曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)頻域響應(yīng)特性研究

杜林林，劉維寧，劉衛(wèi)豐，馬龍祥

(1.北京起重運(yùn)輸機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司， 北京 100007；2.清華大學(xué) 土木工程系， 北京 100084；3.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044；4.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031)

受城市既有布局的約束，同時(shí)兼顧客流分布的需求，城市軌道交通線路設(shè)計(jì)中往往設(shè)置大量的曲線軌道[1-3]。以北京地鐵為例，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，不同線路曲線軌道占線路總長(zhǎng)度的30%～50%。列車通過曲線軌道時(shí)產(chǎn)生的諸多問題一直是行業(yè)關(guān)注的焦點(diǎn)，如曲線軌道處的鋼軌波磨[4]。特別是，列車通過曲線軌道時(shí)引起的環(huán)境振動(dòng)影響中，水平向振動(dòng)強(qiáng)度大于鉛垂向振動(dòng)強(qiáng)度的特殊現(xiàn)象[2]，現(xiàn)階段對(duì)其機(jī)理分析仍然很不充分。

地鐵列車運(yùn)行于曲線軌道上時(shí)，通過設(shè)置曲線超高平衡列車離心力作用。曲線超高設(shè)置后即為固定設(shè)施，而列車實(shí)際運(yùn)行速度，根據(jù)線路運(yùn)營(yíng)管理的需求，往往或大于或小于設(shè)計(jì)速度，造成曲線超高設(shè)置與實(shí)際行車速度不相適應(yīng)的情況。此時(shí)，在未被平衡的離心力或向心力作用下，列車通過曲線軌道時(shí)車輛-軌道間將產(chǎn)生較為復(fù)雜的法向及蠕滑(包括橫向、縱向、旋轉(zhuǎn))輪-軌相互作用，由此將產(chǎn)生較強(qiáng)的軌道橫向振動(dòng)，對(duì)地表橫向振動(dòng)產(chǎn)生影響[5]。為了研究列車通過曲線軌道時(shí)引起的地表橫向振動(dòng)響應(yīng)特性，應(yīng)首先明確曲線軌道的橫向動(dòng)力響應(yīng)特性。由于頻響函數(shù)能夠有效反映曲線軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，本文將通過分析頻響函數(shù)研究曲線軌道橫向振動(dòng)頻域響應(yīng)特性。

對(duì)軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特性的研究方法主要分為試驗(yàn)測(cè)試法、理論模型分析法，其中理論模型分析法以其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)被廣泛采用。針對(duì)曲線軌道動(dòng)力學(xué)理論分析模型的研究，以往多采用直線梁模型模擬鋼軌的垂向、橫向彎曲振動(dòng)以及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。如王開云[6]采用直線Euler-Bernoulli梁(以下簡(jiǎn)稱Euler梁)模擬曲線軌道鋼軌，建立三層離散點(diǎn)支承曲線軌道模型，對(duì)曲線軌道輪軌性能匹配問題開展了研究；Zhou等[7]采用直線Timoshenko梁模擬鋼軌，建立了三層離散點(diǎn)支承曲線軌道模型，研究了扣件失效情況下列車通過曲線段時(shí)的動(dòng)力性能；Martínez-Casas等[8]視曲線軌道為圓形軌道結(jié)構(gòu)的一部分，將圓形軌道視為周期性結(jié)構(gòu)，采用直線Timoshenko梁模擬鋼軌，研究了不同軌道波磨條件下的輪-軌相互作用力。但以上研究均忽略了曲率半徑對(duì)曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)特性的影響。

隨著軌道動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，針對(duì)曲率半徑對(duì)軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響問題，部分學(xué)者開展了研究。

筆者曾通過考慮曲率半徑的影響，建立了離散點(diǎn)支承的曲線軌道力學(xué)模型，但該模型僅針對(duì)平面外振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了分析，未研究平面內(nèi)橫向振動(dòng)響應(yīng)[9]。針對(duì)曲線梁橫向振動(dòng)的研究，Culver等[10]采用Rayleigh-Ritz法并結(jié)合Lagrange算子法，得到了兩跨曲梁的橫向振動(dòng)頻率響應(yīng)；Chen[11]根據(jù)相鄰跨之間的彎矩關(guān)系，結(jié)合邊界條件，研究了離散周期支承曲線梁的平面內(nèi)自振頻率特性；Yang等[12]通過模態(tài)疊加法研究了離心力作用下簡(jiǎn)支曲線Euler梁的平面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)，計(jì)算中僅取了梁的一階模態(tài)。以上學(xué)者主要研究了曲線梁的動(dòng)力響應(yīng)。關(guān)于曲線軌道橫向振動(dòng)特性的研究，Kostovasilis等[13]采用曲線Timoshenko梁模擬鋼軌，建立可以考慮垂向/橫向相互作用的連續(xù)支承曲線軌道動(dòng)力解析模型，得到了曲線軌道垂向/橫向耦合對(duì)軌道動(dòng)力響應(yīng)的影響；Dai等[14-15]采用曲線Euler梁模擬鋼軌，采用三角函數(shù)法擬合曲線梁的變形，得到了連續(xù)支承曲線Euler梁穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)。以上研究中均忽略了離散支承對(duì)曲線軌道動(dòng)力響應(yīng)的影響。

