一種MEMS陀螺儀零偏建模與估計(jì)方法

王國(guó)棟，孫麗艷，王振凱，楊 亮

(北京航天控制儀器研究所，北京 100094)

0 引言

隨著微機(jī)電系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)慣性器件精度的不斷提升，微納衛(wèi)星、機(jī)器人、無(wú)人機(jī)和影視特拍等軍、民用領(lǐng)域越來(lái)越多地采用MEMS慣性器件作為姿態(tài)測(cè)量和導(dǎo)航的重要部件產(chǎn)品[1-2]。高精度的MEMS陀螺儀作為角速率測(cè)量的慣性器件，是實(shí)現(xiàn)精確姿態(tài)測(cè)量和導(dǎo)航的核心關(guān)鍵[3-4]。MEMS陀螺儀的精度取決于儀表的設(shè)計(jì)、加工、標(biāo)定和誤差補(bǔ)償?shù)榷鄠€(gè)環(huán)節(jié)[5-7]。其中，設(shè)計(jì)和加工是保證MEMS陀螺儀精度的前端環(huán)節(jié)，標(biāo)定和補(bǔ)償是保證和提升MEMS陀螺儀精度的后端環(huán)節(jié)。對(duì)于MEMS陀螺儀標(biāo)定和補(bǔ)償?shù)那疤崾瞧涓黜?xiàng)誤差參數(shù)具有穩(wěn)定的性質(zhì)或變化規(guī)律，這樣才能通過標(biāo)定予以去除和補(bǔ)償。陀螺儀的零偏具有一定的漂移性，很難通過常規(guī)的全溫標(biāo)定方法[8-9]予以完全補(bǔ)償。這是由于MEMS陀螺儀的零偏取決于自身結(jié)構(gòu)以及封裝應(yīng)力、材料缺陷、電路偏移等多種因素，所有這些因素都與溫度有關(guān)。隨著溫度的變化，各種影響因素的特性會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致陀螺儀的零偏產(chǎn)生相應(yīng)的漂移。當(dāng)陀螺儀工作時(shí)，其零偏漂移主要由自身發(fā)熱所引起[10]，以及在整個(gè)器件工作過程中其他變化因素變化而引起的漂移。

為了消除溫度對(duì)陀螺儀零偏的影響[11]，往往會(huì)通過測(cè)量不同溫度點(diǎn)下的陀螺儀零偏，建立零偏關(guān)于溫度的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)陀螺儀的零偏誤差補(bǔ)償[12]。然而，這種模型一般是針對(duì)陀螺儀整個(gè)工作溫度范圍而建立的，在大的溫度變化范圍內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)零偏的誤差建模和補(bǔ)償。由于建模的溫度范圍跨度大、取樣點(diǎn)有限，必然存在模型誤差，因此常規(guī)的溫度建模方法建立的模型僅能夠近似地給出某溫度下的陀螺儀零偏值。將零偏估計(jì)值從陀螺儀的輸出中予以扣除，一定程度上實(shí)現(xiàn)了MEMS陀螺儀的零偏誤差補(bǔ)償。通過這種方式建立的零偏溫度模型，對(duì)于大的溫度范圍內(nèi)的零偏變化是有效的，對(duì)于溫度小幅度變化范圍內(nèi)的零偏漂移，難以有效描述。此外，隨著時(shí)間的推移，慣性儀表的結(jié)構(gòu)應(yīng)力等材料特性會(huì)發(fā)生變化，使得前期建立的溫度模型精度下降。由于受到系統(tǒng)拆裝和成本等因素的制約，往往難以重復(fù)開展溫度建模標(biāo)定。在實(shí)際應(yīng)用中，陀螺儀在連續(xù)工作過程中，其溫度會(huì)隨著環(huán)境溫度的變化在溫度平衡點(diǎn)附近小范圍內(nèi)做上下波動(dòng)，這種小幅的波動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致陀螺儀的零偏變化和測(cè)量精度下降。溫度是影響MEMS陀螺儀零偏變化的主要因素，因此可以通過建立零偏關(guān)于溫度的關(guān)系模型，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)陀螺儀的零偏估計(jì)和補(bǔ)償。

針對(duì)MEMS陀螺儀在使用過程中溫度小幅波動(dòng)引起的零偏漂移問題，提出了一種零偏建模和估計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了MEMS陀螺儀的零偏有效估計(jì)，為陀螺儀的誤差補(bǔ)償和精度保持提供了技術(shù)基礎(chǔ)。

