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    永磁直線同步電機(jī)多周期離散重復(fù)控制

    2021-07-23 02:08:22劉光欣
    微特電機(jī) 2021年7期
    關(guān)鍵詞:低通濾波器框圖伺服系統(tǒng)

    王 歡,劉光欣

    (1.天津大學(xué) 內(nèi)燃機(jī)研究所,天津 300072;2.天津市瑞能電氣有限公司,天津 300385)

    0 引 言

    永磁直線同步電動(dòng)機(jī)(以下簡稱PMLSM)由于“零傳動(dòng)”的自身結(jié)構(gòu)特性,具有低損耗、高精度、快響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn),在高速精密數(shù)控、精密儀器、半導(dǎo)體芯片制造等領(lǐng)域有很大的應(yīng)用潛力。一方面,PMLSM固有的周期性推力波動(dòng)[1]會(huì)影響伺服系統(tǒng)的性能,特別是在高精度、高響應(yīng)速度的情況下尤為突出[2-3];另一方面,當(dāng)PMLSM伺服系統(tǒng)跟蹤任意多周期(兩個(gè)輸入信號(hào)周期不成倍數(shù)關(guān)系)輸入信號(hào)時(shí),控制精度較差。為此,有的學(xué)者采用了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[4]、變結(jié)構(gòu)控制[5]、H∞滑??刂芠6-7]等,但這些算法的高度復(fù)雜性會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的調(diào)節(jié)響應(yīng)滯后,并且由于周期信號(hào)的時(shí)變性,并不能較好地抑制或跟蹤系統(tǒng)輸入的多周期信號(hào)。因此,需要設(shè)計(jì)出一種相對(duì)計(jì)算簡單又高效的控制算法來解決上述問題。

    重復(fù)控制器在頻域內(nèi)首先由Inoue于1982年提出,控制器基于內(nèi)模原理對(duì)系統(tǒng)外部周期性輸入信號(hào)進(jìn)行調(diào)節(jié)[7-8]。Tomizuka于1989年首次提出離散重復(fù)控制器,離散重復(fù)控制器具有如下優(yōu)點(diǎn):一是重復(fù)控制器數(shù)字實(shí)現(xiàn)比模擬實(shí)現(xiàn)要簡便,二是由于離散化時(shí)限制了不必要考慮的高頻分量,因此不切實(shí)際的輸入條件不需要考慮,簡化了求解控制器的過程。特別是Tomizuka提出的原型重復(fù)控制器,是以零相差跟蹤為基礎(chǔ),采用零極點(diǎn)對(duì)消原理設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)器,不需要求解復(fù)雜的Diophantine方程,縮短了計(jì)算機(jī)的執(zhí)行周期,但是一般的原型重復(fù)控制器還有很多不足,例如對(duì)多周期輸入信號(hào)的跟蹤就顯得束手無措[1,9]。

    本文研究了一種快速調(diào)節(jié)(跟蹤/抑制)任意多周期信號(hào)的新方法,并從實(shí)際出發(fā)提出了一種適用于PMLSM的多周期重復(fù)控制系統(tǒng)。首先將重復(fù)控制器的周期發(fā)生器的死區(qū)長度縮短為所有周期信號(hào)的輸入之和。多周期重復(fù)控制器不僅可以比一般重復(fù)控制器少很多記憶單元來實(shí)現(xiàn),而且可以使控制誤差更快地收斂到零。其次,多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)不僅可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而且能將系統(tǒng)極點(diǎn)配置在以原點(diǎn)為圓心的給定半徑圓盤上,增加穩(wěn)定裕度。第三,所提出的控制器是顯式,設(shè)計(jì)方法不需要求解Diophantine方程,即使輸入信號(hào)的周期非常大,設(shè)計(jì)的工作量卻非常小,這一點(diǎn)和一般離散重復(fù)控制器相似。最后,通過MATLAB/Simulink,解決了PMLSM控制系統(tǒng)多周期輸入信號(hào)的跟蹤/抑制問題,仿真驗(yàn)證了其有效性。

    1 PMLSM傳遞函數(shù)

    根據(jù)運(yùn)動(dòng)力學(xué),對(duì)PMLSM的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)建立數(shù)學(xué)方程:

    KFiq(t)-Ff-FL-Fripple

    (1)

