三元肥料效應(yīng)模型的整合與優(yōu)化建模策略*

章明清，李 娟，張立成，姚寶全，張 華

（1. 福建省農(nóng)業(yè)科學(xué)院土壤肥料研究所，福州 350013；2. 福建省農(nóng)田建設(shè)與土壤肥料技術(shù)推廣站，福州 350003）

二次多項(xiàng)式函數(shù)是當(dāng)前常用的計(jì)量施肥理論模型[1-6]，具有扎實(shí)的統(tǒng)計(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)和計(jì)算簡便易行等優(yōu)點(diǎn)。但在施肥實(shí)踐中，二元、三元二次多項(xiàng)式肥效模型存在大量的非典型式[7-10]，至今仍然困擾著計(jì)量施肥的研究和應(yīng)用。近年的研究顯示，二次多項(xiàng)式肥效模型及其他類似的多項(xiàng)式肥效模型存在設(shè)定偏誤、多重共線性和異方差等問題[2]，制約了普通最小二乘（OLS）的建模有效性。為此，針對二次多項(xiàng)式肥效模型設(shè)定偏誤，作者構(gòu)建了非結(jié)構(gòu)肥效模型[11-12]；針對三元二次多項(xiàng)式肥效模型的多重共線性和異方差危害，分別提出了主成分回歸（PCR）[13]和可行廣義最小二乘回歸（FGLS）[14]的建模技術(shù)，顯著提升了建模成功率。

迄今在三元肥效模型建模中，除了經(jīng)典的二次多項(xiàng)式肥效模型OLS建模法外，還有PCR和FGLS建模法，以及三元非結(jié)構(gòu)肥效模型及其非線性最小二乘（NLS）建模法等。那么，針對具體作物的肥效試驗(yàn)結(jié)果，該如何選擇這些模型和建模法以達(dá)到最佳建模效果呢？作者在探討PCR建模法時(shí)，曾發(fā)現(xiàn)“OLS建模法結(jié)合PCR建模法”的建模策略可使早稻的典型三元二次多項(xiàng)式肥效模型比例明顯高于單獨(dú)使用OLS回歸或者PCR回歸[13]的建模方法。本文在分析整合各三元肥效模型及其建模法的專業(yè)適用性基礎(chǔ)上，提出優(yōu)化建模策略，旨在盡可能提高典型式的比例和田間肥效試驗(yàn)結(jié)果的建模成功率。

1 材料與方法

1.1 水稻和露地蔬菜氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)資料的收集整理

近十年來，福建省完成了眾多氮磷鉀“3414”設(shè)計(jì)的田間肥效試驗(yàn)。在匯總這些試驗(yàn)資料時(shí)，僅收集整理土肥技術(shù)力量較強(qiáng)的或項(xiàng)目負(fù)責(zé)人有能力嚴(yán)格把關(guān)的相關(guān)縣市完成的試驗(yàn)結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)“3414”試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，氮、磷、鉀各4個(gè)施肥水平及其試驗(yàn)產(chǎn)量分別繪圖，若3個(gè)圖形均大致呈現(xiàn)拋物線型關(guān)系，則保留該試驗(yàn)點(diǎn)資料，反之，則棄除該點(diǎn)試驗(yàn)資料。截止2017年底，共收集整理了水稻和露地蔬菜田間試驗(yàn)資料1 122個(gè)（表1）。供試土壤包括灰泥田、黃泥田、灰沙田、赤沙土等福建主要耕作土壤類型（土屬），供試土壤主要理化性狀（表2）采用常規(guī)方法測定[15]，處理（6）的N2、P2、K2施肥量及其試驗(yàn)產(chǎn)量結(jié)果見表2。相關(guān)作物田間試驗(yàn)設(shè)計(jì)、土樣采集和測定等，請參照文獻(xiàn)[16]。

表1 福建水稻和露地蔬菜“3414”設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料收集情況Table 1 Data collection of the field experiments in paddy fields and open vegetable gardens following the “3414” designing in Fujian Province

表2 水稻和蔬菜供試土壤主要理化性狀及其處理（6）施肥量和產(chǎn)量Table 2 Main physical and chemical properties of the tested soils，fertilizer application rates and yields of the 6th treatment

