數(shù)學(xué)文化在《等比數(shù)列》中的滲透性教學(xué)

金正靜

【摘要】在《上海市中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念中，充分肯定了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，特別是在“課程基本理念”中指出，數(shù)學(xué)課程要體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化，中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展的趨勢(shì)，數(shù)學(xué)科學(xué)與社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的敬業(yè)、創(chuàng)新精神等均體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.中職學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.近年來，數(shù)學(xué)文化成為中職數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的熱點(diǎn)之一，數(shù)學(xué)文化已逐步從理念走進(jìn)中職數(shù)學(xué)課堂.

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)文化;等比數(shù)列

引 言

所有的學(xué)問都是一種智慧，更是一種境界.數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分.南開大學(xué)顧沛教授在談及數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵時(shí)，從狹義和廣義兩個(gè)方面做了闡述.從狹義上說，數(shù)學(xué)文化即數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言及其形成和發(fā)展過程;從廣義上說，除了狹義的內(nèi)容外，數(shù)學(xué)文化還包括數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分及數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系.

上海市教委教研室中職數(shù)學(xué)教研員沈翔老師強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)學(xué)科中實(shí)施素質(zhì)教育需要“滲透數(shù)學(xué)文化，善用技術(shù)手段”，特別提到滲透數(shù)學(xué)文化和善用技術(shù)手段是目前數(shù)學(xué)教學(xué)變革的兩大重要抓手，希望廣大中職數(shù)學(xué)教師在保持原有優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，加大對(duì)與課程相關(guān)的數(shù)學(xué)文化的關(guān)聯(lián)與滲透，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的技術(shù)手段以輔助教學(xué).從數(shù)學(xué)文化的高度重新認(rèn)識(shí)中職數(shù)學(xué)的育人功能并正確定位中職數(shù)學(xué)課程，倡導(dǎo)用數(shù)學(xué)文化滋養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂，樹立數(shù)學(xué)的文化形象，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化魅力，必定會(huì)對(duì)中職數(shù)學(xué)教師的教學(xué)思路、數(shù)學(xué)課程的建設(shè)和教學(xué)方法的選擇產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.

華東師范大學(xué)張奠宙教授提議，我們數(shù)學(xué)教師在對(duì)數(shù)學(xué)文化有一個(gè)大體的認(rèn)識(shí)之后，在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中圍繞課堂核心知識(shí)開展一些基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中受到一定的文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的文化品位和世俗的人情味.以下是筆者針對(duì)中職數(shù)學(xué)中“等比數(shù)列”一課就等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)和等比數(shù)列求和這一知識(shí)鏈圍繞數(shù)學(xué)文化的滲透性教學(xué)展開的一些思考和探索.

一、在數(shù)學(xué)名題中情境導(dǎo)入——等比數(shù)列的概念

知識(shí)課堂謂之器，文化課堂謂之道.數(shù)學(xué)文化博大精深，數(shù)學(xué)經(jīng)典名題大都立意深遠(yuǎn)、構(gòu)思精巧、內(nèi)涵豐富.

1.教材引入呈現(xiàn)

上海教育出版社2015年中職數(shù)學(xué)教材第六章第3節(jié)“等比數(shù)列的概念”的第一段是這樣引入的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這是中國(guó)古代戰(zhàn)國(guó)時(shí)期惠施的名言.其含意是：一尺長(zhǎng)的棍子，第一天截取一半，以后每天截取余下的一半，永遠(yuǎn)也截不盡.

2.課堂授課處理

這一段引入包含著兩個(gè)文化知識(shí)，一個(gè)是事物具有無限可分性，這是極限的思想;另一個(gè)是有限和無限的統(tǒng)一，有限之中有無限，這是辯證的思想.學(xué)生對(duì)此很感興趣，教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生：如果把每日截取后所余的長(zhǎng)度記錄下來，可以得到數(shù)列12，14，18，116，132，…，學(xué)生不難觀察得到這個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值都是12，由此引入等比數(shù)列的概念.這樣的課堂引入，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的發(fā)揮，讓學(xué)生體會(huì)到古代數(shù)學(xué)家的思想方法，體會(huì)到數(shù)學(xué)的哲學(xué)真諦和文化屬性.