1 MEMS陀螺儀零偏建模

建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型包括兩種方式，一是分析方法，二是系統(tǒng)辨識(shí)的方法。分析方法是利用系統(tǒng)工作的內(nèi)在物理客觀規(guī)律以及結(jié)構(gòu)參數(shù)，推導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。然而由于系統(tǒng)的復(fù)雜性和某些結(jié)構(gòu)參數(shù)的不可測(cè)性，導(dǎo)致很難基于分析方法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)辨識(shí)的方法是基于系統(tǒng)的輸入輸出測(cè)量值等先驗(yàn)知識(shí)，假定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的估計(jì)方法估計(jì)模型的參數(shù)，并通過試驗(yàn)加以驗(yàn)證。

MEMS陀螺儀由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，很難采用分析方法建立零偏關(guān)于溫度小幅度變化的模型，因此采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法建立其模型。MEMS陀螺儀零偏隨著溫度的變化是一個(gè)連續(xù)動(dòng)態(tài)平衡過程，這種連續(xù)過程可以采用微分方程的形式予以描述[13]；對(duì)于數(shù)字量輸出系統(tǒng)，一般采用差分方程[14]的形式予以描述。如圖1所示，2020年5月26日在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)測(cè)得某型MEMS IMU陀螺儀的零偏和溫度變化曲線，1h取一個(gè)零偏均值，連續(xù)通電測(cè)試24h內(nèi)的零偏數(shù)據(jù)。從圖1中可以看出，由于環(huán)境溫度的變化，陀螺儀的溫度是一個(gè)連續(xù)動(dòng)態(tài)平衡過程，溫度在整個(gè)測(cè)試過程中有小幅變化。整個(gè)過程中，隨著溫度的上升和下降，陀螺儀零偏經(jīng)歷先下降后波動(dòng)，再上升之后下降的過程。采用傳統(tǒng)的代數(shù)方程多項(xiàng)式，難以描述零偏跟溫度之間的關(guān)系。因此，選用差分方程進(jìn)行零偏和溫度的數(shù)學(xué)關(guān)系描述。

圖1 陀螺儀零偏、溫度變化曲線Fig.1 Bias and temperature of the gyroscope

以溫度T為輸入變量，零偏Y為輸出變量，建立系統(tǒng)的差分方程

Yn+a1Yn-1+a2Yn-2+…+akYn-k=

b0Tn+b1Tn-1+b2Tn-2+…+bmTn-m

(1)

式(1)中，k為差分方程的階次，Yn-k，…，Yn-1，Yn為從n-k時(shí)刻到n時(shí)刻的陀螺儀零偏；Tn-m，…，Tn-1，Tn為從n-m時(shí)刻到n時(shí)刻的陀螺儀溫度；a1，…，ak，b0，…，bm為方程的系數(shù)，k≥m，共有k+m+1個(gè)待求系數(shù)。差分方程階次k可以根據(jù)系統(tǒng)的建模誤差和樣本點(diǎn)波動(dòng)情況進(jìn)行選取。樣本點(diǎn)的取樣間隔越小，零偏波動(dòng)越劇烈，選擇的差分方程階次越高；反之，則方程的階次越低?；谕勇輧x的試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，可以選擇較為合適的差分方程階次。

由式(1)可得

Yn=-a1Yn-1-a2Yn-2-…-akYn-k+

b0Tn+b1Tn-1+b2Tn-2+…+amTn-m

(2)

從式(2)可以看出，陀螺儀零偏Yn不僅與當(dāng)前時(shí)刻的溫度Tn有關(guān)，還跟以前時(shí)刻的Yn-1，…，Yn-k和Tn-1，…，Tn-m有關(guān)。如果已知(n-k) ～(n-1)時(shí)刻的陀螺儀零偏和(n-m)～(n-1)時(shí)刻的陀螺儀溫度，就可以根據(jù)式(2)遞推得到n時(shí)刻以及后續(xù)時(shí)刻的陀螺儀零偏，從而實(shí)現(xiàn)陀螺儀的零偏估計(jì)。

2 模型參數(shù)的辨識(shí)流程

在建立MEMS陀螺儀零偏和溫度的誤差模型之后，根據(jù)式(2)可以開展模型的參數(shù)識(shí)別。具體實(shí)施步驟如下：

1)數(shù)據(jù)采集。根據(jù)設(shè)定的取樣間隔Δt，獲取一段時(shí)間內(nèi)的MEMS陀螺儀零偏和溫度值，零偏和溫度值均取時(shí)間間隔Δt內(nèi)的數(shù)據(jù)均值。

2)基于式(2)，得到一系列的差分方程組，方程的個(gè)數(shù)(N-n)>(k+m+1)，如式(3)所示

(3)

將式(3)用矩陣表示，可以簡(jiǎn)化為

Y=Z·C

(4)

