一種TSMC共模電壓頻譜的三重傅立葉變換分析方法

蘇 建，耿 強

(天津工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，天津 300387)

0 引言

作為一種新型的“綠色”變頻器，雙級矩陣變換器（Two-Stage Matrix Converter，TSMC）不僅繼承了矩陣變換器能量循環(huán)流動等優(yōu)良的特性[1-3]，而且擁有更為簡單的換流和調(diào)制策略，因此在電動汽車、工業(yè)機器人等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[4-8]。當雙級矩陣變換器正常工作時，會在電機負載的中性點處產(chǎn)生高頻的共模電壓[9-10]，進而導(dǎo)致軸承損壞，同時在電磁耦合的作用下會產(chǎn)生電磁干擾，對整個系統(tǒng)的運行產(chǎn)生影響，因此充分了解共模電壓的諧波分布規(guī)律對濾波器的設(shè)計具有現(xiàn)實意義。

目前針對TSMC輸出諧波分析的主流方法為快速傅立葉變換（FFT），該方法的優(yōu)點是方便快捷，實時性較強；但是當所截取的最終波形與三種頻率不具備固定對應(yīng)關(guān)系時，最終分析的諧波頻譜存在不完整和相互重合的問題[11-13]。

為了解決這一問題，1975年Bird M等學(xué)者將原本用于通信系統(tǒng)的二重傅立葉解析方法用于PWM調(diào)制變換器的諧波分析中，得到了較為精準的各次諧波解析式[14]。文獻[15]將二重傅立葉積分變換應(yīng)用到超稀疏矩陣變換器低頻諧波分析中，定量計算了線性區(qū)和過調(diào)制區(qū)輸出電壓和輸入電流的低頻諧波。文獻[16]提出使用二重傅立葉變換計算脈寬調(diào)制信號頻譜，并指出了其他類型調(diào)制的信號無法應(yīng)用二重傅里葉變換的原因。

因此，三重傅立葉變換算法在二重傅立葉的基礎(chǔ)上快速發(fā)展，學(xué)者Bingsen Wang將三重傅立葉積分變換和矩陣變換器的“直接傳遞函數(shù)法”相結(jié)合，從而得到了開關(guān)函數(shù)各頻次諧波的頻率和幅值[17]。文獻[18]嘗試將三重傅立葉級數(shù)和卷積定理相結(jié)合，然后對矩陣變換器的輸出電壓頻譜進行定量分析，但是該方法的計算結(jié)果過于復(fù)雜，因此沒有得到最簡表達式。文獻[19]基于載波調(diào)制方法，提出用三重傅立葉變換來獲得矩陣變換器開關(guān)函數(shù)和合成終端量的精確光譜。

綜上，本文在分析傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制的基礎(chǔ)上，提出利用三重傅立葉變換計算負載側(cè)共模電壓中各次諧波分量的分布規(guī)律和準確的諧波幅值解析解，并與FFT進行比較來證明其優(yōu)越性，有助于完善雙級矩陣變換器的諧波分析理論。

1 雙級矩陣變換器傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制

1.1 系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)

雙級矩陣變換器單輸出阻感負載拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括輸入三相電源、LC輸入濾波器、整流級、鉗位電路、逆變級以及阻感負載。其中LC輸入濾波器用來降低 TSMC的高頻開關(guān)動作而產(chǎn)生的高頻電流諧波；整流級由雙向開關(guān)管組成，每個雙向開關(guān)都帶有兩個反并聯(lián)的快恢復(fù)二極管，兩個 IGBT是共發(fā)射級結(jié)構(gòu)，集電極和輸入輸出側(cè)相連接，由此實現(xiàn)對電流方向的獨立控制，達到能量雙向流動的效果；鉗位電路由一個單向二極管和電容組成，用來吸收由于高頻開關(guān)動作而產(chǎn)生的尖峰電壓，起到保護IGBT的作用；逆變級則是普通的兩電平逆變器結(jié)構(gòu)，阻感負載則采用星型連接方式。

圖1 TSMC-阻感負載系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Topological structure diagram of TSMC-Resistance load system

