“橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計與反思

謝曉兵

一、基本情況

（一）學(xué)情分析

學(xué)生是中職模具專業(yè)二年級學(xué)生，該班為模具專業(yè)升學(xué)班，學(xué)生要進入高職院校繼續(xù)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)知識方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握了求曲線方程的基本方法;專業(yè)方面學(xué)習(xí)了CAD軟件制圖，并能加工簡單工件，具有較強的動手能力。

（二）教材分析

數(shù)學(xué)是模具專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)課程，本課選自高等教育出版社《數(shù)學(xué)拓展模塊》第2章第1節(jié)內(nèi)容，授課題目為《橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程》，用時2學(xué)時。前面已學(xué)習(xí)圓的定義與方程，后面要學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線，具有承上啟下的作用。

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）理解橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）能根據(jù)條件求參數(shù)a、b、c的值。

2.教學(xué)重點

理解橢圓的定義;掌握兩類橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

3.教學(xué)難點

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。

二、教學(xué)過程

（一）課前準(zhǔn)備

通過藍(lán)墨云班課平臺發(fā)布四個課前任務(wù)。

任務(wù)一：觀看小視頻“裝修師傅的煩惱”。此視頻是一個真實案例，講述一個木工師傅做橢圓形天花吊頂?shù)臒?，視頻最后提出問題——你能幫裝修師傅解決他的煩惱嗎？從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

任務(wù)二：觀看微課《兩釘一線法繪制橢圓》。通過微課的學(xué)習(xí)，初探橢圓定義，并嘗試解決裝修師傅的煩惱。

任務(wù)三：收集生活中有關(guān)橢圓的圖片。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的橢圓圖形，體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

任務(wù)四：完成課前小測。主要是一些簡單的概念解析題，用于檢測學(xué)生課前預(yù)習(xí)的情況。如判斷題：到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的集合叫作橢圓。許多學(xué)生選擇了“對”，并在討論區(qū)對答案提出了質(zhì)疑。顯然，學(xué)生忽視了“距離之和小于定點間距離”這個條件，對概念的分析不夠全面。

（二）課堂實施

1.情境導(dǎo)入（如圖1、圖2）。通過播放衛(wèi)星繞地球飛行的視頻引出課題，并展示學(xué)生收集的生活中的橢圓圖片，及時表彰學(xué)生善于觀察的好習(xí)慣。演示平面截圓錐的flash動畫（如圖3），解釋“圓錐曲線”這一概念。

圖1

圖2

圖3

2.合作探究。（共分四個環(huán)節(jié)）

（1）“探”定義。兩釘一線畫圖小實驗，實驗中各小組利用圖釘和細(xì)線，按照規(guī)定（橢圓定義）畫圖，通過實驗發(fā)現(xiàn)畫出的圖形為橢圓。

進一步分析畫圖過程，觀察繩長與兩釘間距離的關(guān)系。三角形兩邊之和大于第三邊分析得到“繩長大于兩釘距離”。此處很好地解釋了學(xué)生在課前測試中橢圓定義忽略了“大于兩定點距離F₁F₂”這一條件。通過學(xué)生動手實驗，學(xué)生自行建構(gòu)橢圓定義。

進而總結(jié)出橢圓完整定義，并引出焦點、焦距的概念。通過實驗探究，提問引導(dǎo)，層層遞進，使學(xué)生深刻理解橢圓定義，及2a>2c這一關(guān)鍵條件。

（2）“推”方程。結(jié)合學(xué)生畫出的橢圓圖形，教師指出建立直角坐標(biāo)系的方法。并通過建、設(shè)、寫、列、化五步法推導(dǎo)橢圓方程，利用兩點間的距離公式列出方程，通過化簡運算得到橢圓方程為a²/a²+y²/a²-c²=1，通過設(shè)a²-c²=b²，從而將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x²/a²+y²/b²=1。

（3）“析”參數(shù)。學(xué)生對參數(shù)b與a、c關(guān)系存在疑問。帶著疑問，教師通過構(gòu)建直角三角形的動態(tài)演示，用勾股定理驗證參數(shù)關(guān)系，并得到參數(shù)a最大這一重要結(jié)論。

