手表小模數(shù)齒輪滾刀的設(shè)計(jì)

張瑩

[摘 ? ?要]用于計(jì)時(shí)儀器及某些精密儀表機(jī)構(gòu)中的傳動(dòng)齒輪的齒形，又稱儀表圓弧齒形、修正擺線齒形。在計(jì)時(shí)儀器中，采用鐘表齒形已有很長歷史?，F(xiàn)代鐘表齒形是由擺線齒形演變而來的。內(nèi)擺線是一滾圓沿另一圓的圓周內(nèi)面作純滾動(dòng)時(shí)，滾圓圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。滾圓叫做擺線的生成圓，而另一圓叫做擺線的母圓。在擺線嚙合中，母圓就是齒輪的分度圓。為了便于制造和改善傳動(dòng)性能，對(duì)理論擺線齒形做了一定的修正。最初是用近似理論擺線的圓弧，代替鐘表中的輪片和齠輪齒頂部分的外擺線齒形。

[關(guān)鍵詞]模數(shù);擺線;齒廓;滾動(dòng)

[中圖分類號(hào)]TH132.41 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A [文章編號(hào)]2095–6487（2021）03–00–03

[Abstract]It is used for the tooth profile of transmission gears in timing instruments and some precision instruments. It is also called instrument arc tooth profile and modified cycloid tooth profile. It has a long history to use the tooth shape of clocks and watches in timing instruments. The tooth shape of modern clocks and watches is evolved from cycloid tooth shape. Hypocycloid is the motion track of a point on the circle of a rolling circle when a rolling circle rolls along the inner surface of the circle of another circle. A rolling circle is called the generating circle of a cycloid， and another circle is called the parent circle of a cycloid. In cycloid meshing， the mother circle is the indexing circle of the gear. In order to manufacture and improve the transmission performance， the theoretical cycloid profile has been modified. At first， the epicycloid tooth profile of the top part of the wheel and pinion in clocks and watches was replaced by the arc of the approximate theoretical cycloid.

[Keywords]modulus; cycloid; tooth profile; rolling

手表的齒輪傳動(dòng)系，特別是主傳動(dòng)系，廣泛采用一種所謂的圓弧齒形。這種齒形是接線齒形演變而來的，因純擺線齒形加工很難，故用圓弧來代替擺線，也叫修正擺線齒形，能使齒軸的最少齒數(shù)為6，從而在輪片齒數(shù)不太多的條件下取得大的傳動(dòng)比，這對(duì)減小機(jī)芯直徑、對(duì)高頻手表極為有利，傳動(dòng)效率高。由于齒形由相嚙合的一對(duì)齒輪和模數(shù)所決定，因此齒數(shù)和模數(shù)不同，所使用的滾刀和銑刀也不同。修正擺線的齒輪特點(diǎn)是：齒輪的齒頂部分采用近似擺線的圓弧，齒腰部分則是與齒頂圓弧和齒根圓弧圓滑連接的徑向線。

滾刀齒形設(shè)計(jì)的基本原理。根據(jù)嚙合理論，兩個(gè)嚙合齒形的工作部分，在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須互相迂回。假定把齒輪當(dāng)作一個(gè)基圓滾動(dòng)，而且不在另一齒輪的節(jié)圓上滑動(dòng)，那么齒輪齒面的各個(gè)相繼位置便會(huì)在與另一齒輪相連的固定單面上形成一組平緩曲線。這組曲線的包絡(luò)線也就是所求的齒輪的嚙合面。因?yàn)椋孩侔j(luò)線上的每一點(diǎn)也就是曲線組中的某一根曲線上的一點(diǎn);②包絡(luò)線上每一點(diǎn)也就是曲線組中兩相鄰曲線在無限接近時(shí)相切的極限位置。

