一類非線性高階退化擬拋物方程的有限差分方法

李清純，張繼紅，梁波

(大連交通大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 大連 116028) *

對于帶有p-雙調(diào)和算子的拋物方程的研究有很多，其中文獻(xiàn)[1]提出了當(dāng)p>2時(shí)，如下的退化擬拋物方程：

(1)

本文基于文獻(xiàn)[1]所給出的方程考慮下述退化擬拋物方程問題

(2)

其中p≥2為常數(shù)，k>0為粘性系數(shù)，f(x,t)為關(guān)于x,t的二元函數(shù).

在方程(2)中，當(dāng)p=2時(shí)，方程為一個四階拋物型偏微分方程.近年來關(guān)于對四階拋物方程解的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注：文獻(xiàn)[2]對一類四階拋物型方程構(gòu)造兩層含參數(shù)的差分格式，并分析其截?cái)嗾`差證明穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[3]基于泛函的極小值原理，利用不動點(diǎn)定理證明一類四階拋物型方程的定態(tài)解的存在性；文獻(xiàn)[4]利用有限差分法對帶有非線性項(xiàng)的晶體BCF模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到了較高的精確結(jié)果.

當(dāng)p>2時(shí)，方程為帶有p-Laplace算子的退化擬拋物方程.目前關(guān)于p-Laplace方程也有不少研究：文獻(xiàn)[5]對具有梯度項(xiàng)的p-Laplace方程對應(yīng)的逼近方程利用最大模估計(jì)以及能量估計(jì)等證明了其弱解的存在性；文獻(xiàn)[6]利用集中緊性原理以及相關(guān)不等式研究了含Sobolev臨界指數(shù)的p-Laplace方程解的存在性問題.

本文將對退化擬拋物方程(2)分p=2和p=3兩種情況研究其數(shù)值結(jié)果.

1 有限差分法

在方程(2)中，不妨假設(shè)k=1.

ut-uxxt+(|uxx|p-2uxx)xx=f(x,t)

(3)

接下來對方程(3)中各項(xiàng)方程進(jìn)行離散.

考慮內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)(xk,tn)處，ut|(xk,tn)-uxxt|(xk,tn)+(|uxx|p-2uxx)xx|(xk,tn)=f(xk,tn)

對導(dǎo)數(shù)項(xiàng)ut采用向前差分法：

(4)

對導(dǎo)數(shù)項(xiàng)-uxxt采用中心差分法及向前差分法近似：

(5)

(6)

將得到的方程各項(xiàng)代入方程(3)中合并，有

(7)

(8)

k=2,3,…,N-2，n=0,1,…,M.

本文取xa=a+h,xb=b-h，則初邊值條件為

(9)

那么式(8)、(9)就是式(2)當(dāng)k=1時(shí)的有限差分方程.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)，a=0,b=π,h=π/30.在差分格式(8)中，分別考慮函數(shù)p=2和p=3兩種情況，并結(jié)合初邊值條件方程(9)，就具體算例，給出相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果.

例1p=2,f(x,t)=2t+sinx，τ=h4，T=0.005，并與方程真實(shí)解u(x,t)=t2+sinx進(jìn)行比較，得到的圖像如圖1所示，其中實(shí)線表示真實(shí)解，圓圈表示數(shù)值解，圖2為相應(yīng)的絕對誤差圖.

圖1 p=2數(shù)值解與真實(shí)解對比圖 圖2 p=2絕對誤差圖

例2f(x,t)=2sinx-2t2·sign(sinx)·sign(t)+3t2·sign(sinx)·sign(t)sin2x+t|sinx|·|t|sinx，p=3,τ=h4，T=0.005，并與方程真實(shí)解u(x,t)=tsinx進(jìn)行比較，可以得到數(shù)值解與真實(shí)解對比圖以及絕對誤差結(jié)果，如圖3、4所示.

圖3 p=3時(shí)數(shù)值解與真實(shí)解對比圖 圖4 p=3絕對誤差圖

從圖中可以看出，利用有限差分法對含有粘性松弛因子和p-雙調(diào)和算子的退化擬拋物方程的數(shù)值求解是可行的.p=2時(shí)的計(jì)算結(jié)果非常理想，絕對誤差可以達(dá)到10-5，但是p=3時(shí)，由于方程非線性項(xiàng)作用增強(qiáng)，方程變得復(fù)雜，所得到的數(shù)值結(jié)果不太理想.同時(shí)兩種情況，當(dāng)時(shí)間T較大時(shí)，數(shù)值計(jì)算效果都不太好.

3 結(jié)論

本文就有限差分法討論了一類非線性高階退化擬拋物方程的數(shù)值結(jié)果.首先對方程各項(xiàng)的時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，尤其是非線性空間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行了離散化處理，并通過適當(dāng)?shù)牟罘直平?，得到了其相?yīng)的差分方程.其次選取適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件，利用給出的差分格式，通過Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn).由于本文所研究方程本身是一個極其復(fù)雜的，高階的非線性的偏微分方程，對其進(jìn)行數(shù)值求解，存在著較大的難度.本文也只是做了一個初步的嘗試，運(yùn)用最簡便快捷的有限差分法對其進(jìn)行數(shù)值近似，數(shù)值結(jié)果表明了有限差分法的有效性.但是數(shù)值實(shí)驗(yàn)也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)間延長時(shí)，由于所采用的向前差分格式的局限性，不一定能夠保證方法在長時(shí)間行為的數(shù)值穩(wěn)定性，同時(shí)對時(shí)間步長的要求也非常高.這一點(diǎn)需要在今后的研究中進(jìn)一步進(jìn)行完善，在保證數(shù)值穩(wěn)定性的前提下，使用盡量簡潔快速的算法是下一步的研究目標(biāo).