基于非線型滑動面假設(shè)的盾構(gòu)隧道松動土壓力計算模型研究

王 將，袁大軍，金大龍，鄭愛元，孫慶文

(1.北京交通大學(xué) 城市地下工程教育部重點實驗室， 北京 100044；2.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044；3.深圳市地鐵集團(tuán)有限公司，廣東 深圳 518026；4.濟(jì)南軌道交通集團(tuán)有限公司，山東 濟(jì)南 250014)

土拱效應(yīng)下盾構(gòu)隧道的松動土壓力的預(yù)測對于盾構(gòu)隧道的合理設(shè)計與安全施工是至關(guān)重要的。關(guān)于土拱效應(yīng)的理論與實驗研究較多，Terzaghi[1]基于Trapdoor實驗和極限狀態(tài)分析所提出的松動土壓力計算方法應(yīng)用最為廣泛。Terzaghi認(rèn)為松動土體的滑動破壞界面上存在一定的剪切力阻礙下沉，將土拱效應(yīng)解釋為松動土與周圍土體應(yīng)力傳遞，在此基礎(chǔ)上，建立極限狀態(tài)力學(xué)模型，很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上深入研究了土拱效應(yīng)[2-11]。

很多研究是建立在豎直線型滑動面假設(shè)基礎(chǔ)上的，在該假設(shè)下松動土壓力的計算模型建立與公式推導(dǎo)相對簡單。Terzaghi[1]認(rèn)為隧道拱頂松動區(qū)兩側(cè)的滑動邊界為豎直線型邊界，在該假設(shè)下推導(dǎo)得出隧道結(jié)構(gòu)的松動土壓力計算公式；Handy[2]考慮主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)，認(rèn)為拱跡線為小主應(yīng)力的軌跡，并取拱跡線為懸鏈線型，推導(dǎo)了側(cè)壓力系數(shù)的計算公式；Kingsley[3]將拱跡線簡化為圓弧型，修正了Handy所提出的側(cè)壓力系數(shù)計算公式；陳若曦等[4]考慮主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，基于大主應(yīng)力拱跡線假設(shè)修正了太沙基松動土壓力計算方法；藺港等[5]基于主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)理論，建立了考慮基質(zhì)吸力的松動土壓力分析模型；宋錦虎等[6]根據(jù)實驗結(jié)果修正了靜水壓力下盾構(gòu)開挖面區(qū)域內(nèi)的側(cè)壓力系數(shù)，將其用于開挖面前方的土拱計算模型；黎春林[7]認(rèn)為主應(yīng)力偏轉(zhuǎn)角度與隧道拱頂位移相關(guān)，提出了考慮盾構(gòu)隧道施工工藝的松動土壓力計算方法。

學(xué)者們也對滑動面形狀做出其他假設(shè)，修正松動土壓力的計算模型。Shukla等[8]提出了斜直線型滑動面的假設(shè)，推導(dǎo)了松動區(qū)豎向應(yīng)力的表達(dá)式；呂華偉等[9]根據(jù)主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)理論得出了斜直線型滑動面的傾角取值方法。陳國舟等[10]和李瑞林等[11]將滑動破壞面形狀假設(shè)為拋物線，進(jìn)一步修正了松動土壓力計算方法。斜直線與拋物線型滑動面假設(shè)雖一定程度上提高了計算精度，但這兩種形狀假設(shè)均缺少相應(yīng)的實驗與理論支撐。另外，目前的松動土壓力計算模型中，滑動面剪切力的計算多是基于相關(guān)流動法則，而大量試驗表面，巖土材料并不服從關(guān)聯(lián)流動法則。

針對上述情況，本文引入滑移線場理論，考慮非關(guān)聯(lián)流動法則，對盾構(gòu)隧道的松動區(qū)滑動面公式進(jìn)行理論推導(dǎo)，基于本文的滑動面假設(shè)并考慮主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，求解了松動區(qū)邊界的側(cè)壓力系數(shù)，在此基礎(chǔ)上得出了盾構(gòu)隧道的松動土壓力計算模型。

1 盾構(gòu)隧道松動區(qū)滑動面形狀的討論

Terzaghi根據(jù)Trapdoor試驗結(jié)果，建立極限狀態(tài)力學(xué)模型，根據(jù)單元土條的豎向力平衡推導(dǎo)得出活門之上的豎向應(yīng)力表達(dá)式為

(1)