（4）“定”口訣。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察焦點在x軸上橢圓方程，共同歸納方程特征為“左邊加來右邊1，大是a來小是b”。

教師提問，焦點在y軸上的方程又如何呢？

通過小組討論，有學(xué)生提出將剛才畫的橢圓旋轉(zhuǎn)90度，就得到了焦點在y軸上的橢圓，也有學(xué)生提出把x和y位置互換即可得到焦點在y軸的橢圓方程。

教師對學(xué)生的大膽猜想給予充分的肯定，引導(dǎo)學(xué)生進行類比學(xué)習(xí)，結(jié)合圖形，強調(diào)y軸上的橢圓焦點坐標(biāo)寫法不同。

通過表格對比，從圖形、方程、焦點坐標(biāo)等歸納相同點和不同點。師生共同歸納口訣：“標(biāo)準(zhǔn)方程要牢記，左邊加來右邊1，大是a來小是b，焦點與a永不離?！辈⑴卸ń裹c所在軸的方法凝練成“大底定軸”四個字?？谠E化的方法易學(xué)易懂，幫助學(xué)生快速掌握兩類橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

3.知識鞏固。本環(huán)節(jié)主要通過例題和練習(xí)來鞏固所學(xué)的新知，分三個環(huán)節(jié)。

（1）快問快答。已知方程求焦點所在軸及a、b的值。①x²/25+y²/16=1;②y²/9+x²/5=1。

說明：通過快問快答的形式，檢測學(xué)生判定焦點及參數(shù)a、b的掌握隋況，并強化“口訣”方法的運用。

（2）例題講解。例題1：已知橢圓的焦點在軸上，焦距為8，橢圓上的點到這兩個焦點的距離之和為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（根據(jù)已知條件求方程）

說明：此題重在考查學(xué)生對定義的理解，通過作圖演示，將距離之和轉(zhuǎn)化為2a，定點間距離轉(zhuǎn)化為2c，利用參數(shù)關(guān)系求出6的值，從而求出標(biāo)準(zhǔn)方程。

例題2：求下列橢圓的焦點和焦距。①x²/5+y²/4=1;②2x²+y²=16。

說明：兩道題分標(biāo)準(zhǔn)方程和非標(biāo)準(zhǔn)方程兩種情況，焦點在不同軸時，焦點坐標(biāo)的寫法不同，學(xué)生容易出錯。為了解決這個易錯點，從簡單的標(biāo)準(zhǔn)方程入手，再到非標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)形結(jié)合分析解決問題。

（3）練習(xí)提升。練習(xí)1采用拖拽游戲的形式，重在訓(xùn)練學(xué)生判定焦點和求a、b、c的方法。教師通過平臺推送小游戲，學(xué)生利用手機進行操作，拖拽的形式如做游戲，極大提高學(xué)生的興趣。

練習(xí)2：求下列橢圓的焦點和焦距。①x²/25+y²/9=1;②7y²+9x²=63。

根據(jù)條件求焦點，學(xué)生需將答案規(guī)范寫在學(xué)案并拍照上傳至云平臺，學(xué)生代表利用一體機進行展示與講解。針對學(xué)生重思路分析，輕計算過程與規(guī)范表達(dá)的情況。引用華為故事，5G技術(shù)是復(fù)雜算法的突破，任何一個細(xì)小的錯誤都無法完成，激勵學(xué)生提高計算能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的做題習(xí)慣，適時進行思政教育。

4.在線小測。圍繞本課的重難點，設(shè)置了五道不同層次的在線測試題，教師通過藍(lán)墨云班課發(fā)布測試題，講解答題規(guī)則，借助平臺的即測即改功能，得到每個學(xué)生的準(zhǔn)確答題情況，便于開展針對f生輔導(dǎo)。

