關于正定矩陣的Sz′asz 不等式和Hadamard 不等式的注記

劉合國, 高睿, 徐行忠, 廖軍

(湖北大學數學與統計學學院, 湖北 武漢 430062)

1 引言

本文涉及的矩陣不等式見文獻[1-2], 算術- 幾何平均不等式(也稱AM-GM 不等式) 見文獻[3], 涉及的矩陣論知識見文獻[4].

1893 年, Hadamard 證明了下面的定理, 它應該是行列式不等式里最有名的結果之一.

Hadamard 不等式設H=(aij)n×n是復數域上的n階矩陣, 則

中“=” 成立當且僅當H是對角矩陣.

明顯的, 上述不等式等價于下面的定理:

設A=(aij)n×n是正定Hermite 矩陣, 則中“=” 成立當且僅當A是對角矩陣.

人們常常把這個關于正定矩陣的不等式稱為Hadamard 不等式, 例如文獻[1-2]. 隨后, Sz′asz 推廣了Hadamard 不等式, 得到了一個加細的不等式, 見文獻[1-2,4].

Sz′asz 不等式設A= (aij)n×n是非對角的正定Hermite 矩陣,Pk表示A的所有k級主子式的乘積(1 ≤k≤n), 則

顯然, Sz′asz 不等式里“Pn

本文包括兩方面的內容, 它們在形式上看是相互獨立的, 但在本質上是一脈相承的.其一, 給出Sz′asz 不等式的加法形式; 其二, 證明Hadamard 不等式等價于AM-GM 不等式. 貫穿全文的基本思想是“平均”. 有關Sz′asz 不等式的研究請參見文獻[6-11], 關于Hadamard 不等式和平均值不等式可參見文獻[12-15].

2 Sz′asz 不等式的加法形式

這個定理的證明依賴于兩個已有的事實.

引理2.1把A= (aij)n×n的所有k級主子式之和記為Qk, 1 ≤k≤n, 則A的特征多項式

下面用微積分的技術給出該引理的一個簡潔證明.

證明對n進行歸納. 當n= 1,2 時, 結論是易見的. 歸納地假設n ?1 時結論成立, 注意到ΔA(λ) 的導數

的展開式的λn?k?1的系數里出現n ?k次, 于是

令λ=0, 可得C=(?1)nQn, 因此

引理得證.

引理2.2(Newton-Maclaurin 不等式) 設λ1,λ2,··· ,λn是n個正數,σk是λ1,λ2,··· ,λn上的第k次初等對稱函數, 1 ≤k≤n, 則有

并且上式里任意一個等號成立當且僅當λ1=λ2=···=λn.

這不是一個平凡的結論, 證明它需要有關“對稱和” 形式的不等式的深刻技巧, 見文獻[3] 中Problem 12.1.

有了這兩個引理, 證明定理2.1 就是常規(guī)的工作了.

定理2.1 的證明設A的特征值為λ1,λ2,··· ,λn, 從條件知λ1,λ2,··· ,λn是n

個不全相等的正數. 于是A的特征多項式

又根據引理2.1 知, ΔA(λ)=λn ?Q1λn?1+Q2λn?2?···+(?1)n?1Qn?1λ+(?1)nQn,比較系數可知, 對每個1 ≤i≤n,Qi=σi, 進而據引理2.2 得到

透過上面的推理, 定理2.1 完全依賴于Newton-Maclaurin 不等式這個深刻的工具,這樣定理2.1 不是平凡的結果. 沒有找到定理2.1 的脫離Newton-Maclaurin 不等式的證明, 這與Sz′asz 不等式具有本質的不同, Sz′asz 不等式是有非常初等的證明的, 見文獻[5].

這里B跑遍行列式為1 的正定Hermite 矩陣.

從情理上說, 定理2.1 應該是已知的結果, 但沒有在已有的出版物上見到. 本文作者曾求教于矩陣論專家, 他們聲稱也沒有見到定理2.1 這樣的結論.

3 Hadamard 不等式與AM-GM 不等式的等價性

AM-GM 不等式是不等式理論里最重要的柱石之一, 存在許多令人嘆為觀止的證明和推廣. 在闡述Hadamard 不等式和Sz′asz 不等式時, 文獻[1] 寫道:“Hadamard′s inequality, like the inequality connecting the arithmetic mean and the geometric mean,caught the fancy of mathematicians, with the result that there are a wide range of different proofs and numerous extensions of this result.”

現在, 要證明Hadamard 不等式與AM-GM 不等式的等價性, 這個結論為文獻[1]的這段文字提供了一個直接的, 有力的注解.

定理3.1Hadamard 不等式與AM-GM 不等式是等價的.

在給出定理3.1 的證明之前, 先證明下面的引理.

引理3.1若A=(aij)n×n為n階Hermite 矩陣, 則存在n階酉矩陣U使得

其中trA為矩陣A的跡.

引理得證.

顯然B也是正定Hermite 矩陣, 設B的特征值為λ1,λ2,··· ,λn, 則λi>0 且

等號成立當且僅當B的特征值均為1, 當且僅當B=I, 當且僅當

反過來, 若A=diag(a11,a22,··· ,ann) 為n階對角矩陣, 且aii>0, 則A是正定矩陣. 由引理3.1 可得, 存在n階酉矩陣U使得

由Hadamard 不等式可得

另外, 從文獻[1-2,4] 知, Hadamard 不等式和AM-GM 不等式都有相互獨立的證明, 定理3.1 表明它們是等價的.

4 平均

已經存在許多關于Hadamard 不等式的證明, 上節(jié)從AM-GM 不等式出發(fā)的證明應該是早已經存在的, 在此寫出來是為了文章的完整性, 更是為了突出“平均” 思想的威力, 這種簡單樸實的思考方式常常被忽視了. 下面再舉兩例來闡釋這種方法, 而結論也是早為人知的.

證明由于A,B是半正定矩陣, 則A+B半正定, 設r(A+B)=r, 則存在可逆矩陣Q, 使得

設

其中A11和B11是r階矩陣. 顯然A1和B1半正定, 從而對滿足r+1 ≤i≤n的i,有aii=bii=0. 進一步, 由于A1是半正定Hermite 矩陣, 故可得

結論成立.

例4.2(Minkowski 不等式) 設A,B是兩個n階正定Hermite 矩陣, 則

且“=” 成立當且僅當存在k>0, 使得B=kA.

證明由于A,B是正定矩陣, 則A+B正定, 從而存在可逆陣P, 使得