    式中:M表示PMSLM的動(dòng)子和其帶動(dòng)的負(fù)載總質(zhì)量;x(t)為動(dòng)子的位移量;Fe表示PMLSM的電磁推力;FL表示施加的外力,在系統(tǒng)中作為負(fù)載;KF表示電磁推力的系數(shù);iq表示電機(jī)動(dòng)子的q軸電流。

    Fripple表示推力波動(dòng),是由端部效應(yīng)產(chǎn)生的周期性波動(dòng)函數(shù)。其與動(dòng)子位移的函數(shù)關(guān)系[1]:

    (2)

    式中:Fripplem為端部效應(yīng)產(chǎn)生力的波動(dòng)幅值;τ為電機(jī)的極距;φ0表示電機(jī)初始相位的電角度[7]。

    Ff表示摩擦力,數(shù)學(xué)表達(dá)式如下:

    (3)

    式中:fc表示庫侖摩擦力系數(shù);fs表示靜摩擦力系數(shù);v表示電機(jī)動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)速度;vs表示Stribeck影響速度;Bv表示粘滯摩擦系數(shù)。

    建立狀態(tài)方程,狀態(tài)量分別為PMLSM的動(dòng)子位移和動(dòng)子移動(dòng)速度,直線伺服系統(tǒng)狀態(tài)方程表示:

    (4)

    式中:u=iq作為控制輸入。

    本文用d來表示將滯摩擦外的其他摩擦與干擾,即d=Ff+Fripple+FL。可以得到PMLSM的傳遞函數(shù):

    (5)

    2 PMLSM伺服系統(tǒng)重復(fù)控制器設(shè)計(jì)

    2.1 基于PMLSM的離散重復(fù)控制系統(tǒng)

    圖1是單輸入單輸出離散重復(fù)控制的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖。圖1中,xd[k],x[k],e[k],u[k],d[k],分別表示輸入?yún)⒖夹盘?hào),輸出位移信號(hào),反饋控制誤差,控制信號(hào),干擾輸入信號(hào);C1(z-1),C2(z-1),P(z-1)則分別表示離散重復(fù)控制器,離散位置控制器和離散速度閉環(huán)傳遞函數(shù),其中位置控制器使用的PD控制器,離散重復(fù)控制器是本文研究設(shè)計(jì)對(duì)象。

    圖1 離散重復(fù)控制的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖

    假設(shè)圖1的離散重復(fù)控制系統(tǒng)的采樣間隔為Ts,d[k]的周期為L2,xd[k]的周期為L1,把xd[k]、d[k]分別離散化:

    (6)

    xd0(z-1)=xd0(0)+xd0(1)(z-1)+……+

    (7)

    (8)

    d0(z-1)=d0(0)+d0(1)(z-1)+……+

    (9)

    式中:xd0(z-1)為xd(z-1)的第一個(gè)周期序列的z變換;z-1為延遲因子;d0(z-1)為d(z-1)的第一個(gè)周期序列的z變換[1]。

    圖1中的P(z-1)為PMLSM速度閉環(huán)離散傳遞函數(shù),速度閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖2所示,P0(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。vd是速度環(huán)的輸入信號(hào),v是速度環(huán)的輸出,d是干擾信號(hào),速度控制器采用偽微分前饋反饋控制器(PDFF)結(jié)構(gòu),如圖2虛線框內(nèi)所示,控制器輸出:

    圖2 PMLSM速度閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖

    式中:k1表示主調(diào)節(jié)器參數(shù);k2表示反饋補(bǔ)償調(diào)節(jié)器參數(shù);kf是PDFF調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù),為調(diào)節(jié)器前饋比例增益。PDFF的引入加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,在誤差沒有經(jīng)過積分環(huán)節(jié)時(shí),讓給定就提前加入了控制命令中。當(dāng)kf=1,調(diào)節(jié)器為偽微分反饋控制(PDF),當(dāng)kf=0,為經(jīng)典PI控制。PDFF調(diào)節(jié)器集成了兩種控制器的優(yōu)點(diǎn),是介于兩種控制方案之間的一種綜合控制方案,既可以增加系統(tǒng)的抗擾動(dòng)能力、增強(qiáng)DC剛度,又可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度,這兩方面正是PI和PDF控制無法兼具的,本文采用的速度控制器為PDFF控制[7,11]。

    對(duì)其求傳遞函數(shù)可得:

    然后,對(duì)其離散化,可得P(z-1)。

    2.2 離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)

