線性代數(shù)教學(xué)改革的探索與實踐

李艷艷

（文山學(xué)院 人工智能學(xué)院，云南 文山 663099）

線性代數(shù)課程是高等院校理工科和經(jīng)濟類專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)必修課，是大學(xué)公共數(shù)學(xué)三大基礎(chǔ)課之一，在研究生入學(xué)考試中也占有重要的位置[1-2]。線性代數(shù)主要介紹行列式、矩陣的代數(shù)運算及初等變換、矩陣的秩、線性方程組理論、向量的線性相關(guān)性、矩陣的特征值和特征向量，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和自學(xué)能力。文章就目前文山學(xué)院工科類專業(yè)線性代數(shù)課堂教學(xué)中存在的問題，談?wù)劷虒W(xué)改革的必要性和緊迫性，并從教材的選擇、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考核形式等方面進行探索與實踐。最終，提出課程改革方案。

1 教材和教學(xué)中存在的問題

1.1 現(xiàn)用教材的特點及不足

線性代數(shù)是一門內(nèi)容較為抽象、理論性強、計算復(fù)雜繁瑣的課程。目前文山學(xué)院工科類專業(yè)選用的教材是同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的工程類專業(yè)線性代數(shù)，該教材已更新到第六版，是線性代數(shù)課程的經(jīng)典教材，也是較多高校選用的教材。但是在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)該教材存在一些與時代發(fā)展不匹配的不足之處：（1）教材內(nèi)容比較精簡，沒有實際應(yīng)用的例子，沒有數(shù)學(xué)軟件對應(yīng)算法的例題。（2）沒有從具體的實際問題中引出所要闡述的概念或定義，都是直接給出定義、定理，這會使學(xué)生不能很好地認識或理解定義、定理產(chǎn)生的必然性和原理。（3）沒有與工科專業(yè)貼合度緊密的實際應(yīng)用案例，讓學(xué)生很茫然，不知學(xué)以如何致用？（4）與已學(xué)過的《高等數(shù)學(xué)》中的解析幾何部分聯(lián)系不緊密，不能很好地將數(shù)與形，聯(lián)系在一起，沒有起到互相支撐的作用。這些不足使得教材內(nèi)容顯得抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。

1.2 教學(xué)方法存在的問題

文山學(xué)院是2009年由?？粕秊楸究频钠胀ǖ胤皆盒＃痔幱谶吔贁?shù)民族地區(qū)，大部分學(xué)生來自云南，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，抽象思維能力也比較弱。在線性代數(shù)教學(xué)中教師普遍采用先給出定義，定理，然后給出例題進行解釋說明，由于這門課程的概念、理論都很抽象，這種教學(xué)方式只讓學(xué)生記住了定義，沒有很好、有效地領(lǐng)會到定義的來源和問題的本質(zhì)。學(xué)生認為這門課程就是由定義、定理構(gòu)成的，看不到實用性，這樣大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。[3]

1.3 學(xué)習(xí)方法存在的問題

學(xué)生對課程內(nèi)容的來龍去脈認識不到位，自身學(xué)習(xí)動力不足，學(xué)習(xí)中僅滿足于完成教師布置的課堂任務(wù)，由于課程教學(xué)時數(shù)有限，所以學(xué)生的學(xué)習(xí)方法較為單一和陳舊，學(xué)習(xí)角度和視野不開闊。

1.4 考核方式存在的問題

在考核環(huán)節(jié)，目前采用的是平時成績占40%，包含了考勤、作業(yè)、課堂回答問題、章節(jié)測試（章節(jié)測試講解）四部分，期末卷面成績占60%。期末成績占的比重較大，會使學(xué)生為了提高期末成績，而突擊復(fù)習(xí)，死記硬背，忽視了線性代數(shù)的應(yīng)用背景，沒有達到課程學(xué)習(xí)的初衷。

2 教學(xué)改革的一些建議

針對線性代數(shù)課程教學(xué)中存在的問題，給出教學(xué)改革的幾點建議：

2.1 課堂授課時增加知識點的來龍去脈

線性代數(shù)的內(nèi)容和生產(chǎn)生活實際聯(lián)系非常緊密，每個知識點都是來源于實際需要或其他學(xué)科發(fā)展的需要。

案例1講行列式定義時，應(yīng)從二元一次、三元一次線性方程組消元解法入手，讓學(xué)生明白，行列式的定義是為了簡化線性方程組解的表示，是為線性方程組服務(wù)。

“雞兔同籠”問題：明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題，用消元法給出二元一次線性方程組解的表現(xiàn)形式