當(dāng)滾刀滾動(dòng)時(shí)，其齒面在一個(gè)與滾切齒輪相連的固定平面內(nèi)形成一組平緩曲線。這組曲線的包絡(luò)線就是齒輪的嚙合面，或者就是所滾切的齒輪齒形。相反的，齒輪齒形的一組曲線的包絡(luò)線，即是滾刀的齒形。因此，要確定滾刀的齒形，首先應(yīng)該找到所滾切齒輪齒形沿齒條節(jié)圓滾動(dòng)而不發(fā)生齒輪節(jié)圓上的滑動(dòng)時(shí)所作出的曲線上的包絡(luò)線。事實(shí)上齒輪滾刀的設(shè)計(jì)，首先就是滾刀齒廓的設(shè)計(jì)。

如上所述，滾刀設(shè)計(jì)的基本原理是假定被滾切的輪片在節(jié)圓附近有一個(gè)假想的滾動(dòng)圓（或節(jié)圓）沿著一根直線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，在這個(gè)滾動(dòng)過程中，輪片在每一瞬時(shí)對(duì)滾動(dòng)直線所在平面上的投影，形成了一組原始的包絡(luò)線滾刀齒形，這組曲線就是被輪片投影而成的包絡(luò)線，把這組包絡(luò)線經(jīng)過適當(dāng)?shù)男拚?，即成為所要求的滾刀齒形。

小模數(shù)齒輪滾刀齒形設(shè)計(jì)的圖解計(jì)算法。圖解計(jì)算法是在生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用較廣泛的一種設(shè)計(jì)方法，也是一種最直觀的設(shè)計(jì)方法，滾刀齒形的形成過程清楚，在設(shè)計(jì)過程中容易發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)上的差錯(cuò)。齒形滾動(dòng)的軌跡采用坐標(biāo)計(jì)算，但滾刀包絡(luò)線的圖形采用圖解法。

1 設(shè)計(jì)滾刀的原始參數(shù)的換算與驗(yàn)算

1.1 設(shè)計(jì)滾刀原始參數(shù)的換算

齒輪是產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)產(chǎn)品性能的需要設(shè)計(jì)的，因此在設(shè)計(jì)滾刀齒形時(shí)，必須滿足齒輪的設(shè)計(jì)條件，同時(shí)要求已知輪片的如下參數(shù)：

Re齒頂圓半徑;

R節(jié)圓半徑;

Rc中心園半徑;

Sn最大齒厚;

Ri齒根圓半徑;

ρ齒頂圓弧半徑;

ρ1齒根圓弧半徑;

Z齒數(shù);

m模數(shù)。

輪片的齒形尺寸多數(shù)都用直徑或半徑表示，設(shè)計(jì)滾刀時(shí)，必須把這些尺寸換算成為直角坐標(biāo)尺寸。

根據(jù)圖1求出下列公式：角節(jié)距。

1.2 設(shè)計(jì)滾刀原始參數(shù)的驗(yàn)算

為了準(zhǔn)確地反映原始齒形設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，防止有誤，必須將換算后的A、B、H的數(shù)據(jù)經(jīng)過驗(yàn)算，如果這些數(shù)據(jù)出了差錯(cuò)，以后的設(shè)計(jì)將要全部返工。驗(yàn)算方法如下所述：

由式（4）可見，如果公式兩面恒等，說明A、B、H三個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算沒有錯(cuò)誤，等式兩面的精確度最好相等至小數(shù)點(diǎn)第六位。

2 確定滾動(dòng)圓半徑

正確的選擇滾動(dòng)半徑，將有利于滾刀的切削性能，所以齒輪的滾動(dòng)半徑R0一般取在節(jié)圓半徑R以下，使?jié)L刀的齒根圓弧等于齒輪的齒頂圓弧，以保證齒形精度，并便于滾刀齒根圓弧半徑尺寸及其中心坐標(biāo)的計(jì)算，這是圖解計(jì)算法設(shè)計(jì)滾刀的一個(gè)特點(diǎn)。因此當(dāng)節(jié)圓半徑R大于中心園半徑Rc時(shí)（輪片），滾動(dòng)圓半徑R0取在節(jié)圓R與中心圓半徑Rc之間。

