數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下概念課的思考

謝風(fēng)連

摘 要：高中數(shù)學(xué)概念課是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。通過對《獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（第1課時(shí)）》概念課的設(shè)計(jì)和實(shí)施，筆者認(rèn)為要在數(shù)學(xué)概念課中提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)該要“吃透”教材，充分研究教材、活用教材，在此基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)課堂問題，重視教學(xué)評價(jià)，并關(guān)注學(xué)生在不同階段的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)概念;概念教學(xué)

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下，“吃透”教材是概念教學(xué)的基本點(diǎn)

教材是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要教學(xué)資源。在教學(xué)中要充分研究教材、做到活用教材，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)概念形成與運(yùn)用的過程。

筆者在本節(jié)課中活用教材的引入，設(shè)計(jì)投硬幣游戲：同桌甲、乙兩人拋硬幣，甲連續(xù)拋5次硬幣，乙猜正面朝上或反面朝上，若乙猜對至少3次則乙勝，否則甲勝。讓學(xué)生嘗試從概率的角度判斷該游戲規(guī)則是否公平，每次乙猜對的概率是多少，每次猜測的結(jié)果是否相互獨(dú)立。讓學(xué)生親身體驗(yàn)“相互獨(dú)立”含義，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

通過簡略介紹伯努利試驗(yàn)的由來，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，感受概念是從實(shí)踐中來，又應(yīng)用于生活實(shí)踐。通過整合課本的例題與課后習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生探索超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生辨析、深入理解不同的概率模型，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下，課堂問題的設(shè)計(jì)是落實(shí)概念教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)

合適的問題對創(chuàng)設(shè)情境、理解概念、形成定理、實(shí)際應(yīng)用都是十分重要的。問題能驅(qū)動情境開展，能引導(dǎo)學(xué)生思考，能保證課堂效率，引領(lǐng)探究與發(fā)現(xiàn)。

（一）設(shè)計(jì)問題指向明確

設(shè)計(jì)問題1：這些試驗(yàn)有什么共同的特點(diǎn)？（1）投一枚質(zhì)地均勻的硬幣，共投了15次。（2）某人射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.8，共射擊10次。（3）盒子裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黑球，從中有放回地依次抽取4個(gè)球。

針對問題1，筆者設(shè)計(jì)了四個(gè)追問：（1）上面各個(gè)試驗(yàn)的條件如何？（2）每次試驗(yàn)的關(guān)系如何？（3）每次試驗(yàn)有哪些可能的結(jié)果？（4）若事件A發(fā)生的概率為p，每次試驗(yàn)的概率如何？

創(chuàng)設(shè)簡單的生活實(shí)例，以問題串的形式提示學(xué)生歸納試驗(yàn)的共同特點(diǎn)，抽象形成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)概念，在歸納過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（二）設(shè)計(jì)問題注重梯度

由于教材的思考題難度比較大，學(xué)生理解有所困難，筆者將教材的問題分解成由淺入深的小問題，降低思考難度，順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知特征。

設(shè)計(jì)思考1：投擲一枚圖釘，針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續(xù)擲3次，求恰有1次針尖向上的概率。

針對思考1，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)追問：（1）連擲3次圖釘，恰有1次針尖向上共有幾種情況？（2）這幾種情況存在什么關(guān)系？它們的概率分別是多少？（3）投擲3次，恰有1次針尖向上的概率是多少？

設(shè)計(jì)思考2：投擲一枚圖釘，針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續(xù)擲3次，出現(xiàn)k（k=0，1，2，3）次針尖向上的概率是多少？設(shè)計(jì)思考3：投擲一枚圖釘，針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p，連續(xù)擲n次，恰有k（k=0，1，2，3）次針尖向上的概率是多少？思考2是思考1的推廣，思考3是思考2的推廣。設(shè)計(jì)有梯度的問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，落實(shí)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理素養(yǎng)的提升。

（三）設(shè)計(jì)問題注重關(guān)聯(lián)性

在實(shí)際問題背景并不明顯地反映模型的特征時(shí)，學(xué)生在選擇正確的概率模型中存在困惑，易產(chǎn)生畏懼心理。教學(xué)中，教師要重視概率模型的區(qū)分。

設(shè)計(jì)題組一：

1. 設(shè)諸葛亮解出題目的概率是0.9，三個(gè)臭皮匠各自獨(dú)立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出題目即勝出比賽，諸葛亮和臭皮匠團(tuán)隊(duì)哪個(gè)勝出的可能性大？

2. 在某批含有4件次品的10件產(chǎn)品中，（1）有放回地依次抽取3件，計(jì)算恰好抽出2件次品的概率;（2）無放回地依次抽取3件，計(jì)算恰好抽出2件次品的概率。

3.（拓展延伸題）某批n件產(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：（1）當(dāng)n=500，5000，50000時(shí)，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？（2）根據(jù)（1），你對超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何認(rèn)識？

