慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究

楊晨曦，余盛強(qiáng)，閆紅松,袁大義，王永振

(北京自動化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

0 引言

慣導(dǎo)系統(tǒng)是運(yùn)載火箭等飛行器和其他載體中廣泛應(yīng)用的精密測量儀器，其工作精度和可靠性直接影響著載體的控制精度和可靠性[1]。新一代飛行器要求飛行速度更快、射程更遠(yuǎn)，在提升動力性能的同時(shí)，結(jié)構(gòu)減重是目前一項(xiàng)亟待解決的關(guān)鍵技術(shù)難題。慣導(dǎo)系統(tǒng)作為飛行器的核心導(dǎo)航控制電子設(shè)備，在精度指標(biāo)要求不斷提升的同時(shí)，還要求其具有小型化、輕質(zhì)化、力學(xué)環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)。同時(shí)飛行器動力性能的提升使慣導(dǎo)系統(tǒng)面臨比以往更加嚴(yán)酷的振動、沖擊及噪聲環(huán)境條件，而傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)模式主要基于現(xiàn)有的設(shè)計(jì)規(guī)范及設(shè)計(jì)師的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，在設(shè)計(jì)基本完成后進(jìn)行力學(xué)仿真校核，結(jié)構(gòu)減重主要依據(jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，缺少科學(xué)的計(jì)算數(shù)據(jù)支撐，這就造成了減重設(shè)計(jì)不合理及多輪的設(shè)計(jì)反復(fù)，影響了設(shè)計(jì)質(zhì)量和研制周期。如何使慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)在滿足力學(xué)環(huán)境適應(yīng)性要求的同時(shí)，又能實(shí)現(xiàn)大幅度輕量化，是慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)重要研究內(nèi)容。除采用輕質(zhì)化的高強(qiáng)度材料外，基于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的正向創(chuàng)新設(shè)計(jì)是目前最有效的一種技術(shù)手段。

近年來，國內(nèi)已經(jīng)開始把拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)應(yīng)用在慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中。如李雄魁等對運(yùn)載火箭慣組基座進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，確定了一種輕質(zhì)化、高剛度的懸臂慣組基座結(jié)構(gòu)形式[2]；劉仲宇等對航空遙感慣性穩(wěn)定平臺內(nèi)框架進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，減小了平臺內(nèi)框架的總質(zhì)量，提高了平臺的動態(tài)性能[3]；王平等對無人機(jī)慣導(dǎo)減振系統(tǒng)支架進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，在減重的基礎(chǔ)上提升了一階模態(tài)頻率[4]；徐江濤等對光纖陀螺結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足頻率和光纖環(huán)體積的條件下,減小了結(jié)構(gòu)的質(zhì)量,輕量化效果明顯[5]；陳興好等對慣性臺體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足一階頻率要求的前提下減重效果明顯[6]。上述工作均以質(zhì)量或一階模態(tài)頻率作為目標(biāo)函數(shù)，以一階模態(tài)頻率或質(zhì)量作為約束條件，主要對結(jié)構(gòu)振動這一典型工況進(jìn)行優(yōu)化，而沒有考慮結(jié)構(gòu)在承受其他力學(xué)載荷(例如大氣壓力)等多種工況下的優(yōu)化。此外，在邊界處理上也大多對安裝面直接進(jìn)行理想剛性約束,這種假設(shè)與真實(shí)情況存在差異，一般來說拓?fù)錁?gòu)型也并不理想。王立平等將子模型技術(shù)引入裝配體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化中，對邊界條件進(jìn)行了精確提取[7]，但這種方法僅適用于靜力學(xué)工況，并不適用于慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件所受的模態(tài)工況。

本文基于拓?fù)鋬?yōu)化理論，提出了考慮多工況組合和等效邊界處理方法的慣導(dǎo)系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，梳理了適用于慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化流程。并以某慣導(dǎo)系統(tǒng)蓋板、慣性臺體和外殼體組成的系統(tǒng)為實(shí)例進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化結(jié)果在滿足剛度和頻率約束的前提下，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)質(zhì)量大幅減小，拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型清晰，取得了良好的優(yōu)化效果。

