基于協(xié)同進(jìn)化的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法

張祥飛，魯宇明，張平生

（南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引言

在實(shí)際工程應(yīng)用中，很多優(yōu)化問題在優(yōu)化多個目標(biāo)的同時還需要處理各種類型的約束，這類問題被稱為約束多目標(biāo)優(yōu)化問題（Constrained Multi-objective Optimization Problem，CMOP）。早在十幾年前，研究人員針對CMOP 求解已經(jīng)提出了以無約束的多目標(biāo)優(yōu)化方法加約束處理技術(shù)的求解方法［1-3］。隨著科技的發(fā)展，實(shí)際工程應(yīng)用中的要求也隨之提高，使用以往的方法已經(jīng)難以滿足實(shí)際使用需求，因此各種新型約束多目標(biāo)優(yōu)化算法被陸續(xù)提出。文獻(xiàn)［4］中提出了一種多階段的優(yōu)化方法，在不同的階段采取不同的優(yōu)化方法；文獻(xiàn)［5］中提出了一種推拉搜索框架，將求解過程分成推拉兩個搜索階段，采用多階段的算法一般具有較快的收斂速度。

由于協(xié)同進(jìn)化算法在求解大規(guī)模、高維度和動態(tài)優(yōu)化問題時取得了良好的效果［6-8］，近些年部分研究人員開始運(yùn)用協(xié)同進(jìn)化的思想求解CMOP，并取得了良好的效果。文獻(xiàn)［9］中設(shè)立了面向收斂的存檔和面向多樣性的存檔兩個種群，面向收斂的存檔同時優(yōu)化約束和目標(biāo)，面向多樣性的存檔僅優(yōu)化目標(biāo)，兩個種群在交配選擇和環(huán)境選擇相互合作；文獻(xiàn)［10］中將CMOP 分解成約束單目標(biāo)優(yōu)化問題，對每個約束單目標(biāo)優(yōu)化問題設(shè)置獨(dú)立的種群進(jìn)行演化，同時設(shè)置了一個用于收集其他子種群中非劣解的子種群，基于協(xié)同進(jìn)化的算法往往可以獲取良好的結(jié)果。

以上兩種類型約束多目標(biāo)優(yōu)化算法雖然具有各自的優(yōu)勢，但也存在一定的不足。例如文獻(xiàn)［4-5］中提出的算法雖然具有良好的收斂速度，但高度依賴決定搜索階段切換的參數(shù)大小選??；文獻(xiàn)［9］中算法在高維CMOP 上的平衡收斂性和多樣性具有良好表現(xiàn)，但是在低維優(yōu)化問題上表現(xiàn)一般。文獻(xiàn)［11］中從MOEA/D 內(nèi)在機(jī)制及約束處理技術(shù)的適應(yīng)性上展開研究，提出了一種權(quán)重向量和個體間的重新匹配策略實(shí)現(xiàn)對多樣性和收斂性的兼顧。本文借鑒文獻(xiàn)［11］的研究思路，從多階段和協(xié)同進(jìn)化兩種優(yōu)化方式的互補(bǔ)性展開研究，提出基于協(xié)同進(jìn)化的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法，通過融合多階段和協(xié)同進(jìn)化這兩種優(yōu)化方式，具有良好的收斂性能，同時能夠較好地兼顧多樣性和收斂性。

1 相關(guān)研究

1.1 CMOP及其相關(guān)定義

不失一般性，一個CMOP表達(dá)如式（1）所示：

式中：x是一個D維的決策變量；Ω表示決策空間；F(x)由n個實(shí)值目標(biāo)函數(shù)組成的目標(biāo)空間；l和q分別表示不等式和等式約束的數(shù)量。