1.2 三元肥效模型的整合

1.2.1 非結(jié)構(gòu)肥效模型 近年的水稻盆栽和田間肥效試驗(yàn)均表明，施用單位養(yǎng)分的稻谷增產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系是典型的指數(shù)函數(shù)關(guān)系[11]。在此基礎(chǔ)上，作者構(gòu)建了一元非結(jié)構(gòu)肥效模型[11]：

式中，Y為作物產(chǎn)量，kg·hm-2；X為施肥量，kg·hm-2；s0為土壤供肥當(dāng)量，以N、P2O5、K2O養(yǎng)分形態(tài)計(jì)量，kg·hm-2；c為施肥對產(chǎn)量的效應(yīng)系數(shù)；A表示基礎(chǔ)土壤對作物產(chǎn)量的生產(chǎn)能力。式（1）模型克服了一元二次多項(xiàng)式肥效模型的設(shè)定偏誤以及一次項(xiàng)和二次項(xiàng)回歸變量間高度線性相關(guān)的問題，具有更高的擬合精度。

在式（1）模型中，當(dāng)施肥量和土壤供肥當(dāng)量均為零時(shí)，作物產(chǎn)量必等于零。因此，根據(jù)植物營養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型可由三個(gè)一元非結(jié)構(gòu)肥效模型相乘導(dǎo)出[12]：

式中，N0、P0、K0分別表示供試土壤的氮、磷、鉀供肥當(dāng)量，kg·hm-2；c1、c2、c3分別表示施用氮、磷、鉀養(yǎng)分的增產(chǎn)效應(yīng)系數(shù)；N、P、K分別表示N、P2O5、K2O施肥量，kg·hm-2；其他代數(shù)符號(hào)的含義與式（1）相同。

數(shù)學(xué)理論分析表明，式（1）和式（2）模型在一定施肥量范圍內(nèi)存在一個(gè)作物產(chǎn)量峰值，該峰值對應(yīng)的施肥量即為最高產(chǎn)量施肥量。因此，根據(jù)微積分原理，令作物產(chǎn)量Y分別對氮、磷、鉀施肥量的導(dǎo)數(shù)等于零，得到最高產(chǎn)量施肥量的計(jì)算式；令作物產(chǎn)量Y分別對氮、磷、鉀施肥量的導(dǎo)數(shù)等于農(nóng)產(chǎn)品和肥料價(jià)格倒數(shù)比，得到經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量施肥量的計(jì)算式[11-12]。

式（1）和式（2）肥效模型均為非線性模型，而且不能直接進(jìn)行線性化處理，模型參數(shù)估計(jì)需采用非線性最小二乘法[17]。假設(shè)非線性模型為Y=f（X，a），為求得參數(shù)a的估計(jì)值，可求解最小二乘問題：

其解?a作為參數(shù)a的估計(jì)值。非結(jié)構(gòu)肥效模型的回歸顯著性檢驗(yàn)與二次多項(xiàng)式肥效模型相似，但式（1）模型的回歸自由度為2，式（2）模型的回歸自由度為6。

1.2.2 多項(xiàng)式肥效模型 傳統(tǒng)上，假設(shè)施用單位養(yǎng)分的增產(chǎn)量與施肥量之間滿足線性關(guān)系，導(dǎo)出了一元二次多項(xiàng)式肥效模型[18]。根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的線性加和性原理，進(jìn)一步導(dǎo)出三元二次多項(xiàng)式肥效模型；有的學(xué)者根據(jù)研究需要，對二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行變形處理，形成了0.5次方和1.5次方多項(xiàng)式肥效模型[18]。顯然，這種多項(xiàng)式肥效模型的導(dǎo)出過程，雖然具有統(tǒng)計(jì)學(xué)理論支持，但缺乏植物營養(yǎng)學(xué)專業(yè)理論依據(jù)。

同理，將三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的組成項(xiàng)e-cN-c2P-c3K轉(zhuǎn)化為e-c1N×e-c2P×e-c3K。由于模型參數(shù)c1、c2、c3均在10-3級(jí)[12]，取泰勒級(jí)數(shù)展開式的前兩項(xiàng)，并忽略c1、c2、c3的兩兩乘積項(xiàng)以及c1c2c3乘積項(xiàng)和NPK三因子交互項(xiàng)等高次項(xiàng)，再令b0=AN0P0K0，b1=A（1-N0c1）P0K0，b2=A（1-P0c2）N0K0，b3=A（1-K0c3）N0P0，b4= -c1P0K0，b5=-c2N0K0，b6= -c3N0P0，b7=（1-N0c1）（1-P0c2）K0，b8=（1-N0c1）（ 1-K0c3）P0，b9=（1-P0c2）（1-K0c3）N0。則式（2）模型可轉(zhuǎn)化為：