先通過第1題加深學(xué)生對二項(xiàng)分布概率公式的理解，掌握解題的一般步驟，鞏固基礎(chǔ)知識。再通過第2題讓學(xué)生探究二項(xiàng)分布模型與超幾何分布模型的區(qū)別：在產(chǎn)品總數(shù)比較小時(shí)，有放回依次抽取是二項(xiàng)分布模型，無放回依次抽取是超幾何分布模型。以第2題為鋪墊，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)第3題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考二項(xiàng)分布模型與超幾何分布模型的聯(lián)系：在產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，無放回可近似看成有放回，超幾何分布可近似看成二項(xiàng)分布。通過這兩題的對比，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生加深對新概念的理解，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模、邏輯推理核心素養(yǎng)的提升。

另外，筆者整合課本的例4、課后練習(xí)3和習(xí)題B組1設(shè)計(jì)了題組二：

1. 某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為[13]，求這名射手在5次射擊中，（1）恰有3次擊中目標(biāo)的概率;（2）至少有3次擊中目標(biāo)的概率;（3）前2次未擊中目標(biāo)，后3次擊中目標(biāo)的概率;（4）第5次射擊完成時(shí)，恰好3次擊中目標(biāo)的概率。

2. 甲、乙兩名選手參加羽毛球比賽，每局比賽甲勝的概率為0.6，不出現(xiàn)平局，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽），甲打完4局才勝的概率為（? ）。

A. C32×0.63×0.4? ?B. C32×0.62×0.4

C. C43×0.63×0.4? ?D. C42×0.62×0.42

3.（拓展延伸）甲乙兩名選手參加羽毛球比賽，每局比賽甲勝的概率為0.6，不出現(xiàn)平局，規(guī)定5局3勝制。（1）求甲獲勝的概率;（2）若比賽還可以規(guī)定3局2勝制，試比較3局2勝制和5局3勝制，哪個(gè)對甲更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識？

第1題讓學(xué)生在相同的背景下，分析不同的概率模型，不僅能培養(yǎng)學(xué)生對概率模型的識別能力，還能通過概念來挖掘概率模型的深度，有利于掌握不同的概念之間的關(guān)聯(lián)。第2題為第3題做好鋪墊，讓學(xué)生在綜合性的、情境化的數(shù)學(xué)活動中協(xié)同運(yùn)用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，靈活地解決問題，逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際應(yīng)用問題，同時(shí)提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

三、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下，教學(xué)評價(jià)是反饋概念教學(xué)的落腳點(diǎn)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)與評價(jià)作為顯性的主線來指導(dǎo)和貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)過程。通過教學(xué)評價(jià)，診斷、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，進(jìn)而改進(jìn)教師的教學(xué)行為，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成。

本節(jié)課中筆者主要采用：教師發(fā)起——學(xué)生回應(yīng)——教師評價(jià)的模式。通過課堂提問、課堂觀察、課堂練習(xí)及課后作業(yè)的方式，及時(shí)了解學(xué)生的進(jìn)展與學(xué)習(xí)目標(biāo)之間的差距，診斷學(xué)生的問題及需要加強(qiáng)的地方，調(diào)整和改進(jìn)自己的教學(xué)。在探究二項(xiàng)分布的概率公式時(shí)，通過課堂提問，讓學(xué)生展示想法，即時(shí)診斷部分學(xué)生對二項(xiàng)分布的概念理解存在困難，筆者及時(shí)將思考題分解成由淺入深的小問題，幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地思考與理解，最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。通過題組的練習(xí)，展示個(gè)別學(xué)生的解法，了解學(xué)生對二項(xiàng)分布模型的解題思路及方法的掌握情況，及時(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與思維習(xí)慣。同時(shí)關(guān)注學(xué)生有沒有積極參與到教學(xué)活動中，以及學(xué)生是否“聽懂了”。另外，利用課后作業(yè)鞏固基礎(chǔ)知識及解決部分學(xué)生在課堂中仍存在的問題，為調(diào)整和改進(jìn)第二課的教學(xué)做準(zhǔn)備。通過教學(xué)評價(jià)，筆者診斷學(xué)生可以基本掌握新知與技能，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的提升。

四、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展是概念教學(xué)的根本點(diǎn)

學(xué)生的知識掌握、數(shù)學(xué)理解、學(xué)習(xí)自信、獨(dú)立思考等是隨著學(xué)習(xí)過程而變化和發(fā)展的，只有通過觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和思維過程，才能發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維活動的特征及教學(xué)中的問題，及時(shí)調(diào)整教學(xué)的行為，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和思維習(xí)慣。

在本節(jié)課的教學(xué)中，在游戲情境、實(shí)例探究和課堂小結(jié)等環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)學(xué)生自由思考和交流、自我發(fā)現(xiàn)和自我發(fā)展的數(shù)學(xué)活動，關(guān)注和照顧學(xué)生興趣和能力的差異，尊重課堂的生成，加強(qiáng)師生之間和生生之間的交流，這極大地幫助了學(xué)生理解概念的形成和本質(zhì)，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也極有意義。

參考文獻(xiàn)：

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