總之，以往針對(duì)曲線梁橫向振動(dòng)的研究多集中在簡(jiǎn)支曲梁，而關(guān)于曲線軌道橫向振動(dòng)響應(yīng)特性的研究忽略了離散支承或曲率半徑的影響。因此，有必要建立考慮離散支承及曲率半徑影響的曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)解析模型，并對(duì)其橫向動(dòng)力響應(yīng)特性進(jìn)行研究。

為了得到曲線軌道橫向振動(dòng)頻率響應(yīng)特性，本文將建立一個(gè)考慮離散支承以及曲率半徑影響的曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)力學(xué)模型。將該模型映射至一個(gè)具有相同半徑的虛擬的圓形環(huán)梁中，利用圓形環(huán)梁的周期性條件，在一個(gè)基本元之內(nèi)求解曲線軌道鋼軌的橫向振動(dòng)響應(yīng)。利用軌道結(jié)構(gòu)頻域動(dòng)力響應(yīng)的基本性質(zhì)，通過定義鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)以及廣義波數(shù)，進(jìn)而采用傅里葉級(jí)數(shù)表示曲線軌道鋼軌平面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)。最終，得到力學(xué)概念清晰的曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)頻域解析模型，并分析曲線軌道橫向振動(dòng)頻域響應(yīng)特性。

1 曲線軌道鋼軌平面內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)求解

1.1 曲線軌道鋼軌平面內(nèi)振動(dòng)力學(xué)方程

采用理論方法對(duì)曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，在建立曲線軌道力學(xué)模型時(shí)，采用曲線Euler梁模擬曲線軌道鋼軌，采用彈簧阻尼支點(diǎn)單元模擬扣件，即可采用等間距離散點(diǎn)支承的鋼軌模型模擬曲線軌道，如圖1所示。此時(shí)，在橫向單位移動(dòng)諧振荷載eiωFt作用下，曲線軌道鋼軌平面內(nèi)振動(dòng)力學(xué)方程組[16-21]為

圖1 曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)力學(xué)模型

(1)

(2)

為了在頻域內(nèi)對(duì)方程式(1)、式(2)進(jìn)行求解，首先需要對(duì)方程組內(nèi)的變量t進(jìn)行傅里葉變換，有

(3)

(4)

圖2 鋼軌橫斷面支承-約束示意圖

1.2 周期性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的頻域模態(tài)疊加法

本文研究曲線軌道鋼軌的橫向動(dòng)力響應(yīng)，其中曲線軌道指具有恒定曲率半徑的有限長(zhǎng)圓弧(暫不包括緩和曲線)。為了求解有限長(zhǎng)曲線軌道的動(dòng)力響應(yīng)，可將曲線軌道力學(xué)模型映射至一個(gè)具有相同半徑的虛擬的圓形環(huán)梁中[8]，如圖3所示。將該虛擬的圓形環(huán)梁視為以支點(diǎn)間距L為基本周期長(zhǎng)度的周期性結(jié)構(gòu)，稱其周期長(zhǎng)度L為基本元。結(jié)合周期性結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，可對(duì)曲線軌道鋼軌平面內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行求解。

圖3 曲線軌道周期性

根據(jù)移動(dòng)諧振荷載作用下周期性結(jié)構(gòu)的頻域動(dòng)力響應(yīng)性質(zhì)[23]，鋼軌平面內(nèi)頻域動(dòng)力響應(yīng)滿足

(5)

在利用周期性結(jié)構(gòu)性質(zhì)對(duì)曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析時(shí)，基本元與相鄰單元的位移、內(nèi)力關(guān)系如圖4所示。