案例2關(guān)于矩陣的定義，講解前，應(yīng)該從多個角度分析矩陣的來源及簡化運算的價值。

問題描述：

5個房子有5個門，分別是黃、藍、紅、綠、橙

5個人物：小明，小紅，小蘭，小白，小黃

寵物5個：蝸牛，小狗，小貓，小白兔，小金魚

飲料5種：水，茶，牛奶，果汁，咖啡

事物5種：洋蔥，香蕉，蘋果，蘑菇，蛋糕

小明住在紅門的房子里；喝牛奶的住在中間房子里；小白有只小貓，鄰居有只小金魚；

小黃住在最左邊的房子里；住在綠門房子里的喝咖啡；吃洋蔥的住在吃蘋果的右邊；

小蘭喝茶還有只小狗；吃蛋糕的喝果汁；綠門房子在最右邊，橙門房子在其左邊；

吃蘋果的鄰居有只小狗；吃蘑菇的有只小蝸牛；小白吃香蕉；住在黃門房子里的吃蘋果；

小黃的鄰居家的房門是藍色的。

提出問題：誰喝水？誰有只小金魚？

做法：通過填表的形式梳理和快速回答問題

信息 房子1 房子2 房子3 房子4 房子5門 黃色 藍色 紅色 橙色 綠色人物 小黃 小蘭 小明 小紅 小白寵物 小白兔 小狗 小蝸牛 小金魚 小貓飲料 水 喝茶 牛奶 果汁 咖啡食物 蘋果 洋蔥 蘑菇 蛋糕 香蕉

案例3講到矩陣的加、減、數(shù)乘、乘法運算時，都先給出工業(yè)生產(chǎn)中的具體實例，讓學(xué)生在問題的解決過程中，自己說出這些運算的法則是什么。尤其是矩陣乘法，通過兩個工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的總利潤和凈利潤問題，讓學(xué)生總結(jié)，矩陣乘法的前提條件、乘法法則、結(jié)果類型等。同時順勢引出矩陣乘法產(chǎn)生的時代背景，以及矩陣乘法在圖片加密、字體變形等方面的應(yīng)用，最后給出Matlab數(shù)學(xué)軟件、對于矩陣乘法的運算命令。

根據(jù)表1、表2填寫表3，各工廠一年的總收入及總利潤（萬元/t）。

表1 2017年各工廠的各產(chǎn)品產(chǎn)量/t

表2 各產(chǎn)品的單位價格及單位利潤/（萬元/t）

表3 工廠一年的總收入及總利潤/（萬元/t）

通過該問題的細致分析，得出矩陣乘法的前提條件、結(jié)果類型、乘積之后元素之間的關(guān)系，從而給出矩陣乘法的定義。

2.2 融入數(shù)學(xué)建模思想的案例

講到向量組的線性表示時，通過兩個混凝土生產(chǎn)企業(yè)各自的配方，能不能被互相代替的問題，從一個向量能被一個向量組表示兩個向量組互相表示，這樣一條主線，讓學(xué)生在解決問題的過程中，理解并掌握了向量組的線性表示內(nèi)容，把一個非常抽象的問題，變得淺顯易懂。

315調(diào)查顯示，房屋質(zhì)量不過關(guān)，讓購房者最不能忍受，而作為質(zhì)量問題，最突出的就是混凝土問題。

問題給出：一個混凝土生產(chǎn)企業(yè)可以生產(chǎn)出三種型號不同的混凝土，他們具體的配方比例如表4所示：

表4 混凝土配比情況表

問：現(xiàn)在有用戶要求混凝土中含水、水泥、沙子、石頭、煤炭灰的比例分別為：24、52、73、133、12，那么，能否用這三種混凝土配出滿足其要求的混凝土呢？

據(jù)調(diào)查，農(nóng)村幼兒園兩教一保、兩教兩保的比例合計僅為5.46%，師幼比1∶10以下幼兒園也僅為3.64%，具有事業(yè)編制的教師比例為1.82%，持有教師資格證者為36.36%，小學(xué)高級職稱和一級職稱教師占比都是0.00%?？梢?，農(nóng)村幼兒教師不僅數(shù)量缺口巨大，而且優(yōu)質(zhì)教師資源缺乏嚴重。

還有一個混凝土生產(chǎn)企業(yè)，也可以生產(chǎn)出3種不同型號的混凝土，他們具體的配方表如表5所示：

表5 混凝土配方情況表

分析，第2家生產(chǎn)的這3種混凝土是否可以代替第一家企業(yè)的那三種？最后考慮，第一家企業(yè)可以代替第二家企業(yè)嗎？

2.3 深入挖掘課程思政元素

要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來，提高學(xué)生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力。理學(xué)類專業(yè)課程，要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責任感和使命感。

讓學(xué)生在數(shù)學(xué)欣賞中涵養(yǎng)人文精神和道德情懷，提高看問題的高度和寬度。對于重點知識的產(chǎn)生，進行中外比較分析，從而增加學(xué)生的民族自豪感，也更加堅定學(xué)生的文化自信。如：關(guān)于線性代數(shù)發(fā)展史的學(xué)習(xí)，講到《九章算術(shù)》是從先秦開始，經(jīng)過眾多學(xué)者編撰修改，約于西漢中葉成書，本書對于線性方程組的消元法進行了詳細說明，而這些內(nèi)容西方國家是在相當于明朝中期，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾才開始研究，比中國晚了一千多年。