式中：γ為土的容重；φ為土體內(nèi)摩擦角；c為土體黏聚力；B為松動區(qū)寬度；P0為地表荷載；K為側(cè)壓力系數(shù)。

將該理論應(yīng)用于圓形隧道松動土壓力求解時，Terzaghi[1]認(rèn)為隧道拱頂松動區(qū)的滑動面形狀為豎直線型，見圖1。文獻(xiàn)[12-14]進(jìn)行了Trapdoor試驗，發(fā)現(xiàn)松動區(qū)滑動面形狀是隨著活門的移動量不斷變化的，活動門位移量足夠大的情況下才能達(dá)到Terzaghi所提出的豎直線型滑動面狀態(tài)，在達(dá)到極限狀態(tài)之前，滑動面形狀為弧線狀。盾構(gòu)隧道的主要特點是在施工過程中對土體的擾動相對較小，在施工過程中，通過嚴(yán)格控制掘進(jìn)面支護(hù)壓力與壁后注漿壓力等施工參數(shù)能夠有效限制上覆地層的位移。當(dāng)盾構(gòu)隧道的覆土位移受到限制時，上覆土體出現(xiàn)不完全成拱的現(xiàn)象[7]。這種不完全成拱的現(xiàn)象本質(zhì)上是上覆土體未達(dá)到主動破壞的極限狀態(tài)，類似于Trapdoor試驗中活動門的“小位移”情況，呈現(xiàn)“弧形破壞面”的狀態(tài)。

圖1 活動門試驗結(jié)果

現(xiàn)有的松動土壓力計算理論中滑動面形狀假設(shè)見圖2。由圖2可見，斜直線型滑動面假設(shè)與盾構(gòu)隧道的實際滑動面形狀不符；拋物線型滑動面假設(shè)雖適用于“弧形破壞面”的狀態(tài)，但拋物線形狀的數(shù)學(xué)表達(dá)式推導(dǎo)尚無相應(yīng)的理論可依。

圖2 滑動面形狀的假設(shè)

針對上述情況，本文引入滑移線場理論對盾構(gòu)隧道松動區(qū)的“弧形破壞面”進(jìn)行分析?，F(xiàn)在通用的平面應(yīng)變滑移線場理論最初是由Kotter提出，隨后經(jīng)一大批著名學(xué)者的完善后，于21世紀(jì)60年代基本定型[15]?；凭€場理論廣泛應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定性分析、土壓力計算和地基承載力計算等。對于巖土材料，滑移線在數(shù)學(xué)上是雙曲型微分方程的特征線，在宏觀力學(xué)上是剪切破壞的應(yīng)力跡線[16]，如果松動區(qū)的滑動面邊界上的應(yīng)力狀態(tài)均達(dá)到土體的抗剪強(qiáng)度，則滑動面的軌跡滿足滑移線場理論中應(yīng)力滑移線的特征。由上可知，使用滑移線場理論中的應(yīng)力滑移線來描述滑動面的軌跡是可行的。綜上，本文中假定“弧形滑動面”上的土體已達(dá)到其抗剪強(qiáng)度，通過求解應(yīng)力滑移線得出“弧形滑動面”軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2 基于滑移線理論的滑動面形狀表達(dá)式求解

經(jīng)典的滑移場理論實際上隱含著一個假定，即材料服從相關(guān)聯(lián)的流動法則，材料的剪脹角等于材料的內(nèi)摩擦角，而大量實驗表面巖土體并不服從相關(guān)流動法則，對于M-C準(zhǔn)則的巖土介質(zhì)，采用相關(guān)聯(lián)的流動法則會人為擴(kuò)大剪脹的作用?；诜顷P(guān)聯(lián)流動法則假定進(jìn)行滑移線的求解更為合理，所以本文采用基于非相關(guān)流動法則的滑移線場理論分析滑動面的應(yīng)力軌跡線。

2.1 服從非關(guān)聯(lián)流動法則的應(yīng)力滑移線方程

理想塑性體的平面應(yīng)變問題中，應(yīng)力滑移線是各點上的剪切破壞面的連線，每點處存在兩個相交的滑移線，見圖3。

圖3 滑移線與主應(yīng)力線

α、β為滑移線與x、y軸的夾角，滿足

(2)

式中：θ為主應(yīng)力與x軸夾角；μ′為剪應(yīng)力與主應(yīng)力的夾角。

對于M-C材料，在非相關(guān)流動法則的假定下，剪應(yīng)力與主應(yīng)力的夾角為[17]

(3)

式中：ψ為剪脹角，非關(guān)聯(lián)流動法則的條件下，滿足[18-19]

(4)