圖4 基本元與相鄰單元平面內(nèi)振動(dòng)相互作用關(guān)系

以圖4所示基本元與左側(cè)相鄰單元為例，基本元左端位移、內(nèi)力構(gòu)成的狀態(tài)向量SkL與左側(cè)單元右端位移、內(nèi)力構(gòu)成的狀態(tài)向量S(k-1)R滿足位移協(xié)調(diào)和力的平衡

SkL=S(k-1)R

(6)

(7)

(8)

根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)性質(zhì)，基本元左端點(diǎn)狀態(tài)向量SkL和右端點(diǎn)狀態(tài)向量SkR之間滿足

SkR=ei(ωF-ω)L/v·SkL

(9)

(10)

(11)

結(jié)合式(5)與式(11)，有

(12)

(13)

式中：Cn(ω,ωF)為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)；ξn=2πn/L。

(14)

結(jié)合以上推導(dǎo)過程，定義鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)[25]為

(15)

(16)

式中：N為鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)計(jì)算上限，計(jì)算鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)數(shù)記為NMR，取為2N+1，即NMR=2N+1。

為了便于方程求解，定義廣義波數(shù)[26]為

κ=(ω-ωF)/v

(17)

結(jié)合式(14)中采用級(jí)數(shù)表達(dá)鋼軌平面內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)的方法，可采用鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)以及對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)表示曲線軌道鋼軌的平面內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)，即

(18)

根據(jù)周期性結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，采用頻域內(nèi)鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)疊加法可對(duì)曲線軌道結(jié)構(gòu)平面內(nèi)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行求解。

1.3 曲線軌道鋼軌頻域動(dòng)力響應(yīng)的求解

(19)

(20)

聯(lián)立方程式(19)、式(20)，整理可得

G(κ,ωF)U(κ,ωF)=P(κ,ωF)

(21)

解式(21)可得

(22)

e-inκLB(z,κ,ωF)U(κ,ωF)=

(23)

1.4 曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)頻率響應(yīng)函數(shù)計(jì)算

對(duì)鋼軌橫向位移頻域響應(yīng)作逆傅里葉變換，得

(24)

令v=0，固定諧振荷載下鋼軌橫向位移響應(yīng)為

(25)

橫向位移響應(yīng)幅值為

(26)

采用數(shù)值積分法對(duì)式(26)進(jìn)行求解，得

(27)

經(jīng)以上分析，得到曲線軌道鋼軌橫向位移頻響函數(shù)的求解方法，經(jīng)過Matlab數(shù)學(xué)軟件編程，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)力響應(yīng)求解，程序求解思路如圖5所示。

圖5 平面內(nèi)頻率響應(yīng)函數(shù)求解思路

2 曲線軌道鋼軌頻率響應(yīng)函數(shù)分析

2.1 鋼軌頻率響應(yīng)函數(shù)計(jì)算

分析曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)頻率響應(yīng)函數(shù)，不同于列車通過曲線軌道時(shí)的輪-軌橫向動(dòng)態(tài)耦合研究，曲線超高、軌底坡等因素會(huì)對(duì)列車運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的不平衡力以及輪軌接觸狀態(tài)產(chǎn)生顯著影響[6]。本節(jié)主要研究固定諧振荷載作用下曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)頻率響應(yīng)特性，可忽略超高、軌底坡等因素的影響。

在分析曲線軌道鋼軌橫向位移頻率響應(yīng)函數(shù)時(shí)，以地鐵整體道床軌道為例進(jìn)行計(jì)算，軌道采用DTVI2扣件，鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)見表1。為保證計(jì)算精度，鋼軌數(shù)學(xué)模態(tài)數(shù)取為21，κ取值范圍為[-40，40]，Δκ取0.039。

表1 T60鋼軌及DTVI2扣件參數(shù)[27]

對(duì)于軌道系統(tǒng)來說，扣件的離散支承引起了軌道結(jié)構(gòu)剛度的周期性變化，其中扣件支承點(diǎn)處剛度最大，相鄰扣件支點(diǎn)跨中處剛度最小。由扣件支承引起的剛度變化將對(duì)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特性產(chǎn)生影響。不同位置處軌道系統(tǒng)的剛度不同，這將對(duì)頻響函數(shù)產(chǎn)生影響。為充分反映曲線軌道鋼軌橫向位移的頻響特性，選取剛度最大的支點(diǎn)位置以及剛度最小的相鄰支點(diǎn)跨中位置進(jìn)行計(jì)算，其中激振點(diǎn)與拾振點(diǎn)的關(guān)系如圖6所示，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖6 不同位置處頻響函數(shù)布置圖