通常情況下，等式約束都會轉(zhuǎn)化成不等式約束的形式，如式（2）所示：

其中：δ為等式約束的容忍參數(shù)，一般設(shè)定為0.000 1。

決策變量x的約束違反程度如式（3）所示：

定義1 可行解。決策變量x當(dāng)且僅當(dāng)G(x)=0時，決策變量x為可行解，否則決策變量x為不可行解。

定義2 Pareto 支配。決策變量xuPareto 支配決策變量xv，記為xu?xv，當(dāng)且僅當(dāng)：

1）?i∈{1，2，…，m}滿足fi(xu)≤fi(xv)；

2）?j∈{1，2，…，m}滿足fj(xu)＜fj(xv)。

定義3 Pareto 最優(yōu)解。決策變量xu作為Pareto 最優(yōu)解，當(dāng)且僅當(dāng)決策變量xu在整個目標(biāo)集中為非支配解。

定義4 理想點(diǎn)（ideal point）。理想點(diǎn)z*可表示為z*=(i=1，2，…，n)，決策變量x為可行解。

定義5 極值點(diǎn)（nadir point）。極值點(diǎn)znad可表示為znad=，決策變量x為Pareto最優(yōu)解。

1.2 約束處理技術(shù)

近二十幾年以來，針對單目標(biāo)優(yōu)化問題已經(jīng)有很多約束處理技術(shù)被提出，主要有可行性準(zhǔn)則、罰函數(shù)法、ε 約束處理法和多目標(biāo)優(yōu)化法等［12］。但這些約束處理技術(shù)一般不能直接運(yùn)用于求解CMOP，雖然它們通過拓展或修改可以運(yùn)用于求解CMOP，但這類方法具有很大的局限性，在處理低可行域、強(qiáng)約束和不連續(xù)帕累托前沿等類型問題時難以取得良好的效果。

在求解CMOP 上，主要有多階段和協(xié)同進(jìn)化兩種優(yōu)化方式。多階段優(yōu)化方式一般是將優(yōu)化過程劃分為多個階段，不同的階段采用不同的約束處理技術(shù)或優(yōu)化不同的對象，如文獻(xiàn)［4-5］中通過多階段的形式實(shí)現(xiàn)了多種約束處理技術(shù)的優(yōu)勢互補(bǔ)。協(xié)同進(jìn)化是指多個對象通過一定的機(jī)制和策略開展協(xié)同搜索的進(jìn)化技術(shù)，比如多種群、多算法、多操作和多策略集成式進(jìn)化［13］，這類方法大多采取多種群或多種約束處理技術(shù)集成式進(jìn)化。文獻(xiàn)［14-15］中通過多種群的形式集成了多種約束處理技術(shù)，不同的種群采用不同的約束處理技術(shù)，然后通過種群之間的各種交互方式實(shí)現(xiàn)信息共享，有效地發(fā)揮了多種約束處理技術(shù)優(yōu)勢。

2 基于協(xié)同進(jìn)化的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法

考慮從可行解的搜索階段和協(xié)同進(jìn)化階段入手設(shè)計(jì)本算法。

1）第一階段，創(chuàng)建多個子種群的穩(wěn)態(tài)演化方法，保證在演化初始階段可以獲取一批高質(zhì)量可行解，同時保持種群的多樣性；

2）第二階段，基于可行性準(zhǔn)則和指定的子種群規(guī)模，將種群中的個體分成兩個子種群，并對兩個子種群分別采用網(wǎng)格約束分解和加權(quán)轉(zhuǎn)化單目標(biāo)的方法引導(dǎo)兩個子種群的進(jìn)化，分別負(fù)責(zé)算法的多樣性和收斂性。

綜上所述，給出本文算法的主要步驟：

步驟1 初始化規(guī)模為N1+N2的種群P。

步驟2 若種群P中可行解數(shù)量小于N1，執(zhí)行第一階段演化方法；否則，在種群P中選擇N1個可行解為子種群P1，子種群P2=P-P1，執(zhí)行第二階段演化方法，合并兩個子種群。