這就是當(dāng)前常用的三元二次多項(xiàng)式肥效模型，是三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的簡化式。但是，這種經(jīng)過簡化導(dǎo)出的二次多項(xiàng)式肥效模型，導(dǎo)致最高施肥量之前和最高施肥量之后的施肥效應(yīng)是對稱關(guān)系，不符合生產(chǎn)實(shí)際。同時(shí)，導(dǎo)致強(qiáng)烈的多重共線性和異方差危害，制約了經(jīng)典最小二乘法回歸建模的有效性。

上述肥效模型整合過程可歸納為圖1所示。顯然，非結(jié)構(gòu)肥效模型的導(dǎo)出過程具有較強(qiáng)的專業(yè)邏輯性，二次方、0.5和1.5次方多項(xiàng)式肥效模型導(dǎo)出過程的專業(yè)邏輯性較差。

1.2.3 三元肥效模型的典型性判別 肥效模型典型性涉及邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法推薦施肥的可靠性。由于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件的復(fù)雜性，根據(jù)田間肥效試驗(yàn)結(jié)果建立的肥效模型，方程效應(yīng)曲線或曲面的形狀多種多樣[7]。在通過統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)的前提下，三元二次多項(xiàng)式肥效模型存在典型式和3種不同類型的非典型式[9]。若肥效模型同時(shí)滿足：（1）一次項(xiàng)系數(shù)的代數(shù)符號(hào)為正數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)的代數(shù)符號(hào)為負(fù)數(shù)；（2）肥效模型存在全局最高產(chǎn)量點(diǎn)；（3）邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法得到的推薦施肥量均落在試驗(yàn)設(shè)計(jì)施肥量范圍內(nèi)，這種肥效模型符合植物營養(yǎng)學(xué)的一般肥效規(guī)律，稱為典型式，可用邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法推薦施肥。反之，若3個(gè)條件中有任何一個(gè)條件不能滿足，則分別稱為肥效模型系數(shù)符號(hào)不合理的非典型式、肥效模型無最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式和肥效模型推薦施肥量外推的非典型式，此時(shí)邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法推薦施肥結(jié)果不可靠。如何判斷三元二次多項(xiàng)式肥效模型是否存在全局最高產(chǎn)量點(diǎn)？章明清等[9]總結(jié)提出了簡易方法。

三元非結(jié)構(gòu)肥效模型在通過統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)的前提下，也可能存在不同類型的模型。（1）若模型參數(shù)A、N0、P0、K0、c1、c2、c3均大于零，而且氮磷鉀推薦施肥量均落在試驗(yàn)設(shè)計(jì)施肥量范圍內(nèi)，此類模型滿足了植物營養(yǎng)學(xué)的一般肥效規(guī)律，稱為典型式，可用邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法計(jì)算推薦施肥量；（2）若模型系數(shù)A、N0、P0、K0、c1、c2、c3有一個(gè)或一個(gè)以上的系數(shù)值為負(fù)數(shù)，該類模型稱為系數(shù)符號(hào)不合理的非典型式；（3）若模型參數(shù)均大于零，但邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法的推薦施肥量有一個(gè)或一個(gè)以上落在試驗(yàn)設(shè)計(jì)施肥量范圍外，該類模型稱為推薦施肥量外推的非典型式。因非結(jié)構(gòu)肥效模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若模型參數(shù)均大于零，模型必有全局最高產(chǎn)量點(diǎn)，因而三元非結(jié)構(gòu)肥效模型不存在無最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式這種類型。

1.3 三元肥效模型建模與推薦施肥量計(jì)算的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

有許多數(shù)學(xué)軟件和統(tǒng)計(jì)分析軟件均能進(jìn)行肥效模型的參數(shù)估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)，本文采用MATLAB R2015b軟件進(jìn)行相關(guān)的編程和計(jì)算。其中，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的參數(shù)估計(jì)調(diào)用nlinfit功能函數(shù)；三元二次多項(xiàng)式肥效模型OLS建模法則調(diào)用regress功能函數(shù)；三元二次多項(xiàng)式肥效模型的PCR建模法是調(diào)用pca功能函數(shù)進(jìn)行主成分分析，然后根據(jù)提取的主成分得分矩陣與各處理的試驗(yàn)產(chǎn)量，用regress功能函數(shù)進(jìn)行回歸建模；三元二次多項(xiàng)式肥效模型FGLS建模法則調(diào)用fgls功能函數(shù)進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)。