為了對(duì)比由離散支承產(chǎn)生的剛度變化對(duì)鋼軌橫向位移頻響函數(shù)的影響，同時(shí)計(jì)算了連續(xù)支承曲線軌道鋼軌橫向位移頻率響應(yīng)函數(shù)，其中連續(xù)支承等效剛度與離散支承相同，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖7 鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)

由圖7可知：

(3)對(duì)比離散支承鋼軌支點(diǎn)處和跨中處與連續(xù)支承鋼軌的幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)可知，離散支承引起了鋼軌橫向pinned-pinned振動(dòng)峰值響應(yīng)；該響應(yīng)在跨中處取得最大值，在支點(diǎn)處取得最小值。

由以上分析可知，離散支承使曲線軌道鋼軌橫向位移產(chǎn)生了pinned-pinned振動(dòng)峰值響應(yīng)。接下來研究離散支承參數(shù)以及曲線半徑等因素對(duì)曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)頻響特性的影響。

2.2 支承剛度及阻尼系數(shù)對(duì)曲線軌道鋼軌橫向位移頻響函數(shù)的影響

對(duì)支點(diǎn)的物理參數(shù)進(jìn)行分析，研究支點(diǎn)橫向支承剛度以及阻尼系數(shù)對(duì)鋼軌橫向振動(dòng)頻響函數(shù)的影響。

在研究橫向支承剛度的影響時(shí)，剛度選取為12.5、37.5、50.0 MN/m。在研究橫向支承阻尼系數(shù)的影響時(shí)，阻尼系數(shù)選取為4.175、16.700、29.225 kN·s/m。由于支點(diǎn)處及跨中處鋼軌頻響函數(shù)可以充分反映鋼軌橫向振動(dòng)頻響特性，本節(jié)分析指標(biāo)即為支點(diǎn)處和跨中處的頻響函數(shù)。其余計(jì)算參數(shù)如表1所示。

圖8為橫向支承剛度對(duì)鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)的影響。

圖8 橫向支點(diǎn)剛度的影響

由圖8可知：

(1)根據(jù)計(jì)算公式求得不同橫向支承剛度所對(duì)應(yīng)的一階自振頻率分別為86、157、183 Hz，與圖8中計(jì)算結(jié)果吻合良好。

(2)在低于一階自振頻率頻段的振動(dòng)中，鋼軌振動(dòng)性質(zhì)類似于單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，一階自振頻率的增大程度是橫向支承剛度增加程度的均方根值，且一階自振頻率點(diǎn)處的響應(yīng)幅值隨剛度的增加而降低。

(3)支點(diǎn)橫向支承剛度的變化對(duì)鋼軌橫向pinned-pinned振動(dòng)峰值響應(yīng)沒有影響。

(4)在一定頻率范圍內(nèi)(250 Hz以內(nèi))，鋼軌橫向振動(dòng)響應(yīng)與荷載相位差隨著支點(diǎn)橫向支承剛度的增加而減少，振動(dòng)響應(yīng)同步性增強(qiáng)。

圖9為橫向支承阻尼系數(shù)對(duì)鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)的影響。

圖9 橫向支承阻尼系數(shù)的影響

由圖9可知：

(1)根據(jù)計(jì)算公式求得不同支承阻尼系數(shù)所對(duì)應(yīng)的一階自振頻率分別為132、127、115 Hz，與圖9中計(jì)算結(jié)果吻合良好。

(2)在低于一階自振頻率頻段的振動(dòng)中，鋼軌-支承橫向振動(dòng)表現(xiàn)為單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)振動(dòng)，一階自振頻率隨橫向支承阻尼系數(shù)的增加而略有減?。豁憫?yīng)幅值隨阻尼系數(shù)的增加而顯著降低。

(3)支點(diǎn)橫向支承阻尼系數(shù)變化對(duì)鋼軌橫向pinned-pinned振動(dòng)峰值頻率沒有影響；但響應(yīng)峰值隨著阻尼系數(shù)的增加而略有增大。

(4)當(dāng)荷載頻率小于一階自振頻率時(shí)，相位差隨著支點(diǎn)橫向支承阻尼系數(shù)的增加而增大，振動(dòng)同步性降低；當(dāng)荷載頻率大于自振頻率時(shí)，相位差隨著阻尼系數(shù)的增加而減小，振動(dòng)同步性增強(qiáng)。

