基于等效電流法的永磁軸承分析

丁建剛

（陜西煤業(yè)化工集團孫家岔龍華礦業(yè)有限公司，陜西 榆林 719000）

0 引言

永磁軸承是利用永磁體之間的磁力作用實現(xiàn)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的一種被動磁軸承。永磁軸承具有體積小、無摩擦、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點。此外，高性能永磁材料的出現(xiàn)也極大地促進了永磁軸承的發(fā)展與應用。永磁軸承既可用作徑向軸承，又可用作推力軸承；根據(jù)磁環(huán)的磁化方向及相對位置的不同，永磁軸承可分為多種磁路結(jié)構(gòu)[1]。

承載能力與剛度的分析是永磁軸承研究與設(shè)計過程中的一個重要環(huán)節(jié)。目前，關(guān)于永磁軸承的分析設(shè)計主要是基于等效磁荷法建立的數(shù)學模型[2－3]或者是利用商業(yè)軟件進行仿真分析。此外，也有學者根據(jù)磁路法或者是有限元法對永磁軸承進行分析與計算。王洪昌等[4]基于分子電流法推導得到了永磁軸承軸向力的計算公式，利用蒙特卡洛算法進行了數(shù)值計算，并與ANSYS仿真結(jié)果作了對比。本文基于等效電流法建立了永磁軸承的數(shù)學模型，并利用Matlab對承載力與剛度進行了數(shù)值計算，繪制出了其隨位移變化的特性曲線，將計算結(jié)果與基于等效磁荷法的結(jié)果進行對比后發(fā)現(xiàn)，基于等效電流法與等效磁荷法的計算結(jié)果非常接近，且與實測值的誤差保持在較小的范圍之內(nèi)。最后，通過對徑向采取主動磁懸浮軸承、軸向為永磁軸承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在軸向的承載力及剛度特性進行了試驗研究，得出了一些關(guān)于永磁軸承特性的基本結(jié)論。

1 基于等效電流法的數(shù)學模型

根據(jù)安培的分子電流觀點，如果忽略永磁體的端部效應及磁化的不均勻性，永磁體內(nèi)部分子環(huán)流的環(huán)繞方向一致，這樣在永磁體內(nèi)部的任意一點總有兩個方向相反的分子電流通過，在效果上相互抵消；只有在截面邊緣處，分子電流未被抵消，形成與截面重合的圓電流，如圖1所示。對永磁體整體而言，未被抵消的分子電流是沿著永磁體表面的[5]。

圖1 永磁體中的分子電流

下面以軸向磁化的軸向永磁軸承為例，基于等效電流法建立其數(shù)學模型。圖2所示為用等效電流法表示的永磁軸承示意圖。設(shè)i1與i2分別為內(nèi)、外磁環(huán)表面上單位長度的磁化面電流；P、Q分別為圓柱面2和4上的兩點，其空間位置如圖3所示。將P、Q處的電流環(huán)投影到XY平面，得到Q處電流環(huán)的XY平面投影圖，如圖4所示[6]。根據(jù)畢奧—薩伐爾定律，內(nèi)磁環(huán)P處的電流微元i1dzdl1在外磁環(huán)Q處產(chǎn)生的磁感應強度為：

圖2 永磁軸承的等效電流模型

圖3 P、Q的空間位置

圖4 P、Q處電流環(huán)的XY平面投影

由圖3可知：

式中：Sr為內(nèi)、外磁環(huán)在徑向的相對位移；Sa為內(nèi)、外磁環(huán)在軸向的相對位移；h為Q在外磁環(huán)上的高度（見圖2）。

把式（2）～（3）代入式（1），將dB沿著整個內(nèi)磁環(huán)的外表面積分可得到內(nèi)磁環(huán)外表面等效電流在外磁環(huán)點Q產(chǎn)生的磁感應強度：