上述4種建模法的具體數(shù)學(xué)原理、計(jì)算過程和MATLAB R2015b軟件功能函數(shù)的使用方法可參閱相關(guān)專著[19-21]。

2 結(jié) 果

2.1 三元肥效模型不同建模法的擬合效果

針對1 122個(gè)水稻和露地蔬菜氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)結(jié)果，分別采用三元二次多項(xiàng)式肥效模型OLS、PCR[13]和FGLS[14]建模法對各個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行回歸分析。表3的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，OLS建模法的三元典型式比例平均僅占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的19.8%，而PCR和FGLS建模法則分別提高至34.0%和27.1%。應(yīng)用三元非結(jié)構(gòu)肥效模型[12]及其NLS建模法，三元典型式平均比例達(dá)到試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的41.4%，較三元二次多項(xiàng)式肥效模型的OLS、PCR和FGLS的建模法分別提高21.6、7.4、14.3個(gè)百分點(diǎn)。

表3 水稻和蔬菜三元肥效模型不同建模法的擬合效果比較Table 3 Comparison of fitting between ternary fertilizer response models using different modeling methods for rice and vegetable

土壤肥力水平對典型三元肥效模型比例有重要影響。菜后稻是蔬菜地的輪作水稻，因土壤肥力水平普遍較高，OLS建模法的典型三元二次多項(xiàng)式肥效模型比例平均低至4.8%，即使采用PCR、FGLS建模法或非結(jié)構(gòu)肥效模型，三元典型式比例也分別僅有28.6%、12.7%和27.0%。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果還顯示，二次多項(xiàng)式肥效模型OLS、PCR和FGLS建模法的無最高產(chǎn)量點(diǎn)非典型式的平均比例大致相當(dāng)；然而，非結(jié)構(gòu)肥效模型由于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，無最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式比例則為零。在未通過統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)、模型系數(shù)不合理、推薦施肥量外推等模型種類方面，不同模型建模法之間的平均比例則差異較大。PCR建模法使未通過顯著性檢驗(yàn)的模型比例從OLS建模法的28.7%下降至19.2%，而FGLS建模法則下降至零；PCR建模法使二次多項(xiàng)式肥效模型系數(shù)符號(hào)不合理的非典型式比例從OLS建模法的30.1%下降至16.4%，非結(jié)構(gòu)肥效模型則進(jìn)一步下降至4.6%，但FGLS建模法則提高至48.3%。PCR建模法使二次多項(xiàng)式肥效模型推薦施肥量外推的非典型式比例從OLS建模法的6.1%提高至14.4%，F(xiàn)GLS建模法則與OLS建模法相當(dāng)，但非結(jié)構(gòu)肥效模型推薦施肥量外推的非典型式比例平均達(dá)30.8%。

由此可見，二次多項(xiàng)式肥效模型經(jīng)典建模法的成功率明顯偏低，克服多重共線性或異方差危害的建模法均有利于提高典型式比例，而同時(shí)克服了模型設(shè)定偏誤和多重共線性危害的非結(jié)構(gòu)肥效模型則較大程度地提高了建模成功率。因此，不同三元肥效模型及其建模法的適用性有明顯差別，合理選擇肥效模型及其參數(shù)估計(jì)方法對提高建模成功率具有重要價(jià)值。

2.2 供肥當(dāng)量參數(shù)N0、P0和K0與對照區(qū)產(chǎn)量的關(guān)系

在建模成功率較高的三元非結(jié)構(gòu)肥效模型中，N0、P0和K0分別表示土壤N、P2O5、K2O的供肥當(dāng)量。為考察模型參數(shù)估計(jì)值的可靠性，本文對能得到典型三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的試驗(yàn)點(diǎn)，根據(jù)水稻和露地蔬菜收獲時(shí)的氮、磷、鉀對照區(qū)產(chǎn)量，與對應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)的N0、P0和K0估計(jì)值進(jìn)行線性回歸分析。表4的結(jié)果表明，除了土壤肥力水平較高的菜后稻的3個(gè)回歸方程和煙后稻的磷素回歸方程外，其他具有10個(gè)以上試驗(yàn)點(diǎn)的供試作物，N0、P0和K0估計(jì)值與對應(yīng)作物對照區(qū)產(chǎn)量之間均有統(tǒng)計(jì)顯著水平的線性正相關(guān)關(guān)系，顯示N0、P0和K0估計(jì)值較好地反映了稻田和菜地土壤氮磷鉀供肥潛力。因此，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型不僅具有較高的建模成功率，模型參數(shù)N0、P0和K0也具有較明確的物理意義。

