八年級學生數學問題解決能力測評分析
——以2019年浙江省初中教育質量監(jiān)測為例

張宗余 應佳成 周偉揚 閆 洪

2019年10月24日，浙江省教育廳開展初中教育質量綜合評價研究，以八年級學生的數學學科能力為研究對象，采用紙筆測評形式在全省11 個設區(qū)市、96個縣（市、區(qū)）組織實施了抽樣調查與測試。全省樣本總量43668，其中城市學校、縣城學校和鄉(xiāng)鎮(zhèn)農村學校的學生分別占25.8%、27.6%和46.6%；公辦學校、民辦非民工子弟學校和民辦民工子弟學校的學生分別占82.7%、14.6%和2.7%；男、女生分別占52.6%和47.4%。

“問題解決”能力是數學學科能力的重要體現(xiàn)，數學學科能力水平測試的內容為：在全面檢測學生的數學基礎能力水平（包括基礎知識、基本技能、基本思想與基本活動經驗等的形成水平）的同時，重點測查學生“問題解決”的能力水平。

一、“問題解決”測試背景

1.“問題解決”能力貫穿于國際學生能力評價體系

數學學習的目的在于解決各種數學情境中的問題，由于問題解決能力在數學探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新過程中不可或缺的作用，逐步引起了國內外的普遍關注，數學問題解決能力作為一種重要的學科素養(yǎng)被引入到國內外課程改革與國際評價的浪潮中。自PISA2003 以來，跨學科問題解決作為重要的素養(yǎng)貫穿于國際學生能力評價的體系，PISA2012 更加倡導學生成為一個積極的問題解決者。“問題解決”能力測試內容包括實際問題和純數學問題的解決。

2.“問題解決”能力在課程標準中的明確要求

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》中對“問題解決”的界定為：“初步學會從數學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；學會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識。”可見，問題解決能力的高低是衡量數學素養(yǎng)的重要指標。

3.“問題解決”是初中生核心素養(yǎng)中的核心

2016 年，北師大林崇德教授領銜的專家團隊所研制的《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式公布，明確了我國中學生發(fā)展核心素養(yǎng)的總體框架與基本內涵。其中，問題解決能力是學生發(fā)展核心素養(yǎng)的重要方面，更是指向數學學科素養(yǎng)評價的載體。

從“浙江省中小學教育質量綜合評價2019 年初中監(jiān)測數學學科報告”中可獲取以下信息：全省學生在“問題解決”能力測試部分的得分率低于整卷，特別是學業(yè)水平D 等的學生其得分率更低，相鄰等級間的差距顯著，監(jiān)測結論為“數學問題解決”是初中生能力發(fā)展中的薄弱環(huán)節(jié)。

本文將從問題解決能力測評框架、測試主要發(fā)現(xiàn)等角度對本次監(jiān)測所發(fā)現(xiàn)的問題加以分析，并結合分析結論提出改進建議。

二、“問題解決”能力水平測試框架

本次能力水平測試框架綜合借鑒了匈牙利數學家波利亞的“解題四步驟”[1]、美國心理學家奧蘇伯爾的解決問題過程四個階段[2]、浙教版教材中問題解決的基本步驟[3]等理論基礎，將指向“問題解決”能力指標細分為4 個一級指標和8 個二級指標，一級指標從“信息收集與理解”“計劃探索與制定”“方案實施與改進”“結果反思與拓展”四個方面進行設計。二級指標則是對一級指標的進一步細化，將4 個一級指標分解為8 個具體測試細節(jié)，文章對問題解決能力的分析也將圍繞這兩級指標展開，框架如圖1所示。

圖1 問題解決能力指標框架

三、學生“問題解決”能力測試主要發(fā)現(xiàn)

用能力水平測試的二級指標分析本次監(jiān)測報告中學生能力部分反饋的數據，可得到基本結論：浙江省學生在“收集與整理信息”“分析與提煉信息”“探索與尋求計劃”“執(zhí)行與實施計劃”能力方面都有較理想的數據反饋，但是“制定與完善計劃”“規(guī)范與改進計劃”“理解與反思結果”“聯(lián)系與拓展結果”等能力不理想，說明學生擅長解決執(zhí)行性的、偏于形象思維的問題，而主動規(guī)劃和拓展的能力較為欠缺。