其中，η為剪脹系數(shù)，滿足0≤η≤1。

由上所述，滑移線基本方程可表示為

(5)

2.2 應(yīng)力滑移線求解

在均勻應(yīng)力場中，θ為常數(shù)，在非均勻應(yīng)力場中θ為變量。對于本文所提及的弧形滑動面，主應(yīng)力線與x軸的夾角一定是不斷變化的，屬于非均勻應(yīng)力場的情況。非均勻應(yīng)力場中，由于巖土流動方向與應(yīng)力滑移線成一角度，因而數(shù)學(xué)上應(yīng)力滑移線為對數(shù)螺旋線[20-22]。因此，應(yīng)力滑移線可假設(shè)為

r=r0exp[θA·tan(θB+ψ/2)]

(6)

式中：r為任意角下螺旋線上某點到極點距離；θA為極角；文獻(xiàn)[21-22]認(rèn)為θB為土體的膨脹角；r0為待定系數(shù)。

將式(6)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系的形式，并進(jìn)行微分，可得

(7)

由式(7)必須滿足式(5)，可得

(8)

θB計算式為[22]

(9)

將式(8)、式(9)代入式(6)，可得基于非關(guān)聯(lián)流動法則的應(yīng)力滑移線方程為

(10)

2.3 盾構(gòu)隧道的滑動面形狀表達(dá)式求解

為求解式(10)中r0，本文作出如下假定：滑動破壞面終點與水平方向垂直；在非相關(guān)流動法則的條件下，滑動破壞面起始點處與水平方向的夾角θ1=π/4+ψ/2，O2點的速度矢量轉(zhuǎn)動角為ψ，則∠O2Ox=ψ,見圖4。

圖4 本文的滑動面假設(shè)

由圖4所示幾何條件，可得

(11)

r1sinθ1=r0sin(ηφ)+Ha+R(1+sinθ1)

(12)

式中：Ha為成拱高度。

聯(lián)立式(11)與式(12)求解，可得

(13)

將式(13)代入式(10)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系，可得滑動破壞面的表達(dá)式為

(14)

式中：A1、A2為待定系數(shù)。

(15)

由式(14)可知對數(shù)螺線線型滑動面的表達(dá)式為含有隱函數(shù)的方程，難以直接用于松動土壓力的解析求解。為了簡化推導(dǎo)過程，本文將隧道頂?shù)降孛嬷g的滑動面簡化為逼近的斜直線，如圖4的中所示逼近線。

根據(jù)圖4的幾何關(guān)系，取盾構(gòu)隧道圓心點處為坐標(biāo)原點，求得斜直線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

y=A3·x+A4

(16)

式中：A3、A4為待定系數(shù)

(17)

(18)

其中，

(20)

3 松動土壓力求解

3.1 側(cè)壓力系數(shù)

在滑動邊界處，由于土體間摩擦力的影響，松動區(qū)邊界處的主應(yīng)力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)，滑移面處的豎向應(yīng)力σh與水平向應(yīng)力σv已不再是主應(yīng)力。本文基于主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)理論求解滑動面上正應(yīng)力σns與松動區(qū)豎向應(yīng)力σv的數(shù)值關(guān)系，假定拱跡線為大主應(yīng)力σ1軌跡，其形狀為圓弧形，小主應(yīng)力σ3方向偏轉(zhuǎn)后其與水平向夾角為θm，見圖5。

圖5 主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)示意圖

垂直滑動面的主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)理論中，滑動面上的剪切力完全發(fā)揮，考慮非關(guān)聯(lián)流動法則時，小主應(yīng)力σ3與水平方向的夾角為π/4+ψ/2，根據(jù)本文的滑動面假設(shè)，小主應(yīng)力σ3與水平方向的夾角θm變化為

(21)

式中：θs為滑動面與豎直方向的夾角，由圖4的幾何關(guān)系可得

(22)

剪應(yīng)力發(fā)展示意見圖6。

圖6 剪應(yīng)力發(fā)展示意

由圖6的摩爾應(yīng)力圓可得

σh=σ1sin2θm+σ3cos2θm

(23)

σv=σ1cos2θm+σ3sin2θm

(24)

(25)

式中：τ為剪應(yīng)力；θf為不完全發(fā)展的摩擦角。

最大主應(yīng)力與最小主應(yīng)力的關(guān)系為

(26)

式中：Kp為被動土壓力系數(shù)。

聯(lián)立式(25)、式(26)可得

(27)

由式(25)與式(27)可得剪應(yīng)力與豎向應(yīng)力的關(guān)系為

(28)

