追錯因：走向數(shù)學(xué)深度思維

張雨

【摘要】日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生生成的錯誤是非常寶貴的教學(xué)資源，如果能了解、探尋和挖掘錯因，并能引導(dǎo)學(xué)生深入思考探究，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程走向深入。作者先后兩次同課異構(gòu)“平均數(shù)”這一內(nèi)容，充分挖掘錯誤資源，重新設(shè)計了教學(xué)過程，達到了不同的教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】追錯因;數(shù)學(xué);深度思維

【基金項目】本文系本校承擔(dān)的南京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“數(shù)學(xué)錯題：數(shù)學(xué)資源開發(fā)的新探索”（題立項號：L/2011/114）階段性成果。

一、案例背景

在日常的課堂教學(xué)中，學(xué)生難免會犯各種各樣的錯誤，而這些錯誤正是一筆非常寶貴的教學(xué)資源，應(yīng)著力挖掘其教育價值。這就要求教師在面對學(xué)生的錯誤時，能了解錯因，探尋錯因，挖掘錯因，利用好寶貴的錯題資源，使學(xué)生在課堂上能激發(fā)潛能，深入思考，并能將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型加以解決，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程走向深入。筆者曾先后兩次教學(xué)蘇教版“平均數(shù)”這一內(nèi)容，在挖掘?qū)W生的錯誤資源之后，重新設(shè)計了教學(xué)過程，達到了不同的教學(xué)效果。

二、案例描述

【教學(xué)——“平均數(shù)不僅僅是‘總數(shù)量÷總份數(shù)這么簡單”】

課后筆者請那個出錯的學(xué)生過來說說他是怎么想的。在筆者的追問下，他說：“老師，我覺得甲乙2個組，就把甲組的平均數(shù)和乙組的平均數(shù)相加，除以2，就是甲乙兩組的平均數(shù)了。”

他的回答給了筆者啟示，其實是很多學(xué)生根本沒有理解“平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)”數(shù)量關(guān)系式中的“總數(shù)量”“總份數(shù)”“平均數(shù)”究竟在這一題中表示什么，它們之間又是什么樣的數(shù)量關(guān)系。追根溯源，還是筆者在教學(xué)“平均數(shù)”這一概念時，沒有在學(xué)生頭腦中充分完整地建構(gòu)，沒有在學(xué)生原有知識體系中建立解決這類問題的模型，使他們不能利用新知深入思考這個題目。于是筆者改進了教學(xué)設(shè)計，在另一班重新教學(xué)。

1.師：三年級第一組同學(xué)正在進行一場激烈的套圈比賽，想知道他們的比賽情況嗎？咱們一起來看看吧！

請學(xué)生結(jié)合情境圖說明：他們分成男生和女生進行比賽。

2.出示條形統(tǒng)計圖1：男生3人，分別套中7、1、5個;女生4人，分別套中3、3、2、4個。

（1）學(xué)生觀察，教師提問：從條形統(tǒng)計圖里你知道了什么數(shù)學(xué)信息？

（2）如果男生與女生比賽，你們認為哪個隊贏了？為什么？

生1：男生贏了，因為男生一共套中了13個，女生只套中了12個。

生2：這里人數(shù)相同，可以比較總個數(shù)，哪個隊總個數(shù)多，哪個隊贏。

3.出示條形統(tǒng)計圖2：男生3人，每人都套中4個;女生4人，每人都套中3個。

師：男生與女生隊進行了第2次比賽，這次你們認為哪個隊贏了？能不能比總數(shù)了？為什么？

生1：不能比總數(shù)，男生隊只有3個人，不公平。

師：那你認為這次應(yīng)該比什么？

生2：比每人套中的個數(shù)。

生3：也就是可以這樣理解：“4個”代表了男生的整體水平，“3個”代表了女生的整體水平。要比較兩隊成績，通常是整體水平的比較，就要找一個合適的數(shù)作代表：人數(shù)相同時，可以選“總個數(shù)”;人數(shù)不同時，可以選“每人套中個數(shù)”。