（一）學生在“問題解決”能力表現(xiàn)中較好的方面

1. 學生根據圖形、圖表信息，合理分析與表征數量關系的能力較強

“收集與整理信息”“分析與提煉信息”都屬于“信息獲取和加工能力，包括從給定的信息中查找相關信息、比較選擇所需信息、直接應用信息解決問題等能力集群[4]”，對減少無關因素的干擾、正確解決數學問題起著極其重要的作用。監(jiān)測數據顯示，學生根據圖形、表格、操作、剪拼等方式讀取信息、處理問題的能力較強。

典型題1：測試卷第8題

如下圖示，將一張紙上下對折，再左右對折，然后剪出局部圖案，將此展開后可以得到一幅圖案。

事實上，這個問題的情境看似復雜，實則不難，線性思維特征明顯，基本思維流程為：

信息收集與理解是解決問題的前提，從問題情境中篩選解決問題的有效信息、剔除無關信息、正確理解信息本身的意義和信息與問題之間的關系、用已有知識經驗解決問題是重要的數學能力。數據顯示，此題正確率高達82.54%，一方面說明圖形信息較為直觀，易于從問題表征發(fā)現(xiàn)本質屬性，因而不同性質學校和不同水平學生的得分率相差不多。另一方面說明，學生圖形信息的感知能力較強，有較強的直觀想象能力。

2. 學生運用有效載體，探索與制定問題解決方案的能力較強

“探索與尋求計劃”“執(zhí)行與實施計劃”需要結合問題特征，提出和建立適當的解決問題的數學模型，并進行簡單的可操作性分析，最終形成明確、合理的解決問題的方案，能否制定出合理、可行的方案是問題解決的關鍵環(huán)節(jié)。數據顯示，多數學生能夠積極探索條件與所要解決的問題之間的內在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解決問題的各種可能途徑，選擇合適的數學模型，形成解決問題的初步方案，并在多種可行方案中尋求最優(yōu)化方案。

典型題2：測試卷第16題

如圖，量得1 個羽毛球高9cm，若2 個羽毛球疊在一起，則高為11.5cm?，F(xiàn)在把若干個羽毛球疊在一起裝進一個圓包裝桶里，桶蓋厚度不計。

（1）如果這個圓包裝桶的長度為13.5cm，桶內能否裝下3個羽毛球？為什么？

（2）如果這個圓包裝桶的長度為37cm，桶內最多能裝幾個羽毛球？

第（1）小題典型解答方法如下：

∵2 個緊疊在一起的羽毛球高為11.5cm，1 個球高9cm，而11.5－9＝2.5，

∴3 個緊疊在一起的羽毛球高為11.5＋2.5＝4cm＞13.5cm，

∴不能裝下3個羽毛球。

此題平均得分6.41 分，得分率80.12%。通過對羽毛球疊放的數量關系分析，發(fā)現(xiàn)其具有“等距”增長的特點。事實上這是一次函數模型的典型特征，根據這一特點綜合運用畫圖、列表等手段即可解決問題?？傮w得分情況較好，表明學生運用有效載體，探索與制定問題解決方案的能力較強，這與日常教學比較重視學生間的方法交流和相互的評價建議相一致。這種典型的解答方式屬于算術方法，問題解決方式較為直觀，只需通過收集問題中的文字信息和圖形信息，并能通過對球高、疊起后的高出部分等的計算，推斷出問題的結論即可，說明學生在解決問題的過程中，更傾向于選擇簡單、直接的解題方式。

（二）學生在“問題解決”能力表現(xiàn)中有待提高的方面

1.“制定與完善計劃”的能力有待加強

制定與完善計劃的能力融于問題解決的全過程，決定了問題解決的結果是否完備合理?！皬哪撤N實際意義上說，計劃是一種主控機制，它的作用是保證進行的活動是有益的（盡可能做到最好）”。[5]問題解決往往是思維的完善程度的體現(xiàn)，常見的重復、遺漏等弊病是由于制定與完善計劃的能力欠缺。本次監(jiān)測數據顯示，學生在計劃的有序性、嚴謹性上所表現(xiàn)出的能力差異較大，規(guī)劃能力需要加強。

典型題3：測試卷第7題

如圖，有兩個全等的直角三角形硬紙片，它們的兩條直角邊為2 和4.用這兩個紙片可拼出各種不同的凸四邊形，畫出所有符合要求的四邊形.

