǒng)冪次、指數(shù)趨近律的優(yōu)缺點(diǎn)，并在傳統(tǒng)趨近律的基礎(chǔ)上作了改進(jìn)，得到新的改進(jìn)趨近律，推導(dǎo)出基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂破骱瘮?shù)，并驗(yàn)證了其穩(wěn)定性。在Simulink中設(shè)計(jì)振動(dòng)控制仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，仿真結(jié)果表明，相對(duì)傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和冪次趨近律滑?？刂?，改進(jìn)趨近律的控制效果較佳，振動(dòng)控制進(jìn)入穩(wěn)態(tài)較快，振動(dòng)抑制效果也有所改進(jìn)。此外，設(shè)計(jì)并搭建壓電加筋板振動(dòng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行振動(dòng)控制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果同樣表明，基于改進(jìn)趨近律的滑?？刂破骺刂菩Ч蛇_(dá)到51.4%，能夠較好地實(shí)現(xiàn)振動(dòng)控制，能在一定程度上削弱抖振，并且相較于傳統(tǒng)趨近律控制也具有明顯的優(yōu)越性。

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（責(zé)任編輯：李 麗）