基于l1范數(shù)相干度的量子態(tài)區(qū)分

玄東平， 胡曉會， 南華

(延邊大學(xué) 理學(xué)院，吉林 延吉 133002)

為獲知量子系統(tǒng)的信息，需要對所獲得的量子態(tài)進(jìn)行識別，但研究表明完美區(qū)分兩個或多個非正交態(tài)是不可能的;因此，尋求量子態(tài)區(qū)分(QSD)的最優(yōu)策略受到學(xué)者們的關(guān)注.目前，量子態(tài)區(qū)分主要有不明確的量子態(tài)區(qū)分(AQSD)和不出錯的量子態(tài)區(qū)分(UQSD)兩種.2011年，Roa等[1]以沒有糾纏的quantum discord為資源研究了量子態(tài)的區(qū)分；2013年，Spehner等[2]以量子關(guān)聯(lián)為資源，研究了關(guān)聯(lián)度與態(tài)區(qū)分之間的聯(lián)系；2018年，Kim等[3]利用斜信息相干度量研究了量子態(tài)的區(qū)分問題.上述研究結(jié)果表明不僅可以利用不同量子資源對量子態(tài)進(jìn)行區(qū)分，而且可以基于不同的資源度量找到成功識別概率與所選取的量子資源之間的關(guān)系，進(jìn)而可以尋求最優(yōu)的量子態(tài)區(qū)分方法.因此本文以相干為資源，通過附加一個輔助系統(tǒng)和執(zhí)行聯(lián)合酉操作來實現(xiàn)非正交量子態(tài)的UQSD，并利用l1范數(shù)相干度量給出了該策略的成功識別概率與相干均值之間的數(shù)值關(guān)系，同時在某些特定情況下量化了UQSD最優(yōu)協(xié)議所需的l1范數(shù)相干均值.

1 相干性與量子態(tài)區(qū)分

(C1)非負(fù)性:C(ρ)≥0，C(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ∈.

(C2)單調(diào)性：C(ρ)在非相干操作Φ下是不增的，即C(ρ)≥C(Φ(ρ)).

2016年，Yu等[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上改進(jìn)了相干度量的框架.隨后一些相干度量相繼被提出并且在計量學(xué)、熱力學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，如魯棒相干度量、相對熵相干度量、跡范數(shù)相干度量、l1范數(shù)相干度量等[6-7].從相干度量的上述兩個框架可知，相干性與非對角線元素密切相關(guān)，因此本文選取依賴非對角線元素的相干度量Cl1來討論量子態(tài)區(qū)分的問題.Cl1相干度量的表達(dá)式為：

(1)

最初的UQSD問題是識別具有等先驗概率(p1=p2=1/2)的兩個非正交量子態(tài)|φ1〉和|φ2〉.針對這一問題文獻(xiàn)[5]提出了一種策略，即通過附加量子位和實施非零失諧(零糾纏)的操作來實現(xiàn)態(tài)區(qū)分.在該策略中，主系統(tǒng)通過聯(lián)合酉變換U將其耦合到輔助量子系統(tǒng)A中，使得：

(2)

式(2)表明，UQSD策略的成功概率雖存在上限，但不一定總能找到成功概率達(dá)到上限的UQSD策略.

2 基于相干資源的UQSD

(3)

(4)

由于

(5)

(6)

由非相干態(tài)的定義可知：相互正交的量子態(tài)是非相干態(tài)，它們之間的相干度為0.由于非正交量子態(tài)之間始終存在相干性，因此識別非正交態(tài)時必然會消耗相干性，由此表明相干是UQSD的一種重要資源.由式(5)和式(6)可知，相干度和成功概率之間存在一定的數(shù)值關(guān)系，即系統(tǒng)經(jīng)聯(lián)合酉操作后附加在系統(tǒng)上的相干均值能夠反映出成功識別量子態(tài)概率的大小.

3 量化最優(yōu)UQSD的相干性

假設(shè){|φ1〉, |φ2〉}是單量子系統(tǒng)中具有先驗概率分布(p=(p1,p2))的兩個非正交且線性獨立的量子態(tài).在主系統(tǒng)上附加輔助系統(tǒng)A后，再通過聯(lián)合酉變換可得：

(7)

(8)

上述表明，當(dāng)實施策略(7)時，即利用l1范數(shù)相干度量計算相干均值Cmean時，若其結(jié)果與式(8)的計算結(jié)果一致，則可推斷策略(7)是最優(yōu)的.

(9)

(10)

利用式(6)和式(10)計算系統(tǒng)的相干均值可得：

(11)

文獻(xiàn)[9]的作者也是用類似的思想研究了量子態(tài)區(qū)分問題，即他們通過在主系統(tǒng)上附加一個量子位A后再經(jīng)聯(lián)合酉變換(VSA)得到了如下態(tài)區(qū)分策略：

(12)

其中

(13)

另外，根據(jù)式(5)還可以得到式(12)的UQSD策略的成功識別概率為：

(14)

由上述可知，式(13)和式(14)即可體現(xiàn)式(12)的UQSD策略的成功概率與相干均值之間的數(shù)值關(guān)系.

4 結(jié)論

本文以量子相干為資源，通過附加輔助系統(tǒng)的方法研究了區(qū)分非正交量子態(tài)的策略.研究表明，UQSD成功識別量子態(tài)的概率與相干均值存在數(shù)值關(guān)系.本文研究不僅可為設(shè)計UQSD策略提供一種新思路，而且可為判別UQSD策略的優(yōu)劣提供依據(jù).本文的策略還可以推廣到其他高維系統(tǒng)的態(tài)區(qū)分問題中.在今后的研究中，我們將進(jìn)一步研究如何通過調(diào)整聯(lián)合酉操作使本文方法在更一般的情況下能夠達(dá)到或逼近識別量子態(tài)成功概率的上限.