本題考查學生對圖形變化以及四邊形概念的理解水平，需要以圖形變化為基礎，設計合理的分類標準，有序討論，不重復不遺漏，梳理出各種圖形組合，再進一步做出選擇。但是監(jiān)測反饋出學生往往不能有序分類，題目理解能力也存在問題，存在拼成三角形、直角邊與斜邊重合、少畫圖形、畫出凹四邊形、多畫圖形、分類重復等錯誤，表明教學中缺乏有效的分類思想的滲透，缺乏有效的分類標準的體驗。畫法的無序與解題規(guī)劃有關，教學中要注意通過解決問題策略的培養(yǎng)提高問題解決能力。事實上，有效的規(guī)劃如下：

能否制定合理的問題解決策略，決定了能否有效覆蓋和兼顧問題的全部內涵與外延，決定了解決問題是否周密完備，決定了問題解決水平，需要引起重視。

2.“規(guī)范與改進計劃”的能力有待加強

規(guī)范與改進計劃的能力是一種邏輯能力，需要對問題進行綜合的觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷，采用科學的有邏輯的方法，準確而有條理地表達自己的思維過程。從測試結果看，學生缺乏主動修訂和改進計劃的能力和意識，絕大多數學生在固定的思維框框中考慮問題，缺少主動突破的精神。

典型題4：測試卷第18題

小明騎車從家出發(fā)，到超市替媽媽買鹽，買鹽后原路騎車回家。若小明8:00 從家里出發(fā)，8:15 回到家里，家離超市為a米，設離家的時間（分鐘）用x 表示，離家的距離（米）用y表示，x，y間的函數關系如圖所示.

（1）以下求得的兩個量，具有什么實際意義？

（2）若小明騎車從家到超市要經過一公交站，且公交站與家的距離為300 米。若小明在8:01 時經過此公交站，問小明什么時候與此公交站相距900米？

（3）在原題的內容中添加一個條件，請你提出一個問題（只要寫出添加的條件和問題，不必解答）.

條件：_________________________________.

問題：_________________________________.

通過小明在家和超市間行走這個情景下的行程問題測試，考查學生對函數圖象的認識、對數形結合等思想方法的掌握程度。但是此題平均得分只有2.87 分，得分率47.83%。第（1）小題“具有什么實際意義”這一問題得分率僅為22.20%，說明學生習慣于解答條件不多不少、條件都不矛盾的常規(guī)習題，反應出對問題信息和結果的分析、處理及反思評價能力的不足。第（2）小題得分率為44.70%，學生對問題解決有一定的思路，但是在進一步解答時，缺少更深刻的分析。第（3）小題需要學生通過對問題的解答做出反思、提出問題，考查學生是否具備一定的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。

綜合看，規(guī)范與改進計劃能力相關的問題總體得分偏低，表明學生反思問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題等與邏輯相關的能力有待加強，需要學會有邏輯地思考問題，能夠在比較復雜的情境中把握關聯(lián)，形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神。

3.“理解與反思結果”的能力有待加強

對復雜的問題提出有見解的解決方案的同時，需要能根據情境做出一定的預測[6]。但是對于一些常用問題結論的遷移，學生的表現(xiàn)也不盡人意，稍加變式之后，學生調取知識經驗的水平就大打折扣，反映出對解題過程缺乏回顧和反思，解題活動停留在經驗水平，缺乏自我評價和理性認識。

典型題5：測試卷第9題

在平面直角坐標系內，函數y＝2x－3 的圖象是直線l，將一張透明紙片覆蓋在直線l上，在紙片上用筆描出直線l上的一個點?，F(xiàn)在先將紙片沿x軸負方向平移2 個單位，若要使描在紙片上的點重新落在直線l上，則可以再將紙片（ ）

A.沿y軸正方向平移1個單位

B.沿y軸負方向平移1個單位

C.沿y軸正方向平移4個單位

D.沿y軸負方向平移4個單位

此題平均分1.93，得分率48.35%，結果不夠理想，這是常見的一次函數變式問題，只需合理遷移一次函數知識經驗即可解決，實測反映出學生對于“新”問題缺乏策略性的思考和解決方法，能力發(fā)展和經驗積累不平衡，遷移能力不理想，這就需要反思，需要對所解決的問題加以總結回顧，針對問題解決過程中的“模糊部分”調取已有經驗再次思考，查漏補缺，完善解題結構。

4.“聯(lián)系與拓展結果”的能力有待加強

事實上，問題解決的過程就是學生調用已有知識經驗，遷移解決新問題的過程，也包括用更高的觀點看問題，反思提升的過程，這是在知識和能力之間建立聯(lián)系的重要過程。綜合來看，學生在拓展與聯(lián)系方面表現(xiàn)出的能力差異較大，需要加強。

