重視概念建構(gòu) 指向數(shù)學(xué)抽象
——“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計與思考

丁宗國 (江蘇省蘇州實驗中學(xué) 215011)

1 引言

數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分[1].數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得過程中.數(shù)學(xué)概念以高度概括的形式呈現(xiàn)、用抽象的語言表達(dá)，其形成過程一般是從直觀的背景、具體的材料中抽離出數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征，再對抽象概括出的對象給予一般的意義和數(shù)學(xué)符號的表示，最后根據(jù)意義和符號得出結(jié)論形成概念.正確理解抽象內(nèi)容、合理設(shè)計建構(gòu)過程是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念的意義建構(gòu)的前提，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的關(guān)鍵.

單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有十分重要的地位.但“函數(shù)單調(diào)性”的教學(xué)出現(xiàn)了一些不自然、不合理的問題：

①缺乏單調(diào)性概念的形成過程，平鋪直敘地教給學(xué)生單調(diào)性的符號表示；

②單調(diào)性概念建構(gòu)中圖形語言、自然語言、符號語言之間轉(zhuǎn)換不自然；

③概念的建構(gòu)完全依賴于圖形的感觀認(rèn)識，沒有真正達(dá)到理性認(rèn)識；

④單調(diào)性概念建構(gòu)的整個過程散亂，沒有體現(xiàn)本知識在單元中的地位.

上述問題的出現(xiàn)，都是由于不能正確理解概念的教學(xué)定位，沒有實現(xiàn)建構(gòu)過程中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育目標(biāo)，使概念的教學(xué)停留于陳述性知識、程序性知識的層面，而本應(yīng)有的解決問題的策略、數(shù)學(xué)推理的策略以及自己或他人數(shù)學(xué)思維過程的反思等策略性知識被丟失，這與單元整體性教學(xué)的理念不符合.

2 學(xué)生概念建構(gòu)中的障礙分析

2.1 建構(gòu)的思維落差較大

一般而言，函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)過程包括兩個階段：第一階段是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的具象意義，以圖形語言和自然語言為主要的表征方式；第二階段是通過探究將具象意義的語言用符號語言進(jìn)行抽象的表征.兩個階段對學(xué)生的思維要求完全不同．第一階段完全可通過對具體函數(shù)圖象的觀察得到變化趨勢的直觀感知，思維要求較低．第二階段難在用符號語言來形式化表述單調(diào)性時，如何最大限度引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“自己的句子”.這其中又有兩大思維難點：其一是“x增大”和“f(x)增大”中的“增大”如何用符號語言進(jìn)行表示；其二是對于“函數(shù)f(x)隨著x的增大而增大”，如何用符號語言表示“隨著”.

2.2 認(rèn)知的活動經(jīng)驗缺乏

學(xué)生進(jìn)行活動的經(jīng)驗不足是建構(gòu)困難的又一原因.在初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，學(xué)生習(xí)慣于用符號語言表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，卻較少運用符號語言表示動態(tài)的數(shù)學(xué)對象.函數(shù)單調(diào)性的形式化定義恰恰就是用抽象的符號語言來表達(dá)動態(tài)的數(shù)學(xué)對象，這對剛剛進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言顯得很不適應(yīng)，表現(xiàn)出認(rèn)知力不夠.

2.3 語言轉(zhuǎn)換的動機(jī)不足

建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的過程實際上經(jīng)歷了三種語言的轉(zhuǎn)換歷程：先通過觀察獲得圖形語言，后將圖形語言轉(zhuǎn)換為自然語言，再將自然語言用符號語言表示，進(jìn)而運用規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆栒Z言來判斷或證明函數(shù)單調(diào)性.該過程構(gòu)成了概念建構(gòu)體系時的語言轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，這個轉(zhuǎn)換系統(tǒng)可能會讓學(xué)生存有困惑，因為在初中學(xué)習(xí)函數(shù)均是由給定函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，再運用函數(shù)圖象研究問題，將函數(shù)圖象的功能上升到一個較高的地位，為何還要用符號語言來表示函數(shù)單調(diào)性？這樣的困惑不解決，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生“多此一舉”的疑問.因此，概念建構(gòu)過程中要讓學(xué)生意識到用符號語言表征的必要性[3].