步驟3 若滿足算法停止條件，則輸出種群中的可行解；否則，轉(zhuǎn)步驟2。

2.1 穩(wěn)態(tài)演化方法

由于約束數(shù)量、形式及數(shù)學(xué)特性等方面的影響，一個約束優(yōu)化問題的可行域可能會非常小或離散，這往往會導(dǎo)致求解該問題的算法收斂效果不佳，甚至無法收斂的情況發(fā)生。對于一個約束多目標(biāo)優(yōu)化問題來講，在優(yōu)化多個目標(biāo)的同時需要處理約束問題，因此在進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化之前，為配合協(xié)同進(jìn)化，我們需要獲取一個擁有一定數(shù)量可行解且具有良好多樣性的種群。因此，本文提出了一種穩(wěn)態(tài)的演化方法。差分進(jìn)化［16］因其簡單和有效的搜索能力而受到廣泛使用，所以穩(wěn)態(tài)演化選用差分進(jìn)化作為該方法的搜索引擎。差分進(jìn)化主要由變異、交叉和選擇組成，其中一般常使用的變異算子如式（4）～（6）所示：

其中：xr1、xr2和xr3是三個相互不同的個體；xbest是種群中最好的個體；F是變異因子。

交叉算子主要在目標(biāo)向量xi和變異向量vi當(dāng)中生成實(shí)驗(yàn)向量ui=(ui，1，ui，2，…，ui，D)，二項(xiàng)式交叉算子如式（7）所示：

其中：randj是在[0，1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)；jrand是{1，2，…，D}中隨機(jī)的一個整數(shù)；CR是交叉因子。

圖1 展示了穩(wěn)態(tài)演化方法的框架：首先將種群隨機(jī)地劃分為m個子種群，然后以式（6）、（7）進(jìn)行變異和交叉操作，得出相應(yīng)子種群的后代，在每個子種群之間使用約束支配準(zhǔn)則（Constrained Dominance Principle，CDP）［1］更新篩選父本與子代，得到一個新的子種群，最后這些新的子種群集成新的種群P。該方法的目的在于保持種群多樣性的同時尋找到高質(zhì)量的可行解。

圖1 穩(wěn)態(tài)演化結(jié)構(gòu)Fig.1 Steady-state evolution structure

2.2 協(xié)同進(jìn)化策略

在協(xié)同進(jìn)化部分，考慮到CMOP 的Pareto 前沿可能具有各種形狀，例如凸或凹型、連續(xù)或不連續(xù)等，為了可以更好地維持種群的多樣性，進(jìn)而獲取完整的Pareto 前沿，本文采用一種基于網(wǎng)格的約束分解方法維持種群的多樣性。相較于當(dāng)前常用的權(quán)值求和、切比雪夫和基于懲罰的邊界交叉（Penaltybased Boundary Intersection，PBI）分解的方法，該方法利用網(wǎng)格系統(tǒng)維持種群的多樣性，在Pareto 前沿為凹型時更具優(yōu)勢，有助于提升算法的普適性?；诰W(wǎng)格的約束分解和加權(quán)的方法被分別運(yùn)用于優(yōu)化兩個子種群P1和P2，以達(dá)到同時兼顧多樣性和收斂性的目的，并結(jié)合一定的交互機(jī)制實(shí)現(xiàn)兩個子種群之間的信息共享，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)兩個子種群之間的協(xié)同進(jìn)化。

2.2.1 基于網(wǎng)格的約束分解

基于網(wǎng)格約束分解的方法由文獻(xiàn)［17］針對多目標(biāo)優(yōu)化問題（Multi-objective Optimization Problem，MOP）提出，并結(jié)合基于分解的排序和字典排序選擇進(jìn)入下一代的解，該方法能夠較好維持進(jìn)化過程中種群的多樣性。因此，本文引用文獻(xiàn)［17］的演化方法運(yùn)用于子種群P1的演化。其中，基于網(wǎng)格的約束分解方法具體介紹如下：