當(dāng)節(jié)圓半徑R等于中心圓半徑Rc時(shí)（齒軸），滾動(dòng)圓半徑R0一般取在節(jié)圓R以下0.003～0.006 mm。

為了滿足圖解計(jì)算法設(shè)計(jì)滾刀的特點(diǎn)，使?jié)L刀齒根圓弧半徑等于齒輪齒根圓弧半徑，以得到精度較高的齒頂曲線，由于這個(gè)原因滾動(dòng)圓必須認(rèn)真選取，才能滿足這個(gè)要求。為此，必須將按上述原則選取的滾動(dòng)圓半徑R0的具體參數(shù)進(jìn)行作圖檢驗(yàn)。檢驗(yàn)方法如圖2所示，齒輪沿滾動(dòng)線X軸滾動(dòng)了一個(gè)β角，則齒輪的齒頂圓弧中心點(diǎn)P1移動(dòng)到的位置，新的齒形位置則如虛線所示，這時(shí)虛線齒形和實(shí)線齒形必須與X軸共同相交和重合于P3、P4兩點(diǎn)，這個(gè)要求滿足了，滾動(dòng)圓半徑R0就算選對(duì)了。齒形按滾動(dòng)圓沿X軸滾動(dòng)是用坐標(biāo)法表示的。在齒形上選定M、N兩個(gè)點(diǎn)，M點(diǎn)選在齒頂，N點(diǎn)選離M點(diǎn)距離等于一個(gè)齒高的Y軸線上。

3 計(jì)算齒輪最大嚙合半角

鐘表齒輪的齒形是一種擺線嚙合齒形做了一些修正，而其內(nèi)擺線一般均為徑向線，所以齒輪對(duì)滾刀的最大嚙合半角也就是運(yùn)用了這個(gè)概念進(jìn)行計(jì)算。

由于齒輪齒形的齒根由徑向直線的內(nèi)擺線所組成，所以齒輪和滾刀的嚙合點(diǎn)軌跡必定在圓弧線CPE上面，最大嚙合半角等于。

4 計(jì)算滾動(dòng)坐標(biāo)點(diǎn)

在計(jì)算機(jī)CAD軟件界面，定出坐標(biāo)系XO2Y，在齒輪齒形上定出兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)M、N，使齒輪的滾動(dòng)圓沿基齒條節(jié)線做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，至各個(gè)位置時(shí)標(biāo)出M、N點(diǎn)坐標(biāo)。計(jì)算滾動(dòng)坐標(biāo)點(diǎn)的目的在于求得滾刀齒形齒頂?shù)陌j(luò)線，所以滾動(dòng)坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算至嚙合半角以外1°～3°就夠了，計(jì)算時(shí)以1°或2°作一個(gè)等分均可，視其所設(shè)計(jì)滾刀的精度而定，從開始至τ+1°～τ+3°止。

5 求滾刀齒頂包絡(luò)曲線

首先將所換算的齒輪參數(shù)如齒根圓弧中心距A，齒頂圓弧中心距B，齒輪的齒根、齒頂圓弧半徑圓心垂直距離H和齒輪齒頂圓弧半徑ρ及齒根圓弧半徑ρ1，如圖3所示，繪制在計(jì)算機(jī)上，是齒輪齒形。

然后，使用計(jì)算機(jī)CAD軟件將齒形制作成塊模式，按照已分配好的角度1°或2°旋轉(zhuǎn)齒形至τ+1°～τ+3°。這樣，好像齒輪以假想的滾動(dòng)圓沿滾刀節(jié)線滾動(dòng)一樣，結(jié)果得出了齒形各連續(xù)位置的公共包絡(luò)線。即確定了滾刀刀齒的齒形曲線。