4.出示例題圖，男生4人，分別套中6、9、7、6個;女生5人，分別套中10、4、7、5、4個。

師：這是第3次比賽，比什么才公平？為什么？（比每人套中的個數(shù)）（出示圖2和例題圖對比）剛才第2次每人套中的個數(shù)相同，能一眼看出來每人套中的個數(shù)，現(xiàn)在呢？（不同）怎么辦？（小組討論，師巡視）

有的學(xué)生在作業(yè)紙上畫一畫圖，使4個男生套中的個數(shù)變得同樣多;有的學(xué)生先用套中的總個數(shù)除以人數(shù)，求出平均每人套中的個數(shù)。

板書：6+9+7+6=28（個）;28÷4=7（個）。

5.生4：“7個”反映了“6、9、7、6”這四個數(shù)的平均水平。

師：數(shù)學(xué)上我們就把“7”稱為“6、9、7、6”這四個數(shù)的平均數(shù)。（揭示課題）

6.師：用這種方法，你能算出女生平均每人套中多少個圈嗎？（學(xué)生小組討論，匯報討論結(jié)果）

板書：10+4+7+5+4=30（個）;30÷5=6（個）。

7.師：現(xiàn)在你能比較男生套得準(zhǔn)些還是女生套得準(zhǔn)些了嗎？為什么？關(guān)于這里的平均數(shù)，有沒有疑問？

8.生5：男生平均每人套了7個是不是表示每個男生都套中了7個？

生6：男生平均每人套了7個是表示他們套圈的總體水平，并不表示每個男生都套中了7個。

9.師：今天我們學(xué)會了利用數(shù)據(jù)求平均數(shù)，誰來說說怎樣求平均數(shù)？（板書：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)）

新授結(jié)束后，筆者出示了甲乙兩組加工零件這道練習(xí)：“某車間有兩個加工小組，甲組有6人，平均每人每天加工零件10個;乙組有4人，平均每人每天加工零件5個，問甲乙兩組平均每人每天加工零件多少個？”結(jié)果發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生列出了正確的算式，有個別學(xué)生犯了和前面一樣的錯誤。

這時筆者并沒有急于講解正確的數(shù)量關(guān)系式，而是讓學(xué)生小組討論：“你認為哪種算法是正確的？為什么？”有個學(xué)生舉起手來，迫不及待地說：“老師，這題加工零件的總數(shù)量應(yīng)該是甲組的總數(shù)量加上乙組的總數(shù)量，再除以甲乙兩組的總?cè)藬?shù)，才是每人每天加工零件的平均數(shù)。所以，剛才第二種算法直接除以2的算式顯然不符合題意，是錯誤的?！?/p>

另一個學(xué)生補充說：“如果這題甲乙兩組的人數(shù)相同，比如都是4人，可以用‘10+5=15（個），15÷2=7（個）……1（個）來求平均數(shù)，兩組人數(shù)不同時，必須用‘總工作量÷總?cè)藬?shù)，這樣的過程才正確?！?/p>

筆者追問：“你覺得以后遇到類似的求平均數(shù)的題目，該如何解決呢？”

有學(xué)生這樣概括：“依然是用‘總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)，只不過這里的‘總數(shù)量和‘總份數(shù)在不同情況下是不同的，要具體看求什么樣的平均數(shù)，具體問題具體分析?！甭犕臧l(fā)言，出現(xiàn)錯誤的學(xué)生紛紛點了點頭，及時糾正了錯解。

三、案例反思

反思這節(jié)課前后同課異構(gòu)，實際上就是一次“追錯因，重建構(gòu)”的過程，通過挖掘和利用學(xué)生課堂上的錯誤資源，達到了重新設(shè)計與建構(gòu)教學(xué)過程的目的，取得了較為不錯的教學(xué)效果，總結(jié)起來主要有以下幾點。