(29)

由圖6可知，滑動邊界上的正應(yīng)力表達(dá)示為

σns=σvcos2θs+σhsin2θs+τsin2θs

(30)

將式(28)代入式(30)，可得松動區(qū)內(nèi)豎向應(yīng)力與滑動面上正應(yīng)力之間的關(guān)系為

(31)

(32)

其中，

(33)

3.2 松動區(qū)內(nèi)豎向應(yīng)力

在松動區(qū)內(nèi)任一高度y處取厚度為dy、寬度為By的土條單元，見圖7。土條單元受力包括：微分單元土體的自重γ；作用于上下邊界的豎向應(yīng)力σv與σv-dσv；作用于滑動面上的正應(yīng)力σns和切向應(yīng)力τns。

圖7 土條單元受力狀態(tài)

根據(jù)本文的滑動面假設(shè)，任一位置處土條單元的寬度By的表達(dá)式為

By=B1+2ytanθs

(34)

式中：

B1=2R(cotθ1+sinθ1)

(35)

在非關(guān)聯(lián)流動的法則的條件下，文獻(xiàn)[19]認(rèn)為滑移線上正應(yīng)力σ*和剪應(yīng)力τ*具有類似于M-C準(zhǔn)則的關(guān)系，表達(dá)式為

(36)

式中：強(qiáng)度參數(shù)c*、φ*和M-C準(zhǔn)則中的c、φ具有相似的意義，它們之間的關(guān)系為

(37)

若土體滿足非關(guān)聯(lián)流動法則下的M-C破壞準(zhǔn)則，滑動面上的切向應(yīng)力τns可表示為

(38)

綜上，由土條單元的豎向力平衡，可得

(39)

將式(31)、式(38)代入式(39),整理后可得

(40)

式中：

(41)

取初值條件為

σv|y=Ha+R=q

(42)

式中：q為地表荷載。

求解微分方程，并將初值條件代入，得出松動區(qū)內(nèi)的豎向應(yīng)力為

式中：D1、D2、D3分別為待定系數(shù)。

(44)

(45)

(46)

同理，對于考慮黏聚力的土體，松動區(qū)內(nèi)的豎向應(yīng)力表示為

(47)

式中：D4、D5分別為待定系數(shù)。

(48)

(49)

式中：c為土體的黏聚力。

4 算例分析

4.1 與現(xiàn)場實測結(jié)果的比較

為了驗證本文計算模型的精確性，將計算結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果進(jìn)行對比?，F(xiàn)場實測地點位于蘇州地鐵某區(qū)間盾構(gòu)隧道，監(jiān)測斷面處地質(zhì)情況與測點布置見圖8，該斷面處管片外徑為6.2 m，隧道頂部覆土厚度約為11.2 m，盾構(gòu)穿越地層主要為粉細(xì)砂地層，相應(yīng)地層主要物理力學(xué)指標(biāo)見表1。

圖8 監(jiān)測點的布置(單位：m)

表1 地層物理力學(xué)指標(biāo)

將現(xiàn)場實測結(jié)果，本文計算模型(剪脹系數(shù)η=1.0，服從關(guān)聯(lián)流動法則)、傳統(tǒng)豎直滑動面假設(shè)計算模型[1]、斜直線型滑動面假設(shè)計算模型[8-9]和拋物線型滑動面假設(shè)計算模型[11]的結(jié)果進(jìn)行比較，見圖9。由圖9可知，本文得到的豎向應(yīng)力分布形式與豎直線型、斜直線型和拋物線型計算模型的豎向應(yīng)力分布形式一致，即豎向應(yīng)力沿深度非線性分布，深度增大到一定程度后，豎向應(yīng)力的增量開始減小，這是由于超過一定深度后，由摩擦作用引起的豎向應(yīng)力的轉(zhuǎn)移增大。

圖9 計算結(jié)果與實測結(jié)果的比較

在覆土范圍內(nèi)，本文模型的計算結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果最為接近。在一定深度內(nèi)，本文的模型與豎直線型模型的計算結(jié)果均接近于實測結(jié)果，但超過一定深度后，豎直線型模型的計算結(jié)果偏大，這是由于盾構(gòu)隧道的覆土未達(dá)到臨界破壞狀態(tài)，深度越大，真實的松動區(qū)邊界形狀與垂直線形狀的差異越大；另外，斜直線型和拋物線型模型的計算結(jié)果小于實測結(jié)果，主要原因在于此兩種計算模型所假設(shè)的松動區(qū)范圍遠(yuǎn)小于實際范圍。