1 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論與方法

結(jié)構(gòu)優(yōu)化是對結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化，根據(jù)設(shè)計(jì)變量的范圍大體分為三個(gè)層次：拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，分別對應(yīng)產(chǎn)品的概念設(shè)計(jì)、基本設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)階段。拓?fù)鋬?yōu)化主要是在規(guī)定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)，在給定的載荷和邊界條件下，通過改變結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋪頋M足應(yīng)力、頻率和位移等約束條件；形狀優(yōu)化是在給定結(jié)構(gòu)和拓?fù)涞幕A(chǔ)上，對其邊界形狀進(jìn)行優(yōu)化；尺寸優(yōu)化是在給定結(jié)構(gòu)的類型、拓?fù)浜托螤畹幕A(chǔ)上，對構(gòu)件尺寸進(jìn)行優(yōu)化。與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比，拓?fù)鋬?yōu)化不僅待優(yōu)化參數(shù)更多，對優(yōu)化目標(biāo)的影響更大，取得的效果也更好，是當(dāng)今結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)[8-9]。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法主要有均勻化法、變密度法、獨(dú)立連續(xù)映射法(Independent Continuous Mapping，ICM)、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法(Evolutionary Struc-tural Optimization，ESO)和水平集法等[10]。均勻化方法尋優(yōu)效率低，獨(dú)立連續(xù)映射法程序?qū)崿F(xiàn)較難，漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法通用性差，水平集法過程過于復(fù)雜，而變密度法設(shè)計(jì)變量少、通用性強(qiáng)、尋優(yōu)效率高、程序易于實(shí)現(xiàn)、靈敏度計(jì)算較易，是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的方法[11-12]。

變密度法的基本思想是在優(yōu)化中引入一種材料，其密度在[0 1]區(qū)間內(nèi)連續(xù)可變，并假設(shè)結(jié)構(gòu)材料的其他物理參數(shù)也與材料密度值有一定對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)化過程中，設(shè)計(jì)變量為結(jié)構(gòu)材料在[0 1]間連續(xù)可變的密度，當(dāng)密度取值為0～1之間的中間值時(shí)，通過選用合適的懲罰函數(shù)因子對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行懲罰，使中間密度能夠向兩端靠近，從而使結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型能夠盡可能地只存在0和1兩種相對密度單元，得到實(shí)體和孔洞分明的優(yōu)化結(jié)果[13-14]。

變密度法模型為

ρ=Xeρ0

(1)

式中：Xe為設(shè)計(jì)區(qū)域里的每個(gè)單元的相對密度；ρ0為拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)變量。當(dāng)Xe為1時(shí)，則表示該單元材料為實(shí)，需要保留或添加此單元；當(dāng)Xe為0時(shí)，則表示該單元材料為空，應(yīng)該刪除此單元(孔洞)；當(dāng)Xe在0～l之間時(shí)，根據(jù)密度設(shè)定來判斷對該單元進(jìn)行保留或者刪除。

2 慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法

2.1 慣導(dǎo)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

慣導(dǎo)系統(tǒng)一般由陀螺、加速度計(jì)、光源盒、導(dǎo)航計(jì)算機(jī)、直流電源、IF轉(zhuǎn)換電路、慣性臺體、系統(tǒng)主殼體、蓋板、減振器和連接器等零部件組成。其中，慣性臺體、蓋板和外殼體是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容，也是結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的重點(diǎn)關(guān)注對象。

蓋板結(jié)構(gòu)主要承受壓力載荷，在滿足剛度要求的條件下，結(jié)構(gòu)頻率也是影響系統(tǒng)動力學(xué)性能的重要因素。因此，在進(jìn)行蓋板類結(jié)構(gòu)優(yōu)化時(shí)，需要綜合考慮壓力載荷工況和模態(tài)工況，將結(jié)構(gòu)最大變形和結(jié)構(gòu)一階頻率作為設(shè)計(jì)約束，考慮工藝性，對蓋板施加制造約束。當(dāng)蓋板左右對稱時(shí)，施加對稱約束；當(dāng)蓋板安裝有電路板等組件時(shí)，還要考慮安裝位置接觸。

慣性臺體由于安裝在殼體內(nèi)部，不承受壓力載荷。在進(jìn)行慣性臺體拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，主要考慮模態(tài)工況。

殼體和蓋板類似，主要承受壓力載荷，在進(jìn)行殼體拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，要考慮模態(tài)工況和壓力載荷工況?？紤]到安裝工藝性，安裝支耳區(qū)域不進(jìn)行優(yōu)化。

慣導(dǎo)系統(tǒng)在工作中主要經(jīng)受振動、沖擊、過載等動力學(xué)環(huán)境，以及高空環(huán)境壓力載荷、密封檢漏過程壓力載荷、重力載荷等多種組合工況，因此，拓?fù)鋬?yōu)化模型中需要綜合考慮多種工況組合。經(jīng)過大量分析研究與驗(yàn)證，慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的典型優(yōu)化模型可以描述為以最大化剛度，暨柔度最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)、結(jié)構(gòu)頻率、結(jié)構(gòu)最大變形及具體制造約束等為約束條件的數(shù)學(xué)問題[15]

(2)