式中，Y是式(3)左側(cè)零偏輸出構(gòu)成的列向量矩陣；Z是式(3)右側(cè)陀螺儀零偏和溫度構(gòu)成的矩陣；C是式(3)右側(cè)差分方程的系數(shù)構(gòu)成的列向量矩陣。

3)基于最小二乘法，可以得到系數(shù)向量C

C=(ZTZ)-1ZTY

(5)

根據(jù)式(5)，可以得到系統(tǒng)的建模誤差

Δ=norm(Y-ZC)

(6)

4)零偏-溫度構(gòu)成的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。由式(1)可得系統(tǒng)的Z變換

(7)

通過求解方程1+a1Z-1+…+an-1Z-k=0的所有特征根z1,z2,…,zk，并判斷所有特征根是否位于Z平面的單位圓內(nèi)，即特征根的模值|zi|<1，以確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。如果有一個(gè)特征根不在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要重新選擇模型的階次k和m值，重復(fù)步驟2)～4)，直到找到合適的系統(tǒng)參數(shù)為止。建模及模型參數(shù)的辨識(shí)流程如圖2所示。

圖2 建模及參數(shù)辨識(shí)流程Fig.2 Flow chart of modeling and parameter identification

3 試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證提出方法的有效性，設(shè)計(jì)了驗(yàn)證試驗(yàn)。在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，將某型高精度短時(shí)自主導(dǎo)航用MEMS IMU置于大理石平板上，給MEMS IMU連續(xù)通電。如圖3所示，MEMS IMU東北天放置，監(jiān)測(cè)MEMS IMU東向陀螺儀的輸出即零偏值，測(cè)試時(shí)長(zhǎng)為72h。該MEMS IMU試驗(yàn)前期經(jīng)過了三軸溫箱轉(zhuǎn)臺(tái)全溫范圍的標(biāo)定和溫度補(bǔ)償。MEMS IMU內(nèi)置的MEMS陀螺儀為四質(zhì)量塊對(duì)稱結(jié)構(gòu)陀螺儀，通過檢測(cè)電容的變化實(shí)現(xiàn)對(duì)外界角速率的敏感。

圖3 測(cè)試環(huán)境Fig.3 Testing environment

在5月26日—28日連續(xù)通電測(cè)試，得到72h的樣本數(shù)據(jù)。以1h為一個(gè)取樣間隔，1h內(nèi)的溫度和零偏均值作為一個(gè)樣本數(shù)據(jù)對(duì)，共獲得72對(duì)樣本數(shù)據(jù)。前24對(duì)樣本數(shù)據(jù)如圖1所示，用于零偏建模和模型參數(shù)識(shí)別；后48對(duì)樣本點(diǎn)用于模型的性能驗(yàn)證，如圖4所示。由圖4可知，由于實(shí)驗(yàn)室環(huán)境溫度的變化，陀螺儀的溫度在25℃～28℃之間波動(dòng)，是一個(gè)動(dòng)態(tài)熱平衡的過程。連續(xù)2d的溫度變化規(guī)律趨于一致。陀螺儀的零偏隨著溫度的變化呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，當(dāng)溫度上升時(shí)下降，當(dāng)溫度下降時(shí)上升。

圖4 模型性能驗(yàn)證的取樣數(shù)據(jù)Fig.4 Sampling data used to verify the model

利用提出的方法建立系統(tǒng)的差分方程，經(jīng)過建模和參數(shù)識(shí)別過程，通過比較1～4階的建模誤差，選擇模型的階次為3(k=3,m=3)，差分方程的系數(shù)如表1所示。

表1 三階差分模型系數(shù)

(a)單步估計(jì)

(a)二階多項(xiàng)式模型估計(jì)

表2 模型估計(jì)的誤差

4 結(jié)論

1)通過分析MEMS IMU陀螺儀在穩(wěn)態(tài)工作過程中零偏隨溫度的變化規(guī)律，建立了零偏關(guān)于溫度的差分方程模型，并給出了差分模型的參數(shù)識(shí)別過程；

2)通過試驗(yàn)驗(yàn)證，給出了某型MEMS IMU陀螺儀的零偏三階差分模型，試驗(yàn)結(jié)果表明：零偏溫度差分模型能夠?qū)崿F(xiàn)陀螺儀零偏的高精度估計(jì)，模型多步估計(jì)的誤差是三階多項(xiàng)式模型估計(jì)誤差的65.37%；

3)多步估計(jì)是基于含有誤差的估計(jì)值遞推得到的，由于不斷引入誤差，估計(jì)的誤差相比單步估計(jì)會(huì)有所增加；

4)基于零偏的歷史數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)零偏漂移的精確單步估計(jì)和多步估計(jì)，可以有效地估計(jì)和補(bǔ)償陀螺儀零偏的漂移，滿足多種場(chǎng)景下的應(yīng)用需求。