隧道洞頂土壓力的理論計算結(jié)果與實測擬合結(jié)果見圖10。由圖10可知，拋物線型模型滑動面模型和斜直線型滑動面模型的結(jié)果小于實測擬合值，若采用這兩種方法進(jìn)行隧道頂部的荷載預(yù)測是不利于工程安全的；另外，對于背景工程，豎直線型滑動面模型(Terzaghi經(jīng)典方法)的計算結(jié)果為116.56 kPa，本文方法的計算結(jié)果為102.28 kPa，現(xiàn)場實測擬合值為99.83 kPa，由此得知Terzaghi經(jīng)典方法高估了隧道洞頂?shù)耐翂毫Γ疚姆椒ㄅc實測結(jié)果更為接近，相較于傳統(tǒng)方法，本文模型能夠提高隧道洞頂荷載的荷載預(yù)測精度。

圖10 隧道洞頂土壓力的理論計算結(jié)果與實測結(jié)果比較

4.2 剪脹系數(shù)對計算結(jié)果的影響

剪脹系數(shù)η取值小于1.0時，剪脹角ψ小于內(nèi)摩擦角φ，土體不再服從相關(guān)流動法則。在非關(guān)聯(lián)流動法則的條件下，計算參數(shù)同圖9所用參數(shù)，計算不同的剪脹系數(shù)下松動區(qū)內(nèi)的豎向應(yīng)力分布，結(jié)果見圖11。

圖11 不同剪脹系數(shù)下的計算結(jié)果

由圖11可知，剪脹系數(shù)n<1.0時的豎向應(yīng)力分布特征大致相同，剪脹系數(shù)n取值越大，松動區(qū)豎向應(yīng)力分布的非線性越明顯；另外，剪脹系數(shù)n取值越小，得出的松動區(qū)豎向應(yīng)力越大，作用于盾構(gòu)隧道頂部的松動土壓力越大，這是由于本文的計算模型中，剪脹系數(shù)對滑動面的形狀影響較大，影響見圖12。由圖12可見，剪脹系數(shù)越小，所得出的松動區(qū)寬度越大，導(dǎo)致作用于盾構(gòu)隧道頂部的松動土壓力值計算結(jié)果越大。

圖12 不同剪脹系數(shù)下的滑動面

4.3 內(nèi)摩擦角對計算結(jié)果的影響

不同內(nèi)摩擦角下的豎向應(yīng)力計算結(jié)果見圖13，內(nèi)摩擦角取值范圍：10°～30°，其他計算參數(shù)取值同圖9中所用參數(shù)。由圖13可知，當(dāng)內(nèi)摩擦角較小時，豎向應(yīng)力與自重引起的豎向應(yīng)力分布較吻合。內(nèi)摩擦角越大，豎向應(yīng)力分布形式的非線性越為明顯，這是由于滑動面上的剪切力隨著內(nèi)摩擦角的增大而變大，土拱效應(yīng)越明顯。

圖13 不同內(nèi)摩擦角下的計算結(jié)果

5 結(jié)論

本文主要采用理論解析的方法，對盾構(gòu)隧道的松動土壓力計算模型進(jìn)行了研究，得到如下結(jié)論：

(1)引入滑移線場理論，考慮非關(guān)聯(lián)流動法則，推導(dǎo)得出盾構(gòu)隧道的松動區(qū)滑動面形狀的數(shù)學(xué)表達(dá)式，根據(jù)受力平衡條件推導(dǎo)了松動區(qū)豎向應(yīng)力的計算公式，并將本文方法與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，驗證了本文模型能夠有效預(yù)測盾構(gòu)隧道的松動土壓力值。

(2)將多種計算模型與實測結(jié)果進(jìn)行比較，根據(jù)計算結(jié)果，斜直線型和拋物線型模型的計算結(jié)果小于實測結(jié)果，主要原因在于此兩種計算模型所假設(shè)的松動區(qū)范圍遠(yuǎn)小于實際范圍。

(3)根據(jù)參數(shù)分析結(jié)果：剪脹系數(shù)越小，基于本文方法所得出的松動區(qū)寬度越大，導(dǎo)致作用于盾構(gòu)隧道頂部的松動土壓力值計算結(jié)果越大。

本文的計算模型僅考慮盾構(gòu)隧道覆土內(nèi)滑動面發(fā)展至地表的情況，適用于淺埋條件；對于深埋的工況，由于松動區(qū)無法發(fā)展至地表，本文的計算方法將不再適用，尚須進(jìn)一步研究。