式中:設(shè)計(jì)變量X={x1,x2,x3,…,xi}T為經(jīng)有限元離散后的單元相對密度;Ω為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的集合;C為結(jié)構(gòu)的柔度;K、U和F分別為結(jié)構(gòu)的整體剛度、位移和外荷載矩陣;V(xi)和V*分別為結(jié)構(gòu)的實(shí)際體積關(guān)于變量xi的函數(shù)和整個(gè)優(yōu)化問題的約束體積分?jǐn)?shù)值;G(X)和H(X)為一階固有頻率和最大變形函數(shù),G*為設(shè)計(jì)頻率，H*為結(jié)構(gòu)允許的最大變形；xmin和xmax分別為設(shè)計(jì)變量的上下限值;i為單元數(shù)量。

2.2 等效邊界處理方法

除目標(biāo)函數(shù)與約束條件具體設(shè)置外，載荷工況與邊界條件是影響拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的關(guān)鍵因素。傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化方法中，如果僅導(dǎo)入單獨(dú)零件，并直接對其安裝面施加固定約束，在運(yùn)算中會把固定面視為剛度無限大的剛體面，這種假設(shè)與實(shí)際情況有明顯差異，導(dǎo)致拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果并不是真實(shí)工況下的最優(yōu)解；而如果將待優(yōu)化零件置于裝配體中進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，則會因結(jié)構(gòu)復(fù)雜、接觸非線性等問題導(dǎo)致迭代緩慢，甚至難以收斂。為了盡可能準(zhǔn)確地描述結(jié)構(gòu)優(yōu)化區(qū)域的邊界條件，考慮裝配連接剛度影響，本文在對蓋板和慣性臺體進(jìn)行單獨(dú)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，提出了一種等效邊界處理方法：把外殼體上與蓋板和慣性臺體接觸的面向下切割分離，并對切割后的外殼體下表面固定約束。由于外殼體安裝支耳區(qū)域不進(jìn)行優(yōu)化，故不進(jìn)行等效邊界處理。

2.3 慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化流程

慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)比較緊湊,尺寸、質(zhì)量及安裝接口限制較多，需要預(yù)先考慮慣性器件、導(dǎo)航計(jì)算機(jī)和直流電源等零部件的空間擺放位置，形成方案的初始設(shè)計(jì)。在初始設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，傳統(tǒng)設(shè)計(jì)主要通過挖減重孔、槽等實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)，而這種輕量化設(shè)計(jì)方式主要基于工程師的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，布局不盡合理，并不是輕量化的最優(yōu)解。本文提出的慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法是在初始設(shè)計(jì)方案的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，其主要流程如下：

首先分析了結(jié)構(gòu)模型,以確定優(yōu)化區(qū)域即優(yōu)化模型中的設(shè)計(jì)區(qū)域，并根據(jù)可允許設(shè)計(jì)的空間限制，充分利用可以填充結(jié)構(gòu)的空間,使設(shè)計(jì)區(qū)域在布局限制下最大化；其次，根據(jù)各零部件安裝接口位置，局部切割作為非設(shè)計(jì)區(qū)域；包含設(shè)計(jì)區(qū)域與非設(shè)計(jì)區(qū)域的模型建好后，進(jìn)行有限元建模，并根據(jù)各結(jié)構(gòu)件所受工況，施加載荷及邊界條件；進(jìn)行優(yōu)化模型定義，提交求解器計(jì)算；對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行模型重構(gòu)，并對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行具體工況下的仿真分析，若各性能指標(biāo)不滿足設(shè)計(jì)要求，再在拓?fù)鋬?yōu)化后的模型上進(jìn)行局部針對性的尺寸優(yōu)化，最終使各性能指標(biāo)均滿足設(shè)計(jì)要求。圖1所示為適用于慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)流程[16]。

圖1 拓?fù)鋬?yōu)化流程Fig.1 Process of topology optimization

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 模型分析

本文在研究的基礎(chǔ)上，以某慣導(dǎo)系統(tǒng)的三種典型結(jié)構(gòu)件為實(shí)例，進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化分析。

某慣導(dǎo)系統(tǒng)慣性臺體組件主要由3個(gè)加速度計(jì)、3個(gè)陀螺、1個(gè)連接器和1個(gè)光源盒等構(gòu)成。蓋板上裝有1塊電路板，通過一周法蘭面與外殼體進(jìn)行螺栓連接。外殼體結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，安裝有2塊電路板和4個(gè)連接器，通過4個(gè)安裝支耳進(jìn)行固定。

預(yù)先考慮慣性臺體、蓋板、電路板和連接器等零部件的空間擺放位置和整體安裝接口位置，形成方案的初始設(shè)計(jì)。為了提高仿真計(jì)算效率，在導(dǎo)入有限元分析軟件分析之前，對模型進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮喕幚恚?/p>