2.3 曲線半徑及支點(diǎn)間距對(duì)曲線軌道鋼軌橫向位移頻響函數(shù)的影響

2.2節(jié)分析了支點(diǎn)物理參數(shù)對(duì)鋼軌橫向振動(dòng)頻響函數(shù)的影響，現(xiàn)討論曲線軌道鋼軌的曲率半徑以及離散支承間距等參數(shù)對(duì)鋼軌橫向振動(dòng)頻響函數(shù)的影響。

在研究曲線半徑的影響時(shí)，選取曲線半徑分別為100、300、500 m進(jìn)行計(jì)算。在研究支點(diǎn)間距的影響時(shí)，選取支點(diǎn)間距分別為0.45、0.6、0.9 m進(jìn)行計(jì)算。分析指標(biāo)為支點(diǎn)處和跨中處的鋼軌橫向位移頻響函數(shù)。其余計(jì)算參數(shù)見表1。

圖10為不同曲線半徑時(shí)的鋼軌橫向位移幅頻響應(yīng)函數(shù)以及部分半徑對(duì)應(yīng)的相頻響應(yīng)函數(shù)。

圖10 半徑對(duì)鋼軌橫向位移頻響函數(shù)的影響

由圖10可知：

(1)曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)一階自振頻率及響應(yīng)幅值不受曲線半徑變化的影響。

(2)曲線軌道鋼軌橫向pinned-pinned振動(dòng)峰值及峰值頻率不受曲線半徑變化的影響。

(3)地鐵曲線軌道半徑對(duì)鋼軌橫向位移頻響函數(shù)幾乎沒有影響。

圖11為支點(diǎn)間距對(duì)鋼軌橫向位移幅頻、相頻響應(yīng)函數(shù)的影響。

圖11 支點(diǎn)間距的影響

由圖11可知：

(1)根據(jù)計(jì)算公式求得不同支點(diǎn)間距所對(duì)應(yīng)的一階自振頻率分別為144、127、105 Hz，與圖11中計(jì)算結(jié)果吻合良好。

(2)在低于一階自振頻率頻段的振動(dòng)中，鋼軌-支承橫向振動(dòng)表現(xiàn)為單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)振動(dòng)，支點(diǎn)間距減小，相當(dāng)于增加了鋼軌橫向支承剛度及阻尼，因此，一階自振頻率隨支點(diǎn)間距的減小而增大，且一階自振頻率點(diǎn)處的響應(yīng)幅值隨支點(diǎn)間距的減小而降低。

(3)由pinned-pinned振動(dòng)峰值頻率計(jì)算公式求得不同支點(diǎn)間距對(duì)應(yīng)的一階pinned-pinned振動(dòng)峰值頻率分別為1 038、584、260 Hz，與圖11中計(jì)算結(jié)果吻合良好。

(4)支點(diǎn)間距減小時(shí)，振動(dòng)峰值頻率增加，振動(dòng)幅值降低；當(dāng)支點(diǎn)間距減小一半時(shí)，振動(dòng)峰值頻率增大4倍。

3 結(jié)論

本文采用曲線Euler-Bernoulli梁模擬曲線軌道鋼軌，建立了離散點(diǎn)支承曲線軌道平面內(nèi)振動(dòng)響應(yīng)頻域解析模型，其具有力學(xué)概念清晰準(zhǔn)確、求解高頻響應(yīng)效率高的特點(diǎn)。利用該模型計(jì)算分析了支點(diǎn)橫向支承剛度、阻尼系數(shù)、曲線半徑及支點(diǎn)間距對(duì)曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)位移頻響函數(shù)的影響，得到以下結(jié)論：

(1)曲線軌道鋼軌橫向振動(dòng)一階自振頻率為單自由度質(zhì)量-彈簧體系自振頻率；調(diào)整支點(diǎn)橫向支承剛度及阻尼系數(shù)，僅對(duì)改變一階自振頻率有一定效果。

(2)扣件支點(diǎn)橫向支承剛度對(duì)鋼軌橫向pinned-pinned峰值響應(yīng)幾乎沒有影響，扣件支點(diǎn)橫向支承阻尼系數(shù)對(duì)鋼軌橫向pinned-pinned峰值響應(yīng)影響很小。

(3)曲線軌道離散支承引起了鋼軌橫向pinned-pinned振動(dòng)峰值；通過調(diào)節(jié)扣件支點(diǎn)間距，可以有效地調(diào)整軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)顯著頻段的分布范圍。

(4)地鐵軌道正線最小曲線半徑為300 m，半徑對(duì)曲線軌道橫向位移頻響函數(shù)幾乎沒有影響。