首先為了保護整體結(jié)構(gòu)，整流級在正常工作時需要避免過電流的現(xiàn)象，因此每一組上下的雙向開關(guān)在一個控制周期內(nèi)只能導(dǎo)通一個。根據(jù)圖1所示，當上橋臂中的開關(guān)Sr1,3,5導(dǎo)通的時候，下橋臂的開關(guān)Sr2,4,6不可以導(dǎo)通，否則電流將不會經(jīng)過逆變級的單向開關(guān)管而直接從直流母線電壓的正負極流向負載，這樣會短路網(wǎng)側(cè)而發(fā)生過電流的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致開關(guān)管損壞。根據(jù)上述約束條件，整流級開關(guān)需要滿足的原則為：

式（1）中，ir_a代表整流級a相輸入電流、ir_b代表整流級b相輸入電流、ir_c代表整流級c相輸入電流。

為了充分了解雙級矩陣變換器的整個調(diào)制過程，需要對兩級開關(guān)的模型進行介紹。將 TSMC整流級與逆變級的開關(guān)狀態(tài)定義為：

式（2）中，x=i為逆變級開關(guān)狀態(tài)，x=r為代表整流級開關(guān)狀態(tài)，y=1,2,…,6為兩種開關(guān)狀態(tài)的開關(guān)序號。

式（4）中，ui_A代表逆變級 A相輸出電壓、ui_B代表逆變級B相輸出電壓、ui_C代表逆變級C相輸出電壓、si1,3,5為逆變級3個單向開關(guān)的開關(guān)序號。

整流級三相輸入電流 Ir與直流母線電流 Ipn的關(guān)系為：

式（5）中，ir_a代表整流級a相輸入電流、ir_b代表整流級b相輸入電流、ir_c代表整流級c相輸入電流、Ipn代表整流級輸出的直流母線電流。

逆變級三相輸出電流 Ii與直流母線電流 Ipn的關(guān)系為：

式（6）中，ii_A代表逆變級 A相輸出電流、ii_B代表逆變級B相輸出電流、ii_C代表逆變級C相輸出電流。

設(shè)TSMC的輸入相電壓為：

式（7）中，Vim和iω分別表示輸入相電壓的幅值與輸入角頻率。

1.2 傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制

1.2.1 整流級調(diào)制

雙級矩陣變換器的整流級為共集電極結(jié)構(gòu)的雙向開關(guān)，使得3個共發(fā)射極的IGBT由一個隔離電源供電，降低了整體驅(qū)動隔離電源的數(shù)量，同時兼具 IGBT共發(fā)射極結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢。由于雙向開關(guān)的導(dǎo)通特性，因此整流級存在9種開關(guān)組合來對應(yīng) 9個空間電流矢量，包括有效矢量 Ir1～Ir6和3個電流零矢量Ir0，當整流級一相橋臂上下開關(guān)導(dǎo)通，另兩相橋臂開關(guān)全關(guān)斷時，輸入電流矢量為零矢量，故劃分扇區(qū)后的輸入電流空間矢量圖如圖2所示。

圖2中，θin=z+π/6?(Lin–1)π/3，θin∈[0,π/3]]，Lin代表整流級扇區(qū)序號，為了分析方便，令輸入功率因數(shù)角為0，則z=2πfint，代表輸入電流參考矢量與水平方向的夾角。設(shè)Ii_ref為參考電流矢量，可由其相鄰有效空間矢量 Irm、Irn和零矢量 Ir0合成，表達式為：

圖2 整流級輸入電流空間矢量圖Fig.2 Space vector diagram of input current of rectifier stage

各矢量對應(yīng)的占空比依次為 drm、drn和 dr0,計算公式為：

式（9）中mc為整流級的調(diào)制系數(shù)，取值范圍為0≤mc≤ 1 。

1.2.2 逆變級調(diào)制

由于TSMC逆變級的拓撲結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)的兩電平逆變器相同，而區(qū)別于傳統(tǒng)的兩電平結(jié)構(gòu)，其在進行空間矢量調(diào)制時，兩電平逆變器被供給的是恒定的直流母線電壓；而TSMC逆變級得到的虛擬直流母線電壓則由整流級經(jīng)過 PWM調(diào)制斬波后的高頻電壓。但是TSMC逆變級的調(diào)制過程與兩電平調(diào)制方式基本相同，即主要的思想就是利用逆變器空間電壓矢量的切換來獲得接近純圓形的旋轉(zhuǎn)磁場，當開關(guān)頻率不是特別高時使得逆變級擁有更好的控制性能。