式中：H1為內(nèi)磁環(huán)的軸向剛度。

根據(jù)安培定律，Q處電流源i2dhdl2所受的力為：

式中：dl2=-R4sinβdβi+R4cosβdβj

把式（4）代入（5）并積分，得出內(nèi)、外磁環(huán)外表面間的作用力為：

式中：Den=(R4cosβ-R2cosα-Sr)2+(R4sinβ-R2sinα)2+(h-z+Sa)2。

同理可以求得F14、F23和F13。其中磁化面電流i在計算時可以取矯頑力Hc的值[6]。

根據(jù)圖2中等效電流的方向，整個永磁軸承內(nèi)、外磁環(huán)間的作用力為：

根據(jù)對稱性Fy＝0，所以永磁軸承的徑向力Fr＝Fx，軸向力Fa＝Fz。

上述只對軸向磁化的軸向永磁軸承建立了承載力的計算公式，從數(shù)學模型的建立以及公式的推導過程可知，式（6）同樣適用于軸向磁化的徑向永磁軸承的計算。

2 永磁軸承磁力的數(shù)值計算

由式（6）可知，基于等效電流法建立的永磁軸承的磁力計算公式是四重積分，計算量比較大。這里利用Matlab強大的數(shù)值計算能力，編程計算了軸向永磁軸承的承載力Fa與剛度K，其中剛度的計算是通過對承載力做差商運算得到的。設(shè)永磁軸承的參數(shù)為R1＝10.7 mm；R2＝13.3 mm；R3＝13.8 mm；R4＝16.3 mm；H1＝H2＝8.1 mm；Br1＝Br2＝0.82 T。在內(nèi)外磁環(huán)同軸的情況下，軸向力及剛度的位移特性曲線如圖5所示。圖中，點A剛度最大，點B為最大承載力點，在點C永磁軸承由吸力型變?yōu)槌饬π?；部分軸向力的計算值如表1所示，其中實測值與等效磁荷法的計算值分別由Yonnet[7]實驗與孫立軍等[8]計算得到。

表1 軸向力的計算值與實測值

圖5 軸向永磁軸承的承載力及剛度特性曲線

從表1可以看出，基于等效電流法和等效磁荷法計算出來的值基本相等；計算值與實測值的誤差在3%以內(nèi)。

若內(nèi)、外磁環(huán)軸向?qū)R而只有徑向產(chǎn)生相對位移，永磁軸承的參數(shù)為R1＝20 mm，R2＝26 mm，R3＝29 mm，R4＝35 mm，H1＝H2＝5 mm，Br1＝Br2＝0.9 T?；诘刃щ娏鞣ㄅc等效磁荷法[8]的結(jié)果如表2所示。

表2 不同模型時徑向力的計算值

3 軸向永磁軸承的力學特性試驗

為了進一步驗證理論計算的正確性，這里對徑向為主動磁懸浮軸承、軸向采取軸向磁化吸力型永磁軸承的轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)進行了試驗研究。圖6所示為裝置的實物圖及結(jié)構(gòu)簡圖。其中，永磁軸承外環(huán)的內(nèi)、外徑分別為12.9 mm和17 mm，軸向長度為5 mm；實心轉(zhuǎn)子部分的直徑為10 mm，軸向長度為6 mm，永磁體的剩磁為1.1，矯頑力為868 kA/m。

圖6 實驗裝置原理

轉(zhuǎn)子在徑向懸浮的情況下，通過百分表與電子測力計配合，分別測出永磁軸承轉(zhuǎn)子部分的軸向位移及對應的拉力，試驗結(jié)果與理論計算的對比如圖7所示。從圖中可以看出，試驗值與計算值基本吻合，該永磁軸承的最大承載力約為9.5 N，原點處剛度約為7 000 N/m。

圖7 Fa－Sa的試驗數(shù)據(jù)與計算值對比

4 結(jié)束語

本文對基于等效電流法的永磁軸承進行了分析，得出結(jié)論如下。

（1）基于等效電流法的承載力計算結(jié)果與等效磁荷法得到的數(shù)值非常接近，這也進一步說明了基于等效電流法所建立數(shù)學模型的正確性以及這兩種觀點的等效性。

（2）軸向磁化吸力型永磁軸承的磁力先隨著位移的增大而增大，達到最大承載力后，隨著位移的增大而減小；剛度在原點處最大，此后隨著位移的增大而減小直至負值，最終趨于0。