就是滾刀齒根曲線，曲線的中心坐標(biāo)采用計(jì)算方法二獲得。是滾刀齒頂包絡(luò)曲線，這個(gè)曲線尚需做一些修正。

修正主要是為了考慮齒輪的齒根公差，修正后曲線代替了曲線。

修正的方法如圖3所示：作一條直線平行于MN線，使的距離等于，等于的齒根公差，在的直線上找一個(gè)適當(dāng)?shù)闹行狞c(diǎn)，作一個(gè)圓弧與二個(gè)點(diǎn)相交，即是最后所求得的滾刀齒形。

6 求滾刀包絡(luò)線尺寸

用圖解法將滾刀包絡(luò)線作出以后，在滾刀的包絡(luò)線上取相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)（包絡(luò)線上的點(diǎn)選取多少為適宜，要根據(jù)滾刀包絡(luò)線的情況以及齒輪的精度要求等因素來決定），依據(jù)各相應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算出包絡(luò)線上的圓弧中心坐標(biāo)及圓弧半徑。

計(jì)算完畢將所求的數(shù)值作圖進(jìn)行驗(yàn)證，如若作圖線段連接圓滑，則計(jì)算正確，反之，計(jì)算有誤。

7 結(jié)論

（1）鐘表滾刀齒形復(fù)雜，不能用一段圓弧代替，必須用兩段以上圓弧代替滾刀的理論齒形。為減小代替誤差，這幾段代替曲線還必須圓滑相切。

（2）滾刀齒根部分齒廓，位于滾動(dòng)節(jié)圓兩側(cè)。滾動(dòng)圓以下部分齒廓，曲率均勻，近似工件的齒頂圓弧;滾動(dòng)圓以上部分齒廓的曲率與滾動(dòng)圓以下部分齒廓的曲率差別較大，近似于齒腰部分。

（3）滾刀齒腰部分齒廓與被加工齒輪的齒數(shù)有關(guān)，加工齒輪齒數(shù)較多的滾刀，齒腰部分齒廓的曲率很小，用直線代替更為適宜。加工齒輪齒數(shù)較少的滾刀，齒腰部分齒廓的曲率較大，而且在齒腰全部齒廓范圍內(nèi)曲率的變化較大，需用兩段圓弧代替齒腰這一段理論齒形，才能使誤差控制在允許的范圍內(nèi)。

（4）代用圓弧與代用圓弧或代用圓弧與代用直線的相切點(diǎn)，直接影響誤差的大小。這個(gè)切點(diǎn)的最佳位置因每種滾刀齒形的不同而異，齒根代用圓弧與齒腰代用曲線的最佳切點(diǎn)大多在滾動(dòng)節(jié)圓附近。

經(jīng)分析和大量計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)加工齒輪的齒數(shù)大于60時(shí)，滾刀的齒根與齒腰這兩部分理論齒形，可用一段圓弧和與其平滑相切的直線來代替，切點(diǎn)應(yīng)選擇在最佳位置，此時(shí)代替齒形誤差極小。如果被加工齒輪的齒數(shù)小于20時(shí)，需用三段圓弧來代替這兩部分理論齒廓，滾刀代替齒形誤差亦能控制在允許的范圍之內(nèi)。被加工齒輪的齒數(shù)在兩者之間，則可用兩段圓弧代替滾刀的理論齒廓。

對(duì)于除擒縱輪滾刀外的非標(biāo)準(zhǔn)鐘表齒輪（如棘輪），運(yùn)用此方法同樣可做出相對(duì)應(yīng)的滾刀。

參考文獻(xiàn)

[1] 龔振起.精密儀器制造刀具[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1987.

[2] 宋增平.刀具制造工藝[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1987.

[3] 張友仁.機(jī)械手表制造工藝學(xué)[M].北京：輕工業(yè)出版社，1984.