同理，為了保護逆變級的開關(guān)管，并且避免TSMC所連接的阻感負載發(fā)生開路而產(chǎn)生輸出電壓過大的現(xiàn)象，根據(jù)圖1所示，當逆變級上橋臂中的開關(guān) Si1,3,5導(dǎo)通的時候，下橋臂的開關(guān) Si2,4,6不可以導(dǎo)通。因此逆變級開關(guān)狀態(tài)的約束條件為：

式（10）中，Sij，Sij分別為逆變級A、B、C相上下橋臂的開關(guān)函數(shù)，其值為1代表導(dǎo)通，反之代表關(guān)斷?；喌玫捷敵鲭妷旱氖噶勘磉_式為：

因此逆變級輸出電壓空間矢量圖由 6個電壓有效矢量Vi1～Vi6和2個電壓零矢量Vi0組成，對應(yīng)的電壓空間矢量圖如圖3所示。

圖3 逆變級輸出電壓空間矢量圖Fig.3 Space vector diagram of output voltage of inverter stage

圖3中，θout=y+π/6?(Lout–1)π/3，θout∈[0,π/3)]，Lout代表逆變級扇區(qū)序號；y=2πfoutt，代表輸出電壓參考矢量與水平方向的夾角。以Vi1(1,0,0)為例，“1”代表A相上橋臂開關(guān)中僅有Si1為導(dǎo)通狀態(tài)，第2位和第3位“0”分別代表B相和C相下橋臂開關(guān)中Si3和Si5為導(dǎo)通狀態(tài)，A,B,C三相下橋臂開關(guān)與同相上橋臂開關(guān)呈互補關(guān)系。故設(shè)Vi_ref為參考電壓矢量，可由其相鄰有效空間矢量Viα、Viβ和零矢量Vi0合成，表達式為：

則各矢量對應(yīng)的占空比依次為diα、diβ和di0,計算公式為:

式（13）中mv為逆變級的調(diào)制系數(shù)，取值范圍為0≤mv≤ 1 。

1.2.3 整流級和逆變級協(xié)調(diào)控制

由于在雙級矩陣變換器的整流級與逆變級之間不存在體積較大的電容儲能硬件電路，并且整流級 PWM調(diào)制輸出波動的直流母線電壓，同時兩級存在耦合現(xiàn)象，故為了得到理想的輸入輸出波形，我們需要對兩級進行協(xié)調(diào)控制，并且安排合適的開關(guān)序列，同時保證整流級實現(xiàn)零電流換流。

由于整流級脈沖模式可以調(diào)整，故可以根據(jù)其分布狀態(tài)是否對稱將其分為：對稱脈沖模式和非對稱脈沖模式。對稱脈沖模式，顧名思義就是整流級脈沖以控制周期的一半時間為分界線對稱，雖然擁有良好的網(wǎng)側(cè)輸入波形和更低的諧波含量，但由于脈沖分布過多會導(dǎo)致開關(guān)切換次數(shù)過多而損耗過大，因此缺陷性較大。

因此本節(jié)的整流級選擇不對稱脈沖模式，將逆變級的零電壓矢量分布于一個控制周期的兩端和整流級矢量切換的時刻，從而保證整流級零電流換流。圖4為TSMC非對稱調(diào)制模式下整流級和逆變級的協(xié)調(diào)控制的安排圖，根據(jù)調(diào)制的原理，整流級的載波可以等效為鋸齒載波，而逆變級可以等效為不對稱的三角載波。