5.實際應(yīng)用。教師讓各組拿出生活中的橢圓形實物，用游標(biāo)卡尺或直尺測量橢圓實物的尺寸，設(shè)計用“兩釘一線法”畫此橢圓圖形的方案。并將方案上傳至藍(lán)墨云班課平臺，小組代表現(xiàn)場分享。通過合作學(xué)習(xí)，將新知運用到解決實際問題中，通過應(yīng)用提高知識的理解。

6.作業(yè)布置。設(shè)計了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)和實踐拓展作業(yè)，適度分層分類，符合模具專業(yè)學(xué)生動手能力強的學(xué)習(xí)特點。

（三）課后提升

學(xué)生課后除了完成數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)，還學(xué)以致用，將學(xué)到的知識應(yīng)用到模具專業(yè)的學(xué)習(xí)中。車標(biāo)制作小組（如圖4）和畫橢圓形花壇小組（如圖5），都在深刻理解了橢圓定義的基礎(chǔ)上，能根據(jù)橢圓方程的參數(shù)關(guān)系熟練計算焦距、長軸和短軸長。

圖4

圖5

三、教學(xué)反思

（一）課前準(zhǔn)備精準(zhǔn)分析學(xué)情，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計

準(zhǔn)確的學(xué)情分析，是做好教學(xué)設(shè)計的重要前提，只有充分了解學(xué)生的學(xué)情，才能設(shè)計適合學(xué)生的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)活動、實施策略等。而學(xué)情的分析也要改變單一的知識方面的分析，要多方面分析。課前準(zhǔn)備通過觀看問題視頻和繪制橢圓的微課，讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過數(shù)學(xué)知識的測試發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的不足，進一步優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，教師也能帶著問題去教學(xué)，做到心中有數(shù)。

（二）課堂實施層層遞進探索，符合認(rèn)知規(guī)律

課堂實施分為“情境導(dǎo)入、合作探究、知識鞏固、在線小測、實際應(yīng)用、作業(yè)布置”六個環(huán)節(jié)，各環(huán)節(jié)相互聯(lián)系，層層遞進。注重學(xué)生對知識自主建構(gòu)的過程，突出以學(xué)生為中心的教學(xué)思想。比如學(xué)生用兩釘一線法畫橢圓，通過畫圖過程的思考，自行建構(gòu)橢圓的定義。橢圓方程的推導(dǎo)過程是難點，將推導(dǎo)過程分成“建、設(shè)、寫、列、化”五個步驟，也是從簡單到復(fù)雜，從學(xué)生熟悉的建坐標(biāo)系，設(shè)動點，兩點間的距離公式等知識，逐漸到化簡等復(fù)雜的內(nèi)容。為了得到橢圓兩種焦點的方程，先從焦點在x軸上的方程開始，通過探索定義、推導(dǎo)方程、解析參數(shù)、歸納口訣等步驟，逐步推進，比較透徹地學(xué)習(xí)了焦點在x軸上的橢圓定義和方程之后，再通過類比學(xué)習(xí)的方法，學(xué)習(xí)焦點在y軸上的橢圓的方程。這樣的設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（三）課后拓展深度融合專業(yè)，提升核心素養(yǎng)

中職學(xué)生具有比較鮮明的專業(yè)特點，本課例中教學(xué)的對象為模具專業(yè)學(xué)生，而且是模具升學(xué)班的學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)動力都明顯好于模具專業(yè)非升學(xué)班的學(xué)生。將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到專業(yè)學(xué)習(xí)中，對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握提出了更高的要求。本課課后提升的任務(wù)中有結(jié)合專業(yè)的應(yīng)用題，小組學(xué)生通過測量豐田汽車車標(biāo)中的橢圓尺寸，借助CAD制圖軟件進行設(shè)計，通過3D打印制作了一個豐田車標(biāo)，這讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的價值。中職數(shù)學(xué)新課標(biāo)也指出：“中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程是中等職業(yè)學(xué)校各專業(yè)學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課程，承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能，具有基礎(chǔ)性、發(fā)展性、應(yīng)用性和職業(yè)性等特點。”與專業(yè)學(xué)習(xí)融合，就體現(xiàn)了中職數(shù)學(xué)的職業(yè)性特點。