表4 非結(jié)構(gòu)肥效模型參數(shù)N0、P0和K0與對照區(qū)作物產(chǎn)量的相關(guān)性Table 4 Correlation analysis of model parameters of N0，P0 and K0 with crop yields in CK

2.3 三元肥效模型的四步建模法

在上述建模和統(tǒng)計(jì)過程中，作者發(fā)現(xiàn)三元二次多項(xiàng)式肥效模型能得到典型式的某些試驗(yàn)點(diǎn)資料，并不能保證三元非結(jié)構(gòu)肥效模型也一定能得到典型式，反之亦然。某些田間試驗(yàn)結(jié)果可能僅適用于4種建模法中的一種或者幾種。從盡可能提高典型肥效模型比例的實(shí)用角度出發(fā)，考慮到非結(jié)構(gòu)肥效模型具有較高的擬合精度、更寬的適用范圍[11-12]和較高的建模成功率（表3），同時(shí)較好地克服了二次多項(xiàng)式肥效模型推薦施肥量偏高[1，22]的問題，故將非結(jié)構(gòu)肥效模型作為數(shù)據(jù)擬合的第一步；OLS建模法是具有最佳統(tǒng)計(jì)性能的經(jīng)典方法，因而將第一步建模不能得到典型式的所有試驗(yàn)點(diǎn)，采用三元二次多項(xiàng)式肥效模型OLS建模法作為數(shù)據(jù)擬合的第二步；因PCR和FGLS建模法均為有偏估計(jì)[20]，PCR建模成功率高于FGLS建模法（表3），故將前兩步不能得到典型式的余下試驗(yàn)點(diǎn)依次采用PCR和FGLS作為第三步和第四步的數(shù)據(jù)擬合技術(shù)依據(jù)。經(jīng)過計(jì)算機(jī)多次反復(fù)試驗(yàn)比較，這種建模程序具有最佳的建模效果，簡稱為四步建模法，技術(shù)路線見圖2。

表5 的擬合結(jié)果表明，在1 122個(gè)試驗(yàn)資料中，典型三元肥效模型占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的平均比例達(dá)到57.5%，較單獨(dú)使用三元非結(jié)構(gòu)肥效模型NLS建模法、三元二次多項(xiàng)式肥效模型OLS、PCR、FGLS建模法的典型式比例分別提高了16.1、37.7、23.5、30.4個(gè)百分點(diǎn)，大幅度提升了典型三元肥效模型比例和田間肥效試驗(yàn)建模成功率。分析還表明，除了供試土壤肥力普遍較高的菜后稻典型式比例較低外，四步建模法在雙季稻、單季稻和露地蔬菜等作物間的典型式比例差異很小，顯示該建模程序具有較好的可靠性。

表5 四步建模法對水稻和露地蔬菜典型三元肥效模型比例的影響Table 5 Effect of the four-step modeling method on the proportion of typical ternary fertilizer response models for paddy fields and open vegetable gardens

3 討 論

3.1 肥效模型不同建模法的適用性

1 122個(gè)水稻和露地蔬菜氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)資料，采用三元非結(jié)構(gòu)肥效模型NLS建模法以及三元二次多項(xiàng)式肥效模型OLS、PCR和FGLS建模法，三元典型式比例平均分別為41.4%、19.8%、34.0%和27.1%，顯示不同三元肥效模型及其建模法的建模成功率具有明顯的差異。