圖4 兩級協(xié)調(diào)控制的開關(guān)序列Fig.4 Switch sequence of two-stage coordinated control

故通過上述方式，可以合理的安排兩級的占空比，最終得到理想的輸入輸出波形。

2 共模電壓產(chǎn)生機理及危害

雙級矩陣變換器的輸出分量包括正序分量、負序分量和零序分量，其中差序分量即為期望得到的輸出電壓和電流。共模電壓的準確定義即為負載中性點相對于參考電位點的電壓值，它由一系列高頻諧波組成，本質(zhì)上是由零序分量所對應(yīng)的開關(guān)動作合成的，則共模電壓的表達式為：

式（14）中，ui_A、ui_B、ui_C為輸出相電壓，因此輸出電壓的大小決定了共模電壓的狀態(tài)，再結(jié)合雙級矩陣變換器的開關(guān)模型，得到共模電壓由開關(guān)決定的定義式為：

由式（15）可知，在輸入電壓保持不變的情況下，共模電壓本質(zhì)上由兩級開關(guān)狀態(tài)的組合決定。因此在傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制策略下，共模電壓的最終解析式與輸入、輸出和載波頻率均相關(guān)。

當開關(guān)頻率足夠大或電壓上升過快的時候，足夠大的共模電壓將會產(chǎn)生共模軸電流，從而引起電機軸承的損壞。此外，共模電壓通過電磁耦合將在電機和大地之間產(chǎn)生高頻的漏電流，當過大的漏電流流過地線的時候，將會引起電機接地保護的誤動作。同時高共模電壓變化率會產(chǎn)生很強的電磁干擾，對電機傳動系統(tǒng)周圍的裝置產(chǎn)生不利影響。因此準確的共模電壓分布規(guī)律可以為輸出濾波器的設(shè)計提供參考，并且為共模電壓的抑制方法提供新的思路。

3 共模電壓諧波頻譜分析

3.1 三重傅立葉級數(shù)

雙級矩陣變換器作為一種全新的拓撲結(jié)構(gòu)，通過控制兩級開關(guān)的快速導(dǎo)通和關(guān)斷得到期望的PWM電壓電流波形，而傅立葉級數(shù)作為計算諧波含量的一種重要的數(shù)學(xué)計算方法，可以將周期信號展開成基波和各種非周期諧波分量之和。相比于傳統(tǒng)的FFT分析方法，優(yōu)點是得到各種諧波幅值的具體表達式，同時在被分析的波形無法與頻率達成最佳的對應(yīng)關(guān)系時，仍然可以得到較為準確的最終結(jié)果。

根據(jù)變量函數(shù)的數(shù)目不同，可以將基本的傅立葉級數(shù)分析方法分為：一重傅立葉變換、二重傅立葉變換以及三重傅立葉變換。結(jié)合上節(jié)分析，共模電壓的諧波展開式與輸入頻率、輸出頻率和輸出頻率均相關(guān)。因此假設(shè)三變量函數(shù)f(x,y,z)在x，y，z方向上均是周期為2π的函數(shù)，x,y,z相互獨立，則f(x，y，z)的復(fù)級數(shù)表達式為：

式（16）中k、p、q代表對應(yīng)變量的系數(shù)且為均為整數(shù)。

傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制策略下，TSMC的輸出電壓與輸入電壓頻率fin、輸出電壓頻率fout以及載波頻率fc均相關(guān)，故共模電壓uNO的諧波頻譜也由三種頻率的組合決定。令 x=2πfct，y=2πfoutt，z=2πfint，同時將式（16）展開為：

故式（17）代表共模電壓中所諧波分量之和，具體每一部分含義如下：第一部分為直流電壓分量；第二部分為只與載波頻率相關(guān)的諧波分量(k=1,2,…；p=0；q=0)、只與輸入頻率相關(guān)的諧波分量(k=0，p=0，q=1,2,3,…)、基波分量(k=0，p=1，q=0)和只與輸出頻率相關(guān)的諧波分量(k=0，p=2,3…,q=0)；第三部分為與三個頻率中的兩個相關(guān)的的諧波分量，其頻率為任意兩種頻率整數(shù)倍的代數(shù)和；第四部分為與三個頻率都相關(guān)的諧波分量，其頻率為三種頻率整數(shù)倍的代數(shù)和。