1）網(wǎng)格系統(tǒng)的設(shè)置。

首先，各個目標(biāo)根據(jù)理想點(diǎn)和極值點(diǎn)之間區(qū)間劃分為K個子區(qū)間，則每個子區(qū)間的間隔寬度可以定義如式（8）所示：

對于可行解x的第j個目標(biāo)所在的子區(qū)間計(jì)算如式（9）所示：

2）約束分解的定義。

約束分解的定義以網(wǎng)格系統(tǒng)為基礎(chǔ)，其中第l個目標(biāo)上的第k個子問題定義如式（9）所示：

其中：K是一項(xiàng)決定子區(qū)間（網(wǎng)格）數(shù)量的參數(shù)；U表示決策空間中的可行域。

通過將每個目標(biāo)均勻分成K個區(qū)間，把多目標(biāo)優(yōu)化問題分解成n×Kn-1個子問題。其中，第l個目標(biāo)的第k個子問題所包含的解集定義如式（11）所示：

3）基于排序的選擇方法。

基于排序的選擇方法主要由基于分解的排序和字典排序組成，主要用于選擇進(jìn)入下一代演化的個體。以上部分介紹了約束分解的子問題，每個解集Sl(k)都包含一個解集，基于分解的排序主要對于每個解集Sl(k)按式（11）進(jìn)行排序，因此每個解都具有n個排序值，然后通過字典排序選擇前N1個解作為下一代的父本種群。如圖2和表1所示，該問題為網(wǎng)格參數(shù)K=4 時的雙目標(biāo)優(yōu)化問題，經(jīng)過基于分解的排序后，每個解的排序值如表1 第二列所示（括號前數(shù)字為排序值），第三列前7個解為字典排序后選擇的解（標(biāo)注√）。

圖2 雙目標(biāo)優(yōu)化問題在網(wǎng)格系統(tǒng)中所有解的排序Fig.2 Ranking of all solutions of bi-objective optimization problem in grid system

表1 K=4時基于分解的排序和字典排序的過程Tab.1 Procedures of decomposition-based ranking and lexicographic sorting when K=4

2.2.2 加權(quán)轉(zhuǎn)化方法

求解CMOP 最終目的是為了獲取Pareto 前沿，雖然通過加權(quán)的方式將CMOP 轉(zhuǎn)化成約束單目標(biāo)優(yōu)化問題僅僅只能獲取該問題Pareto 前沿中的某一個解，但該方式可以顯著地提高算法的收斂性能。設(shè)置合適的權(quán)值既可以保持算法具有良好的收斂性又能盡可能地搜索到Pareto前沿的中部位置。

在權(quán)值的設(shè)置上，文獻(xiàn)［4］中提出了一種特殊的加權(quán)方式將CMOP 轉(zhuǎn)化為約束單目標(biāo)優(yōu)化問題，該方法顯著地提升了算法的收斂能力。在子種群P2的演化過程中，為提升算法整體收斂能力，同樣也采用類似的加權(quán)方法將CMOP 轉(zhuǎn)化成約束單目標(biāo)優(yōu)化問題來處理，并采用式（5）的變異方式和基于可行性準(zhǔn)則的約束處理技術(shù)對子種群P2進(jìn)行演化。其中，加權(quán)方法如式（12）所示：