用聯(lián)系與拓展的視角重新審視測試卷中的第16題，此題平均得分6.41 分，得分率80.12%，前文已經做過分析，但是需要注意的是，如此高的得分中調用數學模型解決問題的學生較少，事實上，此題用函數建模方法解決更具有一般性：

設有x個羽毛球緊疊在一起，高為ycm，

由題意知，y與x成一次函數關系，

設y＝kx＋b，可得y＝2.5x＋6.5，

當x＝3 時，y＝14，14＞13.5，故不能裝下 3 個羽毛球。

但是這種解法只占到2.1%，總體反映出學生運用函數、方程、不等式等建模解決問題的意識和能力有待加強。

2019 年省測初中綜合報告數據表明，總體上浙江學生學習策略水平分布存在一定差異，學生學習策略總體上水平分布不太理想。全省學習策略高水平學生僅占8.7%，有42.8%的學生學習策略水平一般。其中，資源管理策略相對較好，呈正態(tài)分布；認知策略和元認知策略高水平學生分別占9%和9.8%，認知策略水平一般的學生超過50%。上述數據表明，浙江省初中學生學習策略還有較大提升空間，數學教師亟待加強對數學問題探究內部影響因素的分析，加強對學科策略教學的研究。

圖2 浙江省初中生學習策略及其維度水平分布

四、影響問題解決的因素及改進建議

（一）影響問題解決的因素

1. 教學理念的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

監(jiān)測通過教師綜合問卷調查了教師的“教學評一致性”理念，依據教師對自身在課堂教學目標定位、學生學情研判、課堂學習活動、課堂練習、家庭作業(yè)等環(huán)節(jié)的準確性或匹配性作出評價。綜合報告第五章得出結論：數學學科教學評一致性越高，學生的數學學業(yè)成績相對越高。對于不同區(qū)域，數學教師教學評一致性不同水平對學生數學學業(yè)成績的促進作用有差異。教學評一致性（以鄉(xiāng)鎮(zhèn)農村為例）水平從低（467.7）到較高（481.9）到高（489.6），數學學科的量尺分①量尺分：大規(guī)模測試的分數報告形式之一。通過采用某種測量模型，將學生在學科及其維度上的原始作答情況轉換成測試標準分數的過程。與原始分相比，量尺分的優(yōu)越性在于對不同時間、內容和難度的測試的結果，可采用統(tǒng)一的標準來進行衡量、比較。本次監(jiān)測采用項目反應理論模型，依據學生原始作答模式，將其在學科上的能力分數轉換成平均分為500分、標準差為100分的量尺分；在各學科分維度上的能力分數轉換成平均分為300分、標準差為50分的量尺分。從467 到482 到489 明顯提升。統(tǒng)計檢驗表明，教學評一致性低、教學評一致性較高、教學評一致性高三個不同水平對應的學生數學學業(yè)成績有顯著差異。教學評一致性水平低時，教學方式的改進促進學生學業(yè)成績提升的空間有限。教學評一致性水平處于較高和高水平時，教學方式促進學業(yè)進步的積極效應相對更大。

2. 教學方式的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

調查表明，教學方式越好的教師，所教學生的學習動力指數相對越高。教學方式（以城市為例）從一般（63.9）到較好（74.2）到好（84.3），學生的學習動力指數從65 到72 到83，統(tǒng)計檢驗表明教學方式一般、教學方式較好、教學方式好三個不同水平對應的學生學習動力指數有顯著差異。

通過教師教學方式對學生學習影響的回歸分析數據結果可知，教師教學方式對學業(yè)成績、高層次能力得分率、學習動力指數、學習策略指數均有顯著正向預測作用。從R2系數來看，教師教學方式對學習策略、學習動力的影響力更大。學校層面教師教學方式指數平均值每提高1 分，學校層面學生學習動力指數平均值可提高0.523分，學習策略指數可提高0.602分（非標準化回歸系數）。

浙江初中數學教師在數學學科教學能力方面總體表現(xiàn)良好，教師們普遍有較好的教學策略，善于借助團隊力量，善于積累和使用各種資源，重視對學生解題能力的培養(yǎng)，重視教學方法以及對學生認知策略的激發(fā)，以生為本的意識很強，能夠較好地進行自我評估以及對學生學習表現(xiàn)進行評估。但是調查中部分數據也反饋出教師們在學科理解方面還有一定的提升空間，憑經驗處理教學，以“解題”代替“問題解決”，主動學習意識欠缺，在教學理念方面存在分化現(xiàn)象，整體學科專業(yè)水平還需要加強引領。