1)陀螺儀、加速度計(jì)、連接器和光源盒等按照實(shí)體建模，以等厚度的平板代替電路板。

2)螺釘預(yù)緊力對被連接構(gòu)件的剛度不產(chǎn)生明顯影響，且兩接觸面不產(chǎn)生相對滑移，故將螺紋孔用構(gòu)件材料填充，僅在螺釘頭壓緊的圓形區(qū)域內(nèi)將兩構(gòu)件的接觸面黏合在一起，圓形區(qū)域的直徑各取螺紋直徑d與螺釘頭直徑dk,min的1.5倍。

簡化后的慣導(dǎo)系統(tǒng)初始結(jié)構(gòu)如圖2所示。

(a)蓋板

3.2 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)模型

基于工程經(jīng)驗(yàn)，在初始設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行傳統(tǒng)設(shè)計(jì)，方案模型如圖3所示。

3.3 慣導(dǎo)系統(tǒng)優(yōu)化

3.3.1 模型等效邊界處理

通過等效邊界處理方式，分別對初始設(shè)計(jì)的蓋板和慣性臺體模型進(jìn)行處理，殼體結(jié)構(gòu)不進(jìn)行等效邊界處理，如圖4所示。

3.3.2 網(wǎng)格劃分

網(wǎng)格密度為3mm，各組件節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù)如表1所示。

表1 各組件節(jié)點(diǎn)數(shù)和單元數(shù)

3.3.3 材料屬性

慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件材料為2A12鋁合金。零部件采用等效密度,即零部件質(zhì)量除以簡化后體積,各組件材料的彈性模量和泊松比采用工程經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

圖4 等效邊界處理后的慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.4 INS structural parts after equivalent boundary treatment

材料屬性如表2所示。

表2 材料屬性

3.3.4 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

求解器計(jì)算，通過修改密度閾值，切除密度值小于0.5的材料。根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，各結(jié)構(gòu)均得到了清晰的拓?fù)錁?gòu)型，可作為模型重構(gòu)的參考?？紤]到密封性，蓋板和主殼體上鏤空部分需要加一層蒙皮。慣性臺體拓?fù)錁?gòu)型呈現(xiàn)出桁架結(jié)構(gòu)形式，需要根據(jù)模型重構(gòu)后的仿真情況對局部進(jìn)行尺寸優(yōu)化，優(yōu)化參數(shù)如表3所示。

表3 優(yōu)化參數(shù)設(shè)置

3.3.5 重建模后仿真分析

將拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算得到的結(jié)果導(dǎo)出STL文件，進(jìn)入NX建模界面重建模。拓?fù)錁?gòu)型與重建模后的模型如圖5所示。重建模后的模型以上述分析方式分別進(jìn)行模態(tài)分析，最終優(yōu)化后的各結(jié)構(gòu)仿真結(jié)果如圖6所示。

圖5 各結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.5 Topology optimization results of each structure

圖6 優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)仿真分析結(jié)果Fig.6 The simulated analysis results of each optimized structure

3.4 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)模型模態(tài)分析

對傳統(tǒng)設(shè)計(jì)進(jìn)行模態(tài)分析，結(jié)果如表4所示，各結(jié)構(gòu)一階模態(tài)振型如圖7所示。通過等效邊界建模進(jìn)行分析的誤差均不超過10%，在可接受范圍內(nèi)。

圖7 各結(jié)構(gòu)一階模態(tài)振型Fig.7 First mode formation of each structure

表4 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)模態(tài)分析結(jié)果

3.5 結(jié)果對比

傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和采用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)后的一階模態(tài)、質(zhì)量對比如表5所示。由結(jié)果可以看出，通過拓?fù)鋬?yōu)化，慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件在模態(tài)提升的情況下，質(zhì)量大幅度減小，達(dá)到了輕量化的目的。

表5 傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和采用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)后的一階模態(tài)、質(zhì)量對比

4 結(jié)論

針對傳統(tǒng)慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件拓?fù)鋬?yōu)化中，沒有考慮除模態(tài)工況外，由密封等工藝條件而產(chǎn)生的低氣壓壓力載荷等工況，以及裝配體拓?fù)鋬?yōu)化中，復(fù)雜程度和迭代速度與安裝面剛度的準(zhǔn)確性存在矛盾，本文提出了考慮多工況組合和等效邊界處理方法的慣導(dǎo)系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，建立了適用于慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化流程。并以某慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件為實(shí)例，分別對其蓋板、慣性臺體和外殼體進(jìn)行優(yōu)化后，其各自和組合成的裝配體較傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)模態(tài)均有所提升，質(zhì)量明顯減小。本文提出的研究方法同樣適用于其他慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)件的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。