2.2.3 交互機(jī)制

在協(xié)同進(jìn)化過程中，通過種群間的有效交互方式實(shí)現(xiàn)信息共享，可以顯著地改善算法的求解效果。本文基于可行性準(zhǔn)則及設(shè)定的子種群規(guī)模將種群P劃分為兩個子種群P1和P2，并分別采用基于網(wǎng)格的約束分解和加權(quán)的方式進(jìn)行演化。在2.2.1 節(jié)中，我們采用文獻(xiàn)［17］的演化方式對子種群P1進(jìn)行演化，雖然該方法可以較好地維持種群的多樣性，但在約束優(yōu)化問題中，這種基于網(wǎng)格的演化方法難以跳出不可行域，進(jìn)而會導(dǎo)致算法無法收斂。為解決該問題，在子種群P2的變異方式中，隨機(jī)地選擇子種群P1中構(gòu)成理想點(diǎn)的個體作為xbest，引導(dǎo)子種群P2向理想點(diǎn)的位置演化，演化過程中子種群P2所獲取的高質(zhì)量個體通過種群重組的方式進(jìn)入子種群P1，進(jìn)而引導(dǎo)子種群P1的進(jìn)化，并跳出不可行域。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證本文算法的性能，選擇變量維度在6 到16 之間且具有凹和凸型Pareto 前沿的約束多目標(biāo)優(yōu)化問題CF［18］和DOC［4］測試問題集進(jìn)行測試及分析。選擇了基于約束支配準(zhǔn)則的非支配排序遺傳算法（Nondominated Sorting Genetic Algorithms Ⅱ based on Constrained Dominance Principle，NSGA-Ⅱ-CDP）［1］和近幾年新提出的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法：兩階段算法（Two-Phase algorithm，ToP［4］）、推拉搜索算法（Push and Pull Search algorithm，PPS［5］）和約束多目標(biāo)優(yōu)化的雙存檔進(jìn)化算法（Two-Archive Evolutionary Algorithm for Constrained Multiobjective Optimization.C-TAEA）［9］作為對比。

3.1 評價指標(biāo)

本實(shí)驗(yàn)中選取反向世代距離（Inverted Generational Distance，IGD）和超體積指標(biāo)（Hypervolume，HV）作為評價指標(biāo)。IGD 指標(biāo)衡量的是真實(shí)Pareto 前沿中的點(diǎn)到所求得Pareto 前沿近似解集之間最小距離的平均值；HV 指標(biāo)是指被非支配解集覆蓋的目標(biāo)空間區(qū)域大小。設(shè)P*是真實(shí)Pareto前沿上均勻采樣的解集，PR是算法求得的Pareto前沿近似解集，其定義分別如式（13）、（14）所示：

其中：dist(x，P)表示個體x∈P*到PR上離其最近個體之間的歐氏距離；|P*|是集合P*中的基數(shù)；vol(·)表示勒貝格測度；表示分布在目標(biāo)空間的參考點(diǎn)，參考點(diǎn)為Pareto 前沿極值點(diǎn)的1.1 倍。IGD 的值越小或HV 值越大，表示該算法具有越好的收斂性和多樣性，也說明PR更加近似Pareto前沿。

3.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

設(shè)置種群大小N=450，根據(jù)文獻(xiàn)［17］中的建議設(shè)置子種群N1=300，網(wǎng)格劃分參數(shù)K=140，鄰居間隔設(shè)置為5；N2=150，穩(wěn)態(tài)演化的子種群劃分?jǐn)?shù)量m=30；所有算法的終止條件為函數(shù)評估次數(shù)達(dá)到300 000；對于所有測試問題集算法獨(dú)立運(yùn)行51次，最后結(jié)果取平均值。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)比較了本文算法與NSGA-Ⅱ-CDP、ToP、PPS 和CTAEA 在測試集CF 和DOC 的IGD 和HV 指標(biāo)的平均值和均方差，結(jié)果如表2和表3所示，其中粗體IGD和HV指標(biāo)結(jié)果為五種算法中最優(yōu)結(jié)果，NaN 表示未尋找到可行解，括號內(nèi)為均方差結(jié)果。在測試集中，測試集CF1～CF3 的Pareto 前沿是這些問題在無約束情況下Pareto 前沿的一部分；測試集CF4～CF7的主要難點(diǎn)在于搜索前沿，因?yàn)楹芏郟areto 前沿的點(diǎn)分布在約束邊界位置。相對于前者，測試集CF4～CF7 對算法是否能夠有效兼顧多樣性和收斂性能提出了更高的要求。測試集DOC 同時擁有目標(biāo)與決策變量之間約束，更符合實(shí)際應(yīng)用需求。