式（17）中Akpq和Bkpq為：

故三重傅立葉系數(shù)Fkpq為：

而共模電壓展開式中各次諧波幅值 uNO_kpq與三重傅立葉系數(shù)之間的關(guān)系為：

故通過計算三重傅立葉系數(shù)可以得到輸出電壓中所有的諧波，準確量化輸出電壓中各種諧波與載波頻率、輸出電壓頻率、輸入電壓頻率的關(guān)系。

3.2 計算雙空間矢量調(diào)制下的共模電壓諧波幅值

在傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制策略下，載波選擇等腰三角波，記為：

共模電壓對應(yīng)的三重傅立葉系數(shù)Fkpq_CMV為：

式（22）中,zx、zs和 yx、ys的取值范圍如表 1、2所示。

表1 zx、zs的取值范圍Tab.1 V alue range of zx and zs

表2 yx、ys的取值范圍Tab.2 V alue range of yx and ys

為了計算三重傅立葉系數(shù)，需要先確定共模電壓脈沖的跳變時刻，故當整流級和逆變級均處于第I扇區(qū)時，逆變級輸出的共模電壓與脈沖跳變時刻的關(guān)系如圖5所示。

在圖 5中，α1～α6代表逆變級開關(guān)的跳變時刻，即當載波大于調(diào)制波時，Si1、Si3、Si5為1，而 Si2、Si4、Si6為 0，反之則相反。則各個開關(guān)跳變時刻為：

圖5 雙SVPWM策略下的共模電壓Fig.5 Common mode voltage under dual SVPWM strategy

在圖5中，為了方便后續(xù)計算，每段占空比對應(yīng)的共模電壓化簡為余弦函數(shù)形式，即：

故整流級和逆變級均處于第I扇區(qū)時，對應(yīng)的三重傅立葉系數(shù)Fkpq_CMV為：

定義下述貝塞爾函數(shù)為：

式（27）中，m為兩級協(xié)調(diào)控制后總調(diào)制系數(shù)，對應(yīng)的貝塞爾函數(shù)值根據(jù)m、mc和k的不同取值而變化。進一步利用雅克比-安格爾恒等式、歐拉公式、以及貝塞爾函數(shù)積分性質(zhì)可以得到第 I扇區(qū)內(nèi)共模電壓對應(yīng)的三重傅立葉系數(shù)，化簡可得：

（1）當k不等于0,p=0,q=1時，對應(yīng)諧波的三重傅立葉系數(shù)Fkpq_CMV為：

（2）當k不等于0,p=0,q=–1時，對應(yīng)諧波的三重傅立葉系數(shù)Fkpq_CMV為：

（7）當 k、p不等于 0，q=–1時，對應(yīng)諧波的三重傅立葉系數(shù)Fkpq_CMV為：

當p、q等于其它值時，對應(yīng)的三重傅立葉系數(shù)為 Fkpq_CMV為零。因此式（28）～（34）表示 Jn(·)階第一類貝塞爾函數(shù)，可通過Matlab計算得出。結(jié)合式（18）就可以得到各次諧波詳細的解析解。

4 仿真結(jié)果分析

為了驗證上述理論推導(dǎo)的正確性，利用Matlab仿真軟件構(gòu)建傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制下TSMC單輸出阻感負載仿真模型。由于輸入頻率為工頻值且無法進行改變，同時載波頻率一般不作為變量，故對輸出頻率 fout取整數(shù)和非整數(shù)兩種情況來進行對比。系統(tǒng)的仿真參數(shù)設(shè)置如表3所示。

表3 TSMC 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置Tab.3 Setting of simulation parameters of TSMC system