搜集相關(guān)科學(xué)家在線性代數(shù)發(fā)展過程中所表現(xiàn)現(xiàn)出來的科學(xué)精神、科學(xué)思想和科學(xué)方法的史料，以多媒體、課堂和網(wǎng)絡(luò)討論的途徑實現(xiàn)課程思政。如通過播放小視頻《笛卡爾跌宕起伏卻又充滿傳奇的不太完美的一生》，使學(xué)生了解科學(xué)家成長的曲折，并感觸他們身上百折不撓的科學(xué)精神，以不變求萬變的科學(xué)素養(yǎng)，以他啟迪智慧的名言（我思故我在，欲學(xué)習(xí)、欲發(fā)現(xiàn)自己的無知等）讓學(xué)生學(xué)會辯證地看待問題。

2.4 加強與幾何問題的聯(lián)系

代數(shù)幾何本不分家，線性代數(shù)中的眾多概念都有幾何含義，通過幾何展示，配合理解代數(shù)內(nèi)容。

2.5 注重知識的實際應(yīng)用舉例

在課堂教學(xué)中學(xué)生心里想得最多的問題是：為什么學(xué)習(xí)線性代數(shù)？為什么要學(xué)習(xí)線性方程組的求解？線性方程組的價值如何體現(xiàn)？在教學(xué)中可以充分發(fā)揮學(xué)生的力量，讓學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位，查閱資料，尋找線性方程組的具體實例，并建立模型，利用初等變換法和MATLAB程序法，對其求解，最終形成小組簡報，并在課堂上講解和分享。

通過這樣的方式，不僅使學(xué)生充分了解了線性代數(shù)的應(yīng)用，而且培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)思維和勇于解決問題的科學(xué)精神。

2.6 采取過程化方法對學(xué)生成績進行綜合評定

在平時成績的構(gòu)成方面有所突破，增加體現(xiàn)參與度的內(nèi)容，比如翻轉(zhuǎn)講解、章節(jié)測試講解、期末強化測試、課堂回答問題、中國大學(xué)MOOC的隨堂測試、課程團隊組搭建的學(xué)習(xí)通隨堂測試、課后測試、章節(jié)測試等；學(xué)生對課程的評價，除了學(xué)校的網(wǎng)上評教外，還應(yīng)該增加學(xué)生無記名的紙質(zhì)評價，并進行橫向和縱向的分析。

（1）出勤（100分）采用扣分制，遲到扣2分，曠課扣15分，請假扣2分，違反課堂紀律扣10分；

（2）作業(yè)分兩部分：a.書面作業(yè)（80分），交加1分，分ABC，三個等級分別加2分，1分，0分；不交扣5分；b.筆記記錄情況（分等級按分數(shù)計入）。以上兩項的平均分即是作業(yè)部分的成績；

（3）課堂回答問題（70分），主動回答一次3分；

（4）期中測驗+章節(jié)測驗（按小組講解），各占50%，以實際的平均分計入；

（ 5 ）網(wǎng)絡(luò)資源學(xué)習(xí)小簡報以及體會交流（以實際打分計入）。

3 總結(jié)

本課程通過近兩年的改革與實踐，在教學(xué)理念上改變傳統(tǒng)的一支粉筆+一塊黑板、多媒體PPT的形式，根據(jù)不同的內(nèi)容，將黑板、多媒體、優(yōu)秀視頻、國家精品資源、學(xué)習(xí)通等有效融合。教學(xué)內(nèi)容在選定教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)工程管理專業(yè)的專業(yè)需求，調(diào)整、優(yōu)化、重組教學(xué)內(nèi)容。教學(xué)方法采用探索發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)式講解法、師生互動式等注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的個性化教學(xué)方案，探索教學(xué)規(guī)律，總結(jié)、提煉具有普適性的授課方法。利用問題解決式教學(xué)，以問題為先導(dǎo)，介紹背景知識，穿插數(shù)學(xué)史，講清邏輯性，剖析線性代數(shù)的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，過程中注意穿插一些數(shù)學(xué)軼事和應(yīng)用實例。在課堂上留給學(xué)生思考、討論、演練的時間，讓學(xué)生自己提出分析、解決問題，同時開展問答式和討論式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。在教學(xué)中，不僅傳授知識，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力；不僅給出結(jié)論，還要揭示過程；不僅學(xué)習(xí)解題技巧，更要掌握解題規(guī)律。使學(xué)生在學(xué)到本課程知識的基礎(chǔ)上，學(xué)到發(fā)現(xiàn)問題、解決的問題方法，進一步優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。課程評價方面在平時成績的構(gòu)成有所突破，增加體現(xiàn)參與度的內(nèi)容，比如翻轉(zhuǎn)講解、章節(jié)測試講解、期末強化測試、課堂回答問題、中國大學(xué)MOOC的隨堂測試等，學(xué)生對課程的評價，除了學(xué)校的網(wǎng)上評教外，還應(yīng)該增加學(xué)生無記名的紙質(zhì)評價，并進行橫向和縱向的分析。