表2 IGD的均值與均方差對比Tab.2 Comparison of mean and mean squared deviation for IGD

表3 HV的均值與均方差對比Tab.3 Comparison of mean and mean squared deviation for HV

與NSGA-Ⅱ-CDP 和C-TAEA 算法相比，對于測試集CF 和DOC，本文算法在IGD和HV指標(biāo)上均能獲得較好的結(jié)果。

與PPS 算法相比，對于CF 測試集中CF3、CF4 和CF7 以及DOC 測試集，本文算法在IGD 指標(biāo)和HV 指標(biāo)上獲得較好的結(jié)果，而PPS 算法在測試問題CF1、CF2 和CF5 上取得較好結(jié)果。

與ToP 算法相比，對于測試集中CF2、CF4 和CF7 以及DOC 測試集，本文算法在IGD 指標(biāo)和HV 指標(biāo)上獲得較好結(jié)果，對于測試問題CF3，兩種算法在HV 指標(biāo)上獲得了相似的結(jié)果，而ToP算法在測試問題CF1和CF5取得較好結(jié)果。

在收斂性和多樣性平衡方面，協(xié)同進(jìn)化過程中，單目標(biāo)演化起到引導(dǎo)種群進(jìn)化的作用，多目標(biāo)演化起到維持種群多樣性的作用，圖3分別描繪了本文算法在DOC1問題上早中晚三個時期的兩個子種群的目標(biāo)空間中分布情況。從圖中可以看出，在協(xié)同進(jìn)化初期階段，第一階段的穩(wěn)態(tài)演化在搜索到一定的可行解后，種群中的可行解在目標(biāo)空間分布相對均勻，保持了良好的多樣性；在協(xié)同進(jìn)化中期階段，子種群P2引導(dǎo)子種群P1演化，跳出不可行域，同時子種群P1基于網(wǎng)格約束分解的演化方法主要通過參考點(diǎn)的方式維持種群的多樣性，避免收斂到局部的Pareto 前沿；在協(xié)同進(jìn)化后期階段，子種群P1引導(dǎo)種群演化過程結(jié)束，子種群P1中個體逐漸聚集于Pareto 前沿的一個端點(diǎn)，子種群P2采用的多樣性管理措施發(fā)揮作用?；卩従雨P(guān)系的演化方法和網(wǎng)格多樣性管理方法在維持種群多樣性方面具有良好的優(yōu)勢，因此，采用單目標(biāo)和多目標(biāo)相結(jié)合的協(xié)同進(jìn)化方式在兼顧收斂性和多樣性方面具有良好的收斂效果。

圖3 DOC1的協(xié)同進(jìn)化過程Fig.3 Coevolutionary process of DOC1

綜上所述，本文算法在測試集上取得的良好結(jié)果，得益于多階段和協(xié)同進(jìn)化兩種優(yōu)化方式的良好結(jié)合，在第一階段的穩(wěn)態(tài)演化以多個子種群分別演化的形式保持種群的多樣性，并搜索高質(zhì)量的可行解；第二階段的協(xié)同進(jìn)化階段以雙種群協(xié)同演化的方式兼顧收斂性和多樣性。其中，兩個子種群分別以基于網(wǎng)格約束分解的方式和加權(quán)的方式實(shí)現(xiàn)算法的多樣性和收斂性，兩個子種群通過交互機(jī)制實(shí)現(xiàn)各自所分配任務(wù)的協(xié)同。因此，本文算法在求解具有低可行域、強(qiáng)約束和不連續(xù)Pareto 前沿的測試集DOC 中表現(xiàn)出了良好的優(yōu)勢，在求解更注重搜索能力的測試集CF時也具有良好的效果。