這樣的數(shù)學(xué)名題還有很多，古代數(shù)學(xué)著作 《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有牛、馬、羊食苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半馬.馬主曰：‘我馬食半牛.今欲衰償之，問各出幾何？”其大意為：“今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：‘我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.馬主人說：‘我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.現(xiàn)打算按比例償還，則他們各應(yīng)償還多少？”這其實(shí)就是一個(gè)等比數(shù)列的實(shí)際模型.在中外優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中挖掘素材，通過數(shù)學(xué)經(jīng)典名題引入等比數(shù)列課題，在經(jīng)典名題營(yíng)造的數(shù)學(xué)文化氛圍中，讓中職學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思維方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神.

二、在趣味數(shù)學(xué)中強(qiáng)化新知——等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果對(duì)等比數(shù)列的文化素材挖掘止于此，那么只能停留在數(shù)學(xué)文化應(yīng)用的較低層次，即僅在數(shù)學(xué)課堂上以數(shù)學(xué)史提高學(xué)生興趣而已.只有將數(shù)學(xué)文化滲透到整個(gè)“等比數(shù)列”知識(shí)鏈的探究學(xué)習(xí)中，才能拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生全方位的認(rèn)知能力和思考能力，這才是數(shù)學(xué)文化應(yīng)用的較高層次.

畢達(dá)哥拉斯樹是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，也叫“勾股樹”.

畢達(dá)哥拉斯樹以如下方式生長(zhǎng)：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊作為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為邊向外作正方形，得到2個(gè)新的小正方形，實(shí)現(xiàn)了一次生長(zhǎng);再將這兩個(gè)小正方形各按照上述方式生長(zhǎng)，如此重復(fù)下去.設(shè)第n次生長(zhǎng)得到的新小正方形的個(gè)數(shù)為an，如下表.

學(xué)生容易觀察得到，新的小正方形個(gè)數(shù)an是上一次生長(zhǎng)的小正方形個(gè)數(shù)的2倍.根據(jù)等比數(shù)列的概念，可以判斷出{an}是首項(xiàng)a1=2，公比q=2的等比數(shù)列.教師這時(shí)可以設(shè)置問題：經(jīng)過10次生長(zhǎng)后，得到新的小正方形個(gè)數(shù)為幾個(gè)？學(xué)生利用剛學(xué)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn-1（n≥2，n∈Z），很容易得到當(dāng)n=10時(shí)，a10=1024.

看著視頻中密密麻麻不斷冒出的小正方形，同學(xué)們不禁感嘆：“公比q=2就可以使等比數(shù)列的項(xiàng)增長(zhǎng)得如此迅猛！形與數(shù)結(jié)合竟然有這么大的威力！”

有關(guān)等比數(shù)列的經(jīng)典趣味數(shù)學(xué)還有《棋盤上的麥粒》.根據(jù)歷史傳說記載，國(guó)際象棋起源于古印度，相傳國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問他想要什么，發(fā)明者說：“請(qǐng)您在棋盤的第一個(gè)格子里放1粒麥子，第二個(gè)格子里放2粒，第三個(gè)格子里放4粒，第四個(gè)格子里放8粒，以此類推，直到最后第64格放滿為止.”每個(gè)格子的麥粒數(shù){an}構(gòu)成首項(xiàng)a1=1，公比q=2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到第64個(gè)格子里的麥粒數(shù)是a64=263，這是一個(gè)天文數(shù)字.

三、在經(jīng)典藝術(shù)中繼續(xù)探究——等比中項(xiàng)的概念

古希臘著名數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾盛贊過數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是美，他曾發(fā)出這樣的感嘆：哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美的存在.的確，數(shù)學(xué)中包含著豐富的美，但是這種美是一種內(nèi)隱的美.之所以說它是內(nèi)隱的美，是因?yàn)檫@種美一般都蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容或者數(shù)學(xué)的思想方法之中，學(xué)生無法直觀感受到它.所以教師在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分挖掘教材中的美學(xué)因素，將這些美學(xué)因素充分展示給學(xué)生，加強(qiáng)以數(shù)學(xué)美育為主的非智力品質(zhì)的熏陶，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、感受和欣賞這種數(shù)學(xué)之美，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)藏的文化內(nèi)涵.

