分段函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

歐陽(yáng)小蓉

新課標(biāo)的不斷深化，使得各地的教師了解到應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維方式的檢查，特別是將學(xué)生生活當(dāng)作背景，在生活中應(yīng)用分段函數(shù)，和分類(lèi)探討實(shí)現(xiàn)相結(jié)合的一類(lèi)中考數(shù)學(xué)問(wèn)題，極為引人注目。這一類(lèi)型的試題可以較好地測(cè)試學(xué)生對(duì)一部分基礎(chǔ)功能與知識(shí)的掌握情況，也測(cè)試學(xué)生靈活使用知識(shí)處理具體問(wèn)題的技能。與此同時(shí)，還可以檢驗(yàn)學(xué)生是夠使用動(dòng)和靜、變化和不變、特殊和一般的辯證思維。處理這一類(lèi)型問(wèn)題的重點(diǎn)在于必須將問(wèn)題歸納成設(shè)定條件（分段函數(shù)），結(jié)合自變量的各種取值范圍，開(kāi)展分類(lèi)求解，從而實(shí)現(xiàn)不重不漏，并進(jìn)行分層討論求解。

一、分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型概念

分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型通常利用函數(shù)的方式來(lái)表達(dá)。然而，也有一些情況，必須利用幾個(gè)式子來(lái)表達(dá)。如果自變量的值位于不同的域中，函數(shù)的表達(dá)式就會(huì)不同。這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。如果自變量的值處在不同的域中，函數(shù)的表達(dá)式就會(huì)不同，這樣的函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù)。在具體使用時(shí)，分段函數(shù)當(dāng)中包含了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。正是由于我們的日常生活中有許多問(wèn)題需要各種方式來(lái)處理，所以分類(lèi)討論思想就變得十分重要。分段函數(shù)是解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的一種很有效的工具。利用分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型，可以處理日常生活中遇到的許多問(wèn)題。

二、分段函數(shù)數(shù)學(xué)模型在日常生活中的應(yīng)用

（一）生活中的用水用電問(wèn)題

例如：為促進(jìn)節(jié)能減排的發(fā)展，某市制定了下列用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)每戶月用電量低于120度，電價(jià)為a元/度;在超過(guò)120度以后，不超過(guò)部分依舊是a元/度，其他超過(guò)的部分則是b元/度，據(jù)了解，某用戶5月份用電115度，電費(fèi)69元;6月份用電140度，電費(fèi)94元。

（1）求出a、b的值;（2）用戶每月用電量為小時(shí)（度），應(yīng)付電費(fèi)為y（元）。

首先，分別求出0≤x≤120和x>120時(shí)，y和x間的函數(shù)關(guān)系;其次，如果用戶計(jì)劃在7月份的時(shí)候使用電費(fèi)不超出83元，則其在7月最多可使用多少度？

解：（1）結(jié)合題目含義

（2）①在0≤x≤120和x>120時(shí)，y=0.6x。

在x>120時(shí)，y=120×0.6+1.1（x-120），也就是說(shuō)，y=1.1x-60。

②83>120×0.6=72，所以y和x之間的函數(shù)關(guān)系公式為y=1.1x-60。

通過(guò)題意我們能夠得出1.1x-60≤83，x≤130。

因此，該用戶在7月最多可使用的電量為130度。

伴隨人民生活水平代表的提升，家用電器已經(jīng)得到了全面普及，為鼓勵(lì)人民節(jié)約用水和用電，節(jié)約能源，使用了居民用電用水的分段式計(jì)價(jià)方式進(jìn)行收費(fèi)，處理這個(gè)問(wèn)題的核心就是將實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)建成函數(shù)數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)的方法來(lái)處理問(wèn)題。

（二）家庭對(duì)賬方面的問(wèn)題

在家庭生活中，我們往往需檢查賬目，然而現(xiàn)在我們看到賬單越多，越難以整理。隨著價(jià)格一天天飆升，在買(mǎi)東西的時(shí)候經(jīng)常會(huì)對(duì)各家價(jià)格進(jìn)行比較，商家一般會(huì)對(duì)客戶的心理進(jìn)行了解，一個(gè)接一個(gè)地推出許多促銷(xiāo)方案。但是在選擇促銷(xiāo)方案的時(shí)候，我們可采取分段函數(shù)模型來(lái)為用戶購(gòu)買(mǎi)決策供應(yīng)參考。

例如：在某電器店51優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)中，商戶規(guī)定：一次性訂購(gòu)銷(xiāo)售市場(chǎng)產(chǎn)品低于一千，無(wú)折扣;一次性訂購(gòu)產(chǎn)品在1000—1500之間，可享受8.8折扣;超過(guò)1500元的，1500元以?xún)?nèi)的按第二條規(guī)定打折，大于1500元的可打6.8的折扣。假如有人在電器行購(gòu)買(mǎi)商品兩次，付款金額分別是868與1258元，然而，假設(shè)用戶是一次性購(gòu)買(mǎi)，則需要支付多少元？

解：假設(shè)參加有活動(dòng)前的所有付款總額為P元，參加活動(dòng)后的應(yīng)付金額q元，如果p大于等于0，小于等于1000，那么應(yīng)付金額將是p;如果p大于1000小于等于1500，那么應(yīng)付金額q將是0.88p;在p超過(guò)1500時(shí)，應(yīng)支付金額q為1500×0.88+（p-1500）×0.68，可以獲得的分段函數(shù)為：