當輸出頻率fout取整數(shù)時，對應(yīng)的波形如圖6所示。

通過放大圖 6(d)得到主要諧波分布的仿真值，且觀察圖7發(fā)現(xiàn)每個仿真值對應(yīng)一個三種頻率組合之后的最終頻率，將其帶入前面計算得到的各次諧波的最終表達式的限制條件，從而得到最終的的k、p、q關(guān)系，再將三種頻率對應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系到對應(yīng)的三重傅立葉系數(shù)表達式，最終得到與FFT分析相同規(guī)律的諧波含量值。比較總結(jié)如表4所示，所有諧波幅值均為以基波幅值為基準的標么值。

表4 當fout=50 Hz時，共模電壓主要諧波分布Tab.4 W hen fout=50 Hz,the main harmonic distribution of common-mode voltage

圖6 當fout=50 Hz,輸出三相電流、共模電壓、線電壓的波形和FFT下共模電壓對應(yīng)的諧波頻譜Fig.6 When fout=50 Hz,output the waveforms of three-phase current,common mode voltage,line voltage and the corresponding harmonic spectrum of common mode voltage under FFT

圖7 當fout=50 Hz時，F(xiàn)FT下主要諧波分布規(guī)律Fig.7 W hen fout=50 Hz,the main harmonic distribution law under FFT

通過表4可以發(fā)現(xiàn)，本文所提出的三重傅立葉變換計算方法得到的各種諧波理論值與通過仿真模型FFT分析得到的仿真值接近，故證明了在三種頻率組合規(guī)律相同的前提下，本文所提方法的正確性和可行性。

為了驗證三重傅里葉變換算法的優(yōu)越性，保證調(diào)制比、輸入電壓頻率和載波頻率不變，而輸出電壓頻率不為整數(shù)時，即fout=50.5 Hz，對應(yīng)的波形如圖8所示。

圖8 當fout=50.5 Hz，輸出三相電流、共模電壓、線電壓的波形和FFT下共模電壓對應(yīng)的諧波頻譜Fig.8 When fout=50.5 Hz,output the waveforms of three-phase current,common mode voltage,line voltage and the corresponding harmonic spectrum of common mode voltage under FFT

通過圖9得到對應(yīng)的主要諧波分布，總結(jié)如表5所示。

圖9 當fout=50.5 Hz時，F(xiàn)FT下主要諧波分布規(guī)律Fig.9 When fout=50.5 Hz,the main harmonic distribution law under FFT

通過表5以及對比表4可以看出，以輸出頻率為4.8495 kHz為例，當輸出頻率取小數(shù)且共模電壓的諧波為 fc–fout–2fin時，基于三重傅立葉變換得到的諧波幅值為29.549，相比于輸出頻率取整數(shù)時的理論值29.85變化不大；而通過FFT分析得到的仿真值為21.625，相比于輸出頻率取整數(shù)時的理論值29.31變化較大，其它輸出電流諧波規(guī)律蕾絲，故證明了本文所提算法優(yōu)越性。

表5 當fout=50.5時，共模電壓主要諧波分布Tab.5 When fout=50.5 Hz,the main harmonic distribution of common-mode voltage

5 結(jié)論

本文提出在三重傅立葉變換原理的基礎(chǔ)上，計算傳統(tǒng)雙空間矢量調(diào)制策略下 TSMC的共模電壓全部諧波的解析解，通過仿真及計算結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)：

（1）通過表4可以看出，基于三重傅立葉變換計算得到主要諧波對應(yīng)幅值與通過 FFT分析得到的各次諧波幅值接近，因此證明了理論計算結(jié)果的正確性。

（2）通過表5和表4對比可以看出，當輸出頻率出現(xiàn)小數(shù)時，基于三重傅立葉變換計算得到的諧波幅值主要諧波幅值變化誤差在允許的范圍內(nèi)，得到的諧波幅值更準確，而FFT得到的諧波幅值已經(jīng)出現(xiàn)較大誤差。

綜上，基于三重傅立葉變換算法的不受頻率變化的影響，得到的共模電壓諧波頻譜不僅全面考慮了三種頻率，而且當輸出頻率 fout取特殊值時依然可以得到較為精準的諧波分布規(guī)律，故本文所提方法對于完善共模電壓諧波分析理論具有積極意義。