畢達(dá)哥拉斯的一句名言很有啟發(fā)性：“凡是美的東西都有共同的特性，那就是部分與部分及部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致.” 黃金分割比具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，是公認(rèn)的世上最能引起美感的比例.古往今來，黃金分割比在藝術(shù)創(chuàng)作中被大量應(yīng)用，達(dá)·芬奇的名作《蒙娜麗莎的微笑》中有著大量的黃金分割比.我們當(dāng)代人熟悉的蘋果logo也采用了黃金分割比，用數(shù)學(xué)公式和標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形來設(shè)計(jì)圖標(biāo)，能夠賦予圖標(biāo)一種神圣的美感;黃金分割比也進(jìn)入了2019年的全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷.黃金分割比在建筑中也被廣泛應(yīng)用，如古今中外都有這方面的例子，一些偉大的建筑壯舉中都可以找到黃金分割比的影子，如古希臘著名的建筑——帕特農(nóng)神廟代表著古希臘建筑和雕刻藝術(shù)的最高水準(zhǔn)，從神廟遺留下來的柱廊中，可以看出立面高與寬的比例為19∶31，接近“黃金分割比”;東方明珠電視塔是上海的標(biāo)志性文化景觀之一，它的第二個(gè)觀光臺(tái)基本上處在黃金分割點(diǎn)的位置.

在欣賞了用黃金分割比創(chuàng)作的諸多藝術(shù)和建筑作品后，教師引入黃金分割比的定義：如圖4所示，點(diǎn)C把線段AB分成兩個(gè)部分，若BCAC=ACAB，則稱這個(gè)比值為黃金分割比.

從數(shù)列角度看，BC，AC，AB正好構(gòu)成等比數(shù)列，AC稱為BC，AB的等比中項(xiàng)，至此引入等比中項(xiàng)的概念就水到渠成了.

四、在詩(shī)歌意境中深入學(xué)習(xí)——等比數(shù)列的求和公式

數(shù)學(xué)和詩(shī)歌都是人類思想的產(chǎn)物，在某些意境上相通.張奠宙先生認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是人做出來的，數(shù)學(xué)的思考過程必然會(huì)打上人文的烙印，數(shù)學(xué)意境和人文意境之間，是彼此相互借鑒的”.數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的詩(shī)歌告訴我們：歷史上數(shù)學(xué)和人文不像我們今天所看到的那樣彼此隔閡、相互獨(dú)立.在數(shù)學(xué)文化日益受到數(shù)學(xué)教育工作者們重視的今天，重新審視這些詩(shī)歌，可以帶給我們更多的感悟.

比如，我國(guó)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算法比類大全》中有一首“寶塔裝燈”詩(shī)：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增;共燈三百八十一，請(qǐng)問頂層幾盞燈？”該詩(shī)的意思是：在一座七層的寶塔中，共裝有381盞燈，從塔頂向下計(jì)數(shù)，每下面一層所裝燈盞數(shù)都是上一層的2倍，問塔頂裝有幾盞燈？若將塔的頂層燈盞數(shù)記為首項(xiàng)a1，從頂層起依次向下數(shù)，每層燈盞數(shù)構(gòu)成公比q=2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式Sn=a1（qn-1）q-1（q≠1），就可以獲得塔頂?shù)臒舯K數(shù).

再如，我國(guó)《孫子算經(jīng)》中也有記載：今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色.問：各幾何？共幾何？題目中堤、木、枝、巢、雛、毛、色的數(shù)目構(gòu)成首項(xiàng)a1=9，公比q=9的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可以回答“各幾何”的問題，利用等比數(shù)列求和公式可以回答“共幾何”的問題.古代還有這樣一首詩(shī)：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問君每日讀多少？”（注：《孟子》共34685字，“一倍多”指一倍）由此詩(shī)知該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為多少，設(shè)第一日讀的字?jǐn)?shù)為a，由“每日添增一倍多”得此數(shù)列是以a為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，可求得三日共讀的字?jǐn)?shù)為a（1-23）1-2=7a=34685，解得a=4955，則2a=9910，即該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為9910.