    由于一般離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)只能跟蹤單周期信號(hào),為了具有普遍意義,假設(shè)圖1中的擾動(dòng)信號(hào)d=0,PMLSM伺服系統(tǒng)可以用下式描述:

    P(z-1)=z-dB(z-1)/A(z-1)

    (10)

    式中:B-(z-1)和A-(z-1)是互質(zhì)的;z-d表示由被控對(duì)象造成的d步延遲,且

    A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n

    B(z-1)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bmz-m

    式中:b00,n≥m。

    B(z-1)=B+(z-1)B-(z-1),其中B+(z-1)包含所有漸進(jìn)穩(wěn)定的零點(diǎn),B-(z-1)包含其它的零點(diǎn),如不穩(wěn)定零點(diǎn)。

    根據(jù)圖1可得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程:

    D(z-1)=S(z-1)A(z-1)(1-z-L1)+

    z-dB(z-1)R(z-1)=0

    (11)

    式(11)即是Diophantine方程,選擇合適的S(z-1)和R(z-1)使D(z-1)漸進(jìn)穩(wěn)定,即可完成重復(fù)控制器的設(shè)計(jì),當(dāng)L1數(shù)值非常大時(shí),求解控制器的階次會(huì)很高,尤其是在線求解方程時(shí),復(fù)雜性變得不可容忍。取而代之提出下面的原型重復(fù)控制器:

    (12)

    式中:B-(z)是用z代替B-(z-1)中的z-1,由于B-(z-1)中包含不穩(wěn)定的零點(diǎn),所以不能直接對(duì)消,采用零相位對(duì)消法,即B-(z-1)B-(z)引入相位為零。h表示B-(z)的最高階次,f是重復(fù)控制增益。最優(yōu)重復(fù)控制增益fopt的求取方法如下:

    (13)

    2.3 多周期離散重復(fù)控制器

    當(dāng)PMLSM控制系統(tǒng)需要跟蹤多周期參考信號(hào),或抑制任意周期干擾,即當(dāng)d0時(shí),上述一般離散重復(fù)控制器并不能實(shí)現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤參考信號(hào),本文提出的多周期離散重復(fù)控制器既可以跟蹤任意周期參考信號(hào),還可以實(shí)現(xiàn)抑制周期性擾動(dòng),如固有的周期性推力波動(dòng)等。

    圖1的控制框圖同樣也可以應(yīng)用到多周期給定控制系統(tǒng),xd[k]為多周期輸入信號(hào),設(shè)Li(i=1,…,l),為了不失去一般討論性,假設(shè)L1>L2>Ll是多周期參考輸入信號(hào)的周期,d0的情況和多周期信號(hào)給定的推導(dǎo)過程相同,本文不贅述,以下推導(dǎo)過程都按照多周期給定信號(hào)進(jìn)行。如果按照以往設(shè)計(jì)重復(fù)控制系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn),需要在控制器C(z-1)內(nèi)部引入一個(gè)信號(hào)發(fā)生器1/(1-z-L),其中:

    L=LCM{Li,i=1,…,l}

    顯然,這個(gè)L值會(huì)非常大,從控制器的計(jì)算角度和元素存儲(chǔ)單元的大小來看都是不可取的。為了解決這一問題,簡化控制器設(shè)計(jì)和減少存儲(chǔ)單元,采用如下離散重復(fù)控制器的設(shè)計(jì)形式:

    (14)

    (15)

    式中:h代表B-(z)表達(dá)式z的最高階次,為了提高系統(tǒng)的魯棒性,重復(fù)控制增益用Fk(z)零相位低通濾波器代替,是需要被設(shè)計(jì)的;hFk代表Fk(z)表達(dá)式z的最高階次;α(z,Fi)=1-Fi(z)B-(z)B-(z-1),當(dāng)l=2時(shí),根據(jù)式(14)可得:

    (16)

    (17)

    則當(dāng)l=2時(shí),多周期離散重復(fù)控制器表達(dá)式為下式:

    (18)

    控制框圖如圖3所示,零相位低通濾波器F1(z)、F2(z)可以根據(jù)下列公式設(shè)計(jì):

    (19)

    圖3 基于多周期重復(fù)控制系統(tǒng)框圖

    2.4 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

    穩(wěn)定性定理:假設(shè)圖3的離散重復(fù)系統(tǒng)是逐漸穩(wěn)定的,且系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為0,則存在零相位低通濾波器Fi(z)滿足如下不等式:

    (20)

    且Li+d+hFi+h≥0,i=1,2,…,l,其中ωT∈[0,π]。

    證明:多周期重復(fù)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)特征方程:

    (21)

    (22)

    由于系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,很明顯存在z使z-Li=1,所以|Ge(z-1)|=0,則系統(tǒng)的誤差也為0,可以看出,式(20)是設(shè)計(jì)低通濾波器的限制條件。

    3 仿真結(jié)果及分析

    為了驗(yàn)證本文理論的正確性,仿真采用的PMLSM具體參數(shù)以及位置、速度控制器參數(shù)如表1所示。直線電機(jī)標(biāo)稱模型為P0(s)=1/(12s+8)。

    表1 仿真使用參數(shù)

    系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):

    F1(z)=F2(z)=fopt[1+1-B-(z)B-(z-1)]=

    427.18-125.81z+125.81z-1

    下面從兩個(gè)方面仿真驗(yàn)證式(18)的控制器性能。

    驗(yàn)證一:給定多周期信號(hào),無擾動(dòng)信號(hào)。

    參考輸入信號(hào):xd10(t)=0.03sin(2πt),xd20(t)=0.01sin(3πt),xd(t)=0.03sin(2πt)+0.01sin(3πt),如圖4所示,兩個(gè)輸入信號(hào)不是諧波關(guān)系,采樣間隔Ts=1/250 s。

    圖4 多周期信號(hào)給定波形

    為了證明本文所設(shè)計(jì)的控制器的優(yōu)越調(diào)節(jié)性能,采用上述離散原型重復(fù)控制器系統(tǒng)仿真做對(duì)比,控制器離散傳函:

    式中:L1=250,f=fopt,其余參數(shù)與多周期重復(fù)控制器參數(shù)相同。采用MATLAB/Simulink反復(fù)調(diào)試,得到如圖5~圖7的仿真結(jié)果,比較圖5和圖6,離散重復(fù)控制器跟蹤多周期給定信號(hào)誤差較大且不能收斂,而本文的控制器跟蹤誤差明顯減小,幾乎在0附近波動(dòng);從圖7的位移輸出波形也可以看出,多周期重復(fù)控制器無穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤多周期給定信號(hào)。

    圖5 離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差波形

    圖6 多周期重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差

    圖7 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)輸出位移

    驗(yàn)證二:給定是單周期信號(hào),有擾動(dòng)。

    xd(t)=0.03sin(2πt),端部效應(yīng)引起的周期性干擾信號(hào):Fripple=25cos(125πt),可得L={L1,L2}={250,4},經(jīng)過反復(fù)調(diào)試得到如圖8~圖11所示的結(jié)果。從圖9和圖10中可以明顯看出,本文的控制器誤差收斂能力和優(yōu)越性。圖11是本文設(shè)計(jì)的多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)的輸出,可實(shí)現(xiàn)零誤差跟蹤輸入。

    圖8 參考輸入位移波形和推力波動(dòng)波形

    圖9 離散原型重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差波形

    圖10 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)給定與反饋誤差波形

    圖11 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)位移輸出

    圖12為N1,N2不同取值時(shí)的系統(tǒng)誤差收斂能力,其中N1,N2的取值如表2所示。可以看出,N的取值越大,誤差幅值越小,系統(tǒng)的極點(diǎn)越接近原點(diǎn)。

    圖12 多周期離散重復(fù)控制系統(tǒng)不同極點(diǎn)設(shè)計(jì)系統(tǒng)誤差

    表2 低通濾波器參數(shù)設(shè)計(jì)和極點(diǎn)配置

    4 結(jié) 語

    PMLSM在跟蹤任意周期輸入信號(hào)時(shí),伺服系統(tǒng)的位移跟蹤精度下降,在任意周期性擾動(dòng)存在的情況下也面臨同樣問題。為此,本文設(shè)計(jì)了一款新型控制器,使用兩個(gè)改進(jìn)原型重復(fù)控制器特殊的并聯(lián)方式,加上通過設(shè)置控制器內(nèi)部的零相位低通濾波器來改變整個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布,在零誤差跟蹤/抑制多周期信號(hào)的同時(shí),提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。理論推導(dǎo)與仿真結(jié)果表明該方案的有效性。

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