經(jīng)典回歸分析的OLS建模法具有理想的統(tǒng)計(jì)性能，但合理使用必需滿足10個(gè)基本假設(shè)條件[23]。在多項(xiàng)式肥效模型中，誤差項(xiàng)方差為常數(shù)、自變量之間不存在線性相關(guān)和模型被正確設(shè)定等三個(gè)假設(shè)條件通常得不到滿足，導(dǎo)致出現(xiàn)了異方差、多重共線性和模型設(shè)定偏誤等問題，制約了OLS有效性和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)可靠性[2]，成為當(dāng)前二元、三元二次多項(xiàng)式肥效模型出現(xiàn)大量非典型式的主要技術(shù)原因。為提高建模精度和模型預(yù)測可靠性，PCR技術(shù)在土壤學(xué)中已得到普遍應(yīng)用[24-26]。該法通過從試驗(yàn)設(shè)計(jì)矩陣中提取互不相關(guān)的主成分，利用主成分得分值和試驗(yàn)產(chǎn)量建立肥效模型，消除了多項(xiàng)式模型多重共線性危害，對提高肥效建模成功率具有重要作用[13]。FGLS建模法是消除異方差危害的有效方法，但在土壤學(xué)中的應(yīng)用還較少[27]。在三元二次多項(xiàng)式肥效模型中，約有25%的肥效模型存在顯著水平的異方差[14]，導(dǎo)致建模結(jié)果發(fā)生異常。FGLS建模法是利用加權(quán)方法消除異方差，然后采用OLS法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。因此，OLS建模法具有優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性能，但受到諸多假設(shè)條件限制；PCR和FGLS建模法分別單獨(dú)克服多重共線性和異方差危害，且均屬于有偏估計(jì)[20]。

事實(shí)上，三元二次多項(xiàng)式肥效模型同時(shí)存在模型設(shè)定偏誤、多重共線性、異方差等問題，只有同時(shí)消除或緩解這些已知問題的危害，才能在較大程度上提高典型式比例。非結(jié)構(gòu)肥效模型假設(shè)施用單位養(yǎng)分的增產(chǎn)量與施肥量之間滿足指數(shù)函數(shù)關(guān)系，克服了模型設(shè)定偏誤；該模型是非線性模型，且不能直接線性化處理，克服了多重共線性危害。非結(jié)構(gòu)肥效模型同時(shí)較好地克服了多項(xiàng)式肥效模型的這些已知問題，是建模成功率得到較大提升（表3）的重要原因。

3.2 三元肥效模型的優(yōu)化建模策略

在表3的建模過程中，作者發(fā)現(xiàn)某些田間試驗(yàn)結(jié)果要得到典型肥效模型，僅能適用上述4種建模法中的一種或者幾種，其余的方法達(dá)不到預(yù)期目的，原因是作物產(chǎn)量具有隨機(jī)性。三元二次多項(xiàng)式肥效模型和三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的數(shù)學(xué)形式不同，方程誤差項(xiàng)對回歸建模的影響程度不同。這種狀況就可能出現(xiàn)三元二次多項(xiàng)式肥效模型能得到典型式的某些試驗(yàn)點(diǎn)，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型不能保證均得到典型式的結(jié)果，反之亦然。

可惜的是，什么樣的試驗(yàn)資料會(huì)造成模型設(shè)定偏誤或者多重共線性或者異方差對建模結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重影響，目前在統(tǒng)計(jì)學(xué)上并無明確的答案[28]?？紤]到農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件的復(fù)雜性和多樣性，反映到作物施肥效應(yīng)曲線或曲面也必然具有多樣性，期望通過一種模型或建模法來反映或概括這種多樣性是不現(xiàn)實(shí)的。因此，多種肥效模型及其建模法的綜合應(yīng)用有其合理性。由于三元非結(jié)構(gòu)肥效模型具有最高的建模成功率（表3），OLS建模法具有優(yōu)良的統(tǒng)計(jì)性能，PCR和FGLS能分別消除多重共線性和異方差危害。因此，從得到盡可能高的典型式比例的實(shí)用角度出發(fā)，多種模型或建模法綜合應(yīng)用的四步建模法是一種現(xiàn)實(shí)可行的建模策略。根據(jù)該建模策略得到的推薦施肥量，在已完成的234個(gè)水稻和14個(gè)露地蔬菜大田示范中[29-30]，與習(xí)慣施肥相比，不同稻作間平均增產(chǎn)稻谷4.0%～12.5%，凈增收為875～2 616 yuan·hm-2；不同蔬菜種類間平均增產(chǎn)6.8%～10.6%，凈增收達(dá)692～3 834 yuan·hm-2。結(jié)果顯示，四步建模法得到的推薦施肥量具有較好的可靠性。