以上這些詩(shī)巧妙地將等比數(shù)列隱含于其中，可見詩(shī)人的數(shù)學(xué)知識(shí)是何等淵博.在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中將這些數(shù)學(xué)詩(shī)歌恰當(dāng)?shù)赜袡C(jī)融入課堂，可以讓學(xué)生在充分感受詩(shī)歌中的數(shù)學(xué)美，感悟數(shù)學(xué)文化，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)記憶，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)習(xí)內(nèi)容的趣味性.

五、在現(xiàn)實(shí)熱點(diǎn)中鞏固升華——等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

拐點(diǎn)是數(shù)學(xué)名詞，在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn).早在2020年2月初，鐘南山院士就曾預(yù)測(cè)，拐點(diǎn)將出現(xiàn)在2月中旬或下旬，后面的事實(shí)證明，拐點(diǎn)如期而至.鐘南山院士團(tuán)隊(duì)是通過什么進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的呢？那必定是高度擬合的數(shù)學(xué)模型，用等比數(shù)列模型進(jìn)行大致模擬.

如果把每個(gè)感染病毒的患者平均傳染的人數(shù)設(shè)為q（每個(gè)病人的傳染力，相當(dāng)于傳染系數(shù)），每日新增確診數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則{an}可以近似看成以q為公比的等比數(shù)列.若首項(xiàng)（第一天確診數(shù)）a1=1，公比q=2，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知，每日新增確診數(shù)an=a1qn-1=2n-1，每日新增確診病例呈指數(shù)級(jí)增加，由等比數(shù)列求和公式，累計(jì)確診數(shù)Sn=a1（1-qn）1-q=2n-1.

若每日新增確診病例增到20000例時(shí)，通過醫(yī)護(hù)人員的努力和全國(guó)人民的居家隔離，每個(gè)病人的傳染力q降為0.5，每日新增確診數(shù)an=a1qn-1=20000×12n-1，則每日新增確診病例漸漸減少并最終趨于零.在累計(jì)確診病例總數(shù)達(dá)到50000例之后，累計(jì)確診數(shù)為Sn=50000+a1（1-qn）1-q=50000+400001-12n，累計(jì)確診病例總數(shù)將最終趨于50000.

實(shí)際上，由于受各種因素影響，每個(gè)病人的傳染力q一直處于連續(xù)動(dòng)態(tài)的變化中.q每減少的一點(diǎn)，背后都是國(guó)家和抗疫前線醫(yī)護(hù)人員的巨大付出，而拐點(diǎn)，就是q=1的那天.

結(jié) 語

數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容有兩條主線，一條是知識(shí)主線，另一條是文化主線.知識(shí)主線是顯性的，文化主線是隱性的，散落于知識(shí)的各個(gè)部分，隱藏于數(shù)學(xué)知識(shí)的背后，需要我們教師不斷去發(fā)現(xiàn)、挖掘、體會(huì)，從知識(shí)中將其提煉出來.知識(shí)需要銜接，文化需要傳承，以題論題的教學(xué)方式在很大程度上只會(huì)增加中職學(xué)生的挫敗感.以知識(shí)為載體，讓文化滲透其中的中職數(shù)學(xué)課堂，可以讓中職學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值的同時(shí)，感悟到數(shù)學(xué)的思想、方法、精神及數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)科學(xué)與社會(huì)發(fā)展之間的相互作用，并能夠自覺或不自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)更具感染力.

由于數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的豐富性，所有符合數(shù)學(xué)文化理念的案例一般都具有多元化的視角.秉承“文化關(guān)聯(lián)”的原則，在保留核心數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，中職數(shù)學(xué)教師有責(zé)任向?qū)W生展示數(shù)學(xué)文化的各個(gè)側(cè)面，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文關(guān)懷，讓學(xué)生在社會(huì)文化的大背景下去看待和理解數(shù)學(xué)，讓他們領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)會(huì)敬業(yè)和求真.

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