相似三角形存在性問題的常見題型與解題策略

龔輝

【摘要】相似三角形的存在性問題在初三模擬測試或中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類問題的綜合性強，考查的知識點多，對學生的能力要求較高，涉及方程與函數(shù)、數(shù)形結合、分類討論等重要的數(shù)學思想方法，尤其與動點問題、二次函數(shù)相結合，在提高學生思維能力的同時兼顧了對學生運算能力的培養(yǎng).

【關鍵詞】相似三角形;存在性問題

相似三角形存在性問題在初三模擬測試或中考中常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類問題的綜合性強，考查的知識點多，對學生的能力要求較高，在中考中占有十分重要的地位.

由于這類問題通常在二次函數(shù)或動點問題、動圖問題的背景下展開，因此，題目會涉及方程與函數(shù)、數(shù)形結合、分類討論等重要的數(shù)學思想方法，對學生的思維能力、運算能力有較高的要求.

本文擬對相似三角形存在性問題的題型做一個梳理，以期幫助學生形成解題策略，形成基本的解題范式.

一、已知一組對應角相等

相似三角形存在性問題的最常見題型是：兩個目標三角形或顯然、或隱含有一組對應角相等（如公共角、對頂角、直角、平行條件下的同位角、內(nèi)錯角等）.根據(jù)兩個三角形相似的判定方法，在已知一組對應角相等的前提下，只需再判定這兩個角的夾邊對應成比例，或另外再尋找一組角對應相等，因此會出現(xiàn)如下幾種分類討論的情況.

（一）隱角相等之對應邊成比例

說明

本題無法找到隱含的對應角相等，因此首先對一對角的相等情況進行分類討論：①若∠EBC=∠CBF，則x軸為∠EBF的角平分線所在直線，可得直線EB與BF的斜率滿足kEB=-kBF，因此可得直線BF的解析式為y=-x-2.這里運用了坐標系內(nèi)處理角平分線的一種策略：直線的斜率互為相反數(shù).②若∠ECB=∠CBF，則EC∥BF，可得直線EC與BF的斜率滿足kEC=kBF，則直線BF的解析式為y=-2m（x+2）.這里運用了坐標系內(nèi)處理平行線的一種策略：直線的斜率相等.兩種情況的后續(xù)方法基本相同，用含m的代數(shù)式表示點F的坐標后，運用夾邊對應成比例列方程求解和檢驗.

對相似三角形的存在性問題進行系統(tǒng)學習的時機，一般是在初三中考之前的專題復習，目的是通過3至4課時的專題學習，對本專題所涉及的不同題型進行全面的歸納和分類，將之前所學的與本專題相關的零碎的知識和方法進行串聯(lián)，并利用思維導圖等信息技術手段，形成本專題的題型特點和解題策略的知識網(wǎng)絡，避免在應用分類討論思想時出現(xiàn)考慮不周而遺漏的情況.