3.3 計(jì)量施肥模型構(gòu)建的若干思考

肥效模型是實(shí)現(xiàn)計(jì)量施肥的主要技術(shù)手段。但在模型構(gòu)建研究中，普遍存在一個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)，即：施肥模型應(yīng)包含盡可能多的變量，除施肥量外，還應(yīng)包括氣候條件、土壤條件、作物品種、田間管理措施等，否則模型就不完善。實(shí)際上，計(jì)量模型考慮的變量過多，必然導(dǎo)致各變量之間提供的信息出現(xiàn)重疊，造成計(jì)量不準(zhǔn)或出現(xiàn)異常，就如統(tǒng)計(jì)學(xué)上的多重共線性等問題一樣。影響施肥量的各種因素間大多數(shù)情況下是非線性關(guān)系，如何削弱或消除這種變量信息重疊對計(jì)量準(zhǔn)確性的影響，目前尚無成熟和方便的方法可用。同時(shí)，作為研究對象的農(nóng)作物具有生命特征，施肥量或其他變量與產(chǎn)量的關(guān)系是滿足統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律的隨機(jī)關(guān)系，既使將上述變量因子全部考慮進(jìn)去也不可能變?yōu)榇_定性關(guān)系?？梢哉f，產(chǎn)生上述認(rèn)識(shí)誤區(qū)的根源在于，研究者大多習(xí)慣于用確定性關(guān)系的經(jīng)典思維模式來考慮和評(píng)價(jià)具有隨機(jī)性質(zhì)的施肥模型，而對現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)思維模式的應(yīng)用尚重視不夠。

作者認(rèn)為，計(jì)量施肥模型至少可分為計(jì)量施肥基礎(chǔ)理論模型和區(qū)域推薦施肥應(yīng)用模型兩個(gè)層次，前者是后者的基礎(chǔ)?；A(chǔ)理論模型的研究重點(diǎn)應(yīng)在于探討如何建立普遍適用的作物施肥效應(yīng)模型，甚至包括養(yǎng)分損失的施肥效應(yīng)模型。這種模型應(yīng)該簡潔美觀，既要滿足專業(yè)要求，又要符合統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，就像理論生態(tài)學(xué)的邏輯斯蒂（Logistic）模型一樣[31]。因此，考慮的變量指標(biāo)僅需要抓住那些具有共性特點(diǎn)的因子就可以了，例如，施肥量和土壤肥力等變量因子。

區(qū)域推薦施肥應(yīng)用模型應(yīng)在基礎(chǔ)理論模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合服務(wù)區(qū)域的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件和區(qū)域特點(diǎn)，構(gòu)建適合當(dāng)?shù)厣a(chǎn)實(shí)際的區(qū)域推薦施肥系統(tǒng)。由于考慮變量太多會(huì)造成難以對模型進(jìn)行精確的參數(shù)估計(jì)和施肥計(jì)量的問題，區(qū)域推薦施肥模型宜采用分區(qū)模式。例如，當(dāng)區(qū)域小至縣域甚至村域，因?yàn)榻邓俊鉁睾妥魑锕芾硭降茸兞吭趨^(qū)域內(nèi)很可能無顯著差異，在構(gòu)建區(qū)域推薦施肥模型時(shí)就可以不考慮了。因此，既使在應(yīng)用層面上，評(píng)價(jià)區(qū)域推薦施肥模型的合理性和可靠性，關(guān)鍵也在于該計(jì)量模型是否抓住了服務(wù)區(qū)域內(nèi)具有顯著水平差異的那些變量，并將這些變量納入考慮中，而不是全部變量。

基于上述思考，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型和三元二次多項(xiàng)式肥效模型均應(yīng)屬于計(jì)量施肥的基礎(chǔ)理論模型范疇，可為區(qū)域推薦施肥提供基礎(chǔ)模型依據(jù)；三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的土壤供肥當(dāng)量參數(shù)N0、P0、K0，與相應(yīng)氮、磷、鉀對照區(qū)作物產(chǎn)量具有顯著水平的線性正相關(guān)（表4），為將“測土”與肥效模型緊密結(jié)合提供了一條可能途徑。

4 結(jié) 論

非結(jié)構(gòu)肥效模型具有較強(qiáng)的專業(yè)邏輯性，其簡化式即為二次多項(xiàng)式肥效模型。四步建模法是提高典型三元肥效模型比例的優(yōu)化建模策略。