在第二次打8.8折以后，付款1258元，因此我們要的是折扣前的價(jià)格。也就是1258÷0.88=1429（元），那么所有原始支付的總金額為：1429+868=2297（元）。結(jié)合分段函數(shù)，參與活動(dòng)以后應(yīng)支付的金額為：0.68×2297+300=1861（元）。就好比此例子，如果單獨(dú)支付活動(dòng)費(fèi)用，總費(fèi)用為868+1258=2126（元），比加起來(lái)多265元。在日常生活中，有很多這樣的例子，當(dāng)商品的總價(jià)格越高，則最終的價(jià)差就越大。通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型開(kāi)展分析、指導(dǎo)與規(guī)劃，為購(gòu)買(mǎi)決策供應(yīng)正確的指導(dǎo)，可以節(jié)省大量的資金。

（三）生活營(yíng)銷(xiāo)利潤(rùn)問(wèn)題

例如：在某一化工商店出售的一種新型化工材料，市場(chǎng)指導(dǎo)價(jià)為每公斤160元（化工店價(jià)格可以上下浮動(dòng)），原料采購(gòu)價(jià)為市場(chǎng)指導(dǎo)價(jià)的75%。

（1）為了增加銷(xiāo)售量，化工廠決定對(duì)價(jià)格進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。調(diào)整后的價(jià)格，它將以80%的折扣出售，仍然可以得到實(shí)際售價(jià)的20%利潤(rùn)。因此，求化工店調(diào)整價(jià)格后的標(biāo)號(hào)價(jià)格是多少？折扣的實(shí)際售價(jià)是多少？

（2）為了了解該原料的月銷(xiāo)售額y（kg）和實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格z（元/kg）間的關(guān)系，化工商店每月調(diào)整一次實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格。一段時(shí)間后，部門(mén)負(fù)責(zé)人將試銷(xiāo)清單列舉出，如下表：

銷(xiāo)售清單

①請(qǐng)結(jié)合上述給出的直角坐標(biāo)系，將實(shí)際售價(jià)z（元/kg）當(dāng)作橫軸，將每月銷(xiāo)售量y（kg）當(dāng)作縱軸。跟蹤每一個(gè)點(diǎn)，并對(duì)其發(fā)展形勢(shì)進(jìn)行觀察，并了解功能性y和商家間可能具有的關(guān)系是什么？

②請(qǐng)用你所學(xué)的函數(shù)知識(shí)來(lái)充分滿足這些數(shù)據(jù)的y和商家之間的函數(shù)表達(dá)式，并驗(yàn)證①的猜想。

③如果化工上的在某一個(gè)月的實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格一共賣(mài)出了450公斤這種原料，這個(gè)月化工店銷(xiāo)售這種原料的利潤(rùn)是多少？

解：（1）結(jié)合題意，采購(gòu)價(jià)格為每公斤原料160×75%=120（元）。

化工廠調(diào)整后的價(jià)格為x。折扣后的價(jià)格為0.8x元，那么：0.8x-120=0.8x×20%，可以得出x=187.5（元）。

187.5×0.8=150（元）

調(diào)整完成的價(jià)格是187.5元，折扣以后的實(shí)際價(jià)格為150元。

（2）①通過(guò)觀察坐標(biāo)軸，我們可以看出這些點(diǎn)的發(fā)展趨勢(shì)就好比一條直線，因此推測(cè)y和商家間具有一次函數(shù)關(guān)系。

②如果根據(jù)①的猜測(cè)，假設(shè)y和x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，則：

所以，y和x的函數(shù)為y=-x+800。

在y=-2x+800中代入（168，464）和（180，440），都可以成立，也就是說(shuō)這些點(diǎn)都與y=-2x+800發(fā)展形勢(shì)一致。因此，①當(dāng)作的猜想y和商家間具有一次函數(shù)關(guān)系成立。

③假設(shè)化工商店本月銷(xiāo)售這一原料的利潤(rùn)是w元。y=4.5，x=175。

所以，w=（175-120）×450=24750（元）

那么，本月這家化工商店從原料銷(xiāo)售中獲利24750元。

綜上，自改革開(kāi)放以來(lái)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)十分活躍，各種折扣、禮品等促銷(xiāo)活動(dòng)隨處可見(jiàn)，商家想要獲利，消費(fèi)者想要受益，因此在買(mǎi)賣(mài)過(guò)程中，雙方都需要利用數(shù)學(xué)的方法開(kāi)展核算，從而了解自身的盈利狀況。

三、總結(jié)

以上提出的問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)時(shí)熱點(diǎn)相互聯(lián)系，自然而然地檢驗(yàn)了分段函數(shù)模型的現(xiàn)實(shí)意義，并且對(duì)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思維、方程、不等式、最大值的知識(shí)來(lái)處理問(wèn)題的能力進(jìn)行考察，指導(dǎo)學(xué)生能夠在日常生活中使用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)一步分析與處理實(shí)際生活中的難題，良好完成新課標(biāo)中提出的分段函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中使用的要求。