3.4 參數(shù)敏感性分析

3.4.1 子種群數(shù)量m

為研究穩(wěn)態(tài)演化中設(shè)定的子種群數(shù)量對算法性能的影響，分別在測試問題CF1、CF3、DOC1、DOC4 和DOC6 上測試了當(dāng)m分別為10、15、25、30、45 時的求解效果，以算法獨(dú)立運(yùn)行51 次結(jié)果的平均IGD 值作為評價標(biāo)準(zhǔn)，函數(shù)評價次數(shù)為300 000。測試結(jié)果如表4所示，可以看出，本文算法在穩(wěn)態(tài)演化階段中采用具有相對較低敏感性的子種群數(shù)量。

表4 m取不同值時的IGD均值對比Tab.4 Comparison of mean values of IGD with different m

3.4.2 子種群規(guī)模N2

為研究協(xié)同進(jìn)化中子種群數(shù)量對算法性能的影響，本文分別在測試問題CF1、CF3、DOC1、DOC4 和DOC6 上測試了四種子種群規(guī)模（N1，N2）組合形式別為（300，50）、（300，100）、（300，150）、（300，200）時求解效果。由于本文采用基于網(wǎng)格約束分解的方法，所以按文獻(xiàn)［17］中的建議設(shè)定N1=300。以算法獨(dú)立運(yùn)行51 次結(jié)果的平均IGD 值作為評價標(biāo)準(zhǔn)，函數(shù)評價次數(shù)為300 000。測試結(jié)果如表5所示，可以看出，本文算法在穩(wěn)態(tài)演化階段中采用具有相對較低敏感性的子種群數(shù)量。

表5 N2取不同值時的IGD均值對比Tab.5 Comparison of mean values of IGD with different N2

4 實(shí)例驗(yàn)證

采用盤式制動設(shè)計(jì)問題［19］進(jìn)一步檢驗(yàn)本文算法的有效性。該問題具有兩個目標(biāo)，分別是制動器的重量和停止時間；包含四個變量，其中x1和x2分別是制動器內(nèi)外圈直徑，x3表示嚙合力，x4表示摩擦面的數(shù)量；該問題的約束條件分別是半徑之間的最小距離、制動的最大長度、壓力、溫度和扭矩限制，具體優(yōu)化問題及約束如式（15）所示，其中：x1∈[55，80]，x2∈[75，110]，x3∈[1000，3 000]，x4∈[2，20]。

各算法在該問題上獨(dú)立運(yùn)行51 次，函數(shù)評價次數(shù)設(shè)定為300 000，比較求解結(jié)果HV 值的最優(yōu)值（best）、均值（mean）與標(biāo)準(zhǔn)差（std），參考點(diǎn)按照本文算法獲取的最大極值點(diǎn)的1.1倍設(shè)定。

求解結(jié)果如表6 所示，可以看出，本文算法較對比算法具有一定的優(yōu)勢。

表6 五種算法在盤式制動設(shè)計(jì)問題上的HV指標(biāo)比較Tab.6 Comparison of five algorithms on disk brake design problem in terms of HV indicator

5 結(jié)語

本文提出了一個基于協(xié)同進(jìn)化的約束多目標(biāo)優(yōu)化算法，通過網(wǎng)格約束分解和加權(quán)的方式實(shí)現(xiàn)協(xié)同進(jìn)化，能有效地兼顧進(jìn)化過程中算法的收斂性和多樣性，并結(jié)合穩(wěn)態(tài)演化方法以保證該算法前期具有良好搜索性能，最后通過測試集和實(shí)例驗(yàn)證了算法的有效性。算法的不足之處在于采用基于網(wǎng)格約束分解的方法導(dǎo)致算法種群規(guī)模較大，相同評價次數(shù)的情況下，本文算法迭代次數(shù)偏低，影響求解質(zhì)量，因此，多樣性管理措施將是未來主要研究方向。