3. 策略規(guī)劃的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

本次監(jiān)測從影響數學學業(yè)質量的各因素分別進行回歸分析。影響因素主要包括學習動力因素和學習策略等因素。

從回歸分析的標準化系數可知，影響學生數學學業(yè)質量的首要自身因素依然是學生學習的內部動力，其次是數學問題解決策略，再次是元認知策略。因此，提升學生數學學業(yè)質量，去除學生學習內部動機因素之外，在教學過程中需要重視教會學生數學分析的方法思路及對基本概念的清晰理解。此外，需要幫助學生在問題解決過程中形成監(jiān)控、反思和靈活調整思路的習慣，教師的探究性教學方式具有無可替代的價值。

4. 學習品質的優(yōu)劣與學業(yè)成績正相關

學生是否具備良好的自主學習品質，是衡量學生是否學會學習的重要尺度。主要指學習內部動機。

圖3 表明，“在學習中能獲得樂趣”一題中，選擇“完全符合”的學生占比為16.2%，“喜歡挑戰(zhàn)性的學習任務”一題中，選擇“完全符合”的學生占比為14.0%，在“努力學習對未來工作生活有幫助”一題中，選擇“完全符合”的學生占比達到了42.8%。這也充分表明，學生學習品質是問題解決的關鍵影響因素。

圖3 學生學習動力的若干典型樣題

（二）改進建議

1. 用科學的教學理念指導教學

教師要積極改進自己的教學理念，加強理論學習，重視基礎教學。例如要重視概念教學：這是由于概念本身是數學學習的重要內容，又是后續(xù)學習的核心支持，是計算學習、問題解決的基礎。再比如，要重視基礎運算能力的培養(yǎng)：學生要能夠根據法則和運算律正確進行運算，并且理解運算的意義和原理，要能夠根據具體情況選擇合理簡潔的運算方法，這都是問題解決能力的基礎。教師要加強自身學習，注重理念提升，重視學生四基四能的落實，重視對學生核心素養(yǎng)的培育。

2. 用積極的教學方式引導學習

學生為什么不會聯(lián)想、不敢關聯(lián)？教學方式是影響問題解決能力培養(yǎng)的重要因素。教師要主動嘗試和探索更為合理有效的教學方式，研究課標、研究教材、研究學生，以學生的素養(yǎng)提升為立意，在單元整體視角下看問題，教會學生思考的方式，教會學生基本的研究方法，幫助學生積累研究經驗，自覺地將教學內容與學生的發(fā)展聯(lián)系，讓學生學得主動、積極，使教學內容實現(xiàn)其本應有的價值。教師需要揭示知識中蘊含的思想方法，在教學過程中進行滲透，培養(yǎng)學生思維方式和邏輯思維能力，使其能在解決各種問題（不僅是數學問題）中發(fā)揮作用。

3. 用有效的教學策略培養(yǎng)思維

本次“問題解決”能力測試情況表明，不少學生在解決問題時存在以下不足：不能有效篩選信息，不能對所提供的數學信息作有效的關系分析，缺乏正確的解題思路與解決策略，不能根據已有信息提出有價值的問題等。這些現(xiàn)象不僅存在，而且具有一定的普偏性。建議幫助學生逐步養(yǎng)成理性思維的習慣：運用問題式、整體性的知識載體，驅動運用探索、分析思考的習慣養(yǎng)成，關注怎樣教，關注一題多解，關注解法的共性；逐步養(yǎng)成感性表達的習慣；運用情景式、活動性的實踐載體，驅動運用語言、文字表達的習慣養(yǎng)成——最終達到學科核心素養(yǎng)的生成。

4. 用良好的習慣培養(yǎng)提升品質

增強學習內驅力，創(chuàng)造良好的數學學習氛圍，培養(yǎng)自主學習習慣、總結反思習慣、制定計劃的習慣等，“關注問題解決的過程，回顧問題解決的過程，總結問題解決的過程，鍛煉學生挖掘和抓住事物本質的能力，培養(yǎng)學生問題解決過程中優(yōu)化的思想，對自我思維進行監(jiān)控和調整”[7]，引發(fā)深度學習的發(fā)生，促進問題解決能力的培養(yǎng)。