（一）追問促思，讓學(xué)生悟出自己錯誤形成的根本原因

當(dāng)摸清了學(xué)生產(chǎn)生的錯誤之后，必須進行深度分析，以便找到他們出錯的根本原因。就像本課例中的情況，學(xué)生在新授例題時，對平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系已經(jīng)明確，按筆者課前預(yù)設(shè)的想法，他們在練習(xí)中只需要按照關(guān)系式對號入座就可以了，為什么在遇到稍復(fù)雜的題目時卻又出現(xiàn)了錯誤？

仔細分析這個學(xué)生錯誤的原因，其實是學(xué)生沒有從根本上理解“平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)”數(shù)量關(guān)系式中的“總數(shù)量”“總份數(shù)”“平均數(shù)”究竟在這一題中表示什么，它們之間又是什么樣的關(guān)系。

僅僅通過教師分析出錯誤形成的原因，對于部分接受能力弱的學(xué)生來說，理解起來還是有困難。所以在第二次教學(xué)中，筆者將學(xué)習(xí)探究的主動權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生通過自主探究、交流反饋，自己悟出出現(xiàn)錯誤的根本原因。只有學(xué)生通過交流探索自己悟出的錯誤原因才是有生命力的。通過追問促思，學(xué)生在同伴的互相分析和補充中漸漸明確了這題的“總數(shù)量”是甲乙兩組每天加工零件的總量，要求的“平均數(shù)”是甲乙兩組平均每人每天加工零件的數(shù)量，而最關(guān)鍵的是“總份數(shù)”，這里的“總份數(shù)”其實是甲乙兩組的總?cè)藬?shù)。原來理解的“總份數(shù)”是甲乙有2個組，就是2，顯然這樣的理解不夠透徹，所以出錯。

（二）追問促思，讓學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思維過程走向深入

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展?！痹谏钊敕治銮宄e誤的原因之后，更重要的應(yīng)該是幫助學(xué)生重新建立相關(guān)問題的模型，形成知識結(jié)構(gòu)，同時使他們的思維不僅僅停留在表面，發(fā)展有深度的數(shù)學(xué)思維，直至遇到類似問題時都能利用這個數(shù)學(xué)模型加以解決。

本課例中的第二次教學(xué)，筆者重新設(shè)計了新授部分，將例題改為三次比賽。第一次：男生3人，分別套中7、1、5個;女生3人，分別套中6、2、4個。這里設(shè)計了男女生人數(shù)相同，套圈總數(shù)不同的情況，使學(xué)生可以比較總數(shù)來衡量男女生哪一組套得準(zhǔn)。第二次：男生3人，每人都套中4個;女生4人，每人都套中3個。這里設(shè)計了男女生套圈總數(shù)相同，人數(shù)不同的情況，不能用總數(shù)量衡量，引出了求出平均值。第三次：男生4人，分別套中6、9、7、6個;女生5人，分別套中10、4、7、5、4個。這里總數(shù)量不同，總?cè)藬?shù)也不同，學(xué)生有了前面的鋪墊，自然就想到了利用“總數(shù)量÷總?cè)藬?shù)”求出平均數(shù)來比較。

通過重新設(shè)計新授部分的教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了三次有現(xiàn)實背景的生活情境，并讓學(xué)生在情境中經(jīng)歷觀察、比較、分析的探究過程，在此過程中由學(xué)生建構(gòu)解決平均數(shù)問題的數(shù)學(xué)模型。

思維的過程由表及里，層層遞進，這樣的建構(gòu)過程帶領(lǐng)學(xué)生一步步理解了平均數(shù)的產(chǎn)生、意義和求法，學(xué)生頭腦中的新知由此得以完整，思維也得以深入。

這次的同課異構(gòu)源于學(xué)生課堂的一次出錯，經(jīng)過第二次重新建構(gòu)的設(shè)計，教學(xué)效果有所提升，學(xué)生的思維水平有所提高。看來，抓住學(xué)生錯誤的原因，利用學(xué)生錯誤的資源，不僅能給數(shù)學(xué)課堂帶來生機活力，而且能促進學(xué)生的思維深入發(fā)展。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.