2.4 學(xué)習(xí)的邏輯要求加大

小學(xué)和初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往運用合情推理(歸納與類比)的方法，對邏輯推理的要求相對偏低.進(jìn)入高中后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更重視邏輯的嚴(yán)密性，更講究過程的條理性，對學(xué)生理性思維的要求明顯增加.函數(shù)單調(diào)性概念的形式化表示是學(xué)生進(jìn)入高中后遇到的第一個邏輯要求較強(qiáng)的內(nèi)容，盡管學(xué)生可以利用前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等基本函數(shù)來理解函數(shù)單調(diào)性的形式化，但要完全理解“任意x1

3 教學(xué)設(shè)計

3.1 情境創(chuàng)設(shè)，導(dǎo)入新知

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.研究變化中的不變性和規(guī)律性很有價值.因此，在研究函數(shù)的時候要抓住函數(shù)中保持不變的性質(zhì).

情境1 給出我國2020年1月19日至9月22日疫情確診人數(shù)的變化圖.

問題1.1觀察全國新冠肺炎疫情圖(圖1)，這兩張圖的變化趨勢是怎樣的？

圖1

從1月19日至2月28日，我國現(xiàn)存確診人數(shù)在不斷上升，從2月28日至9月22日左右我國現(xiàn)存確診人數(shù)在下降，之后保持穩(wěn)定；而全國累計確診人數(shù)一直在增加，從1月19日至2月28日增長幅度比較大，從2月28日至9月22日左右增長比較緩慢.

問題1.2請進(jìn)一步觀察，全國累計確診人數(shù)在5月到7月變化量很小，近乎一條直線，從圖象上能看出這段時間人數(shù)是上升的趨勢嗎？

圖象雖然直觀，但有時并不能清楚地反映變化的趨勢，由此指出用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號語言來表示函數(shù)單調(diào)性的必要性.

設(shè)計意圖借助時政，通過全國疫情確診人數(shù)變化圖讓學(xué)生感受確診人數(shù)的上升、下降，了解我國抗擊疫情的成效，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，為用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界提供準(zhǔn)備.同時，情境中“近乎一條直線”的設(shè)計是為了讓學(xué)生意識到用符號語言刻畫函數(shù)單調(diào)性是必要之舉.

情境2 請繪制初中所學(xué)習(xí)過的一些基本函數(shù)的圖象.

圖2

問題2.1你能描述這4個函數(shù)的變化趨勢嗎？

第1張圖和第3張圖是下降趨勢，第2張圖和第4張圖是上升趨勢.

問題2.2初中是如何描述上升、下降趨勢的呢？

“上升”是“y隨x的增大而增大”，“下降”是“y隨x的增大而減小”.

問題2.3第2張和第4張圖是在R上y隨x的增大而增大或減小嗎？

不是，在(0，+∞)上.

設(shè)計意圖以學(xué)生已學(xué)函數(shù)作為載體，這是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)，對照繪制的函數(shù)圖象，讓學(xué)生直觀感知單調(diào)性的描述性定義，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概念的符號化建構(gòu)，與學(xué)生的認(rèn)知起點銜接，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3.2 聚焦建構(gòu)，形成概念

問題3如何用符號語言來描述“y隨x的增大而增大”呢？

問題3.1如何用符號語言表示“增大”？

“增大”意味著需要兩個量比較(前面已學(xué)習(xí)了不等式表示實數(shù)大小)，“增大”表現(xiàn)的是一直的變化狀態(tài)，這顯然不可以用具體數(shù)值來刻畫“一直”，可引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)習(xí)過用字母表示數(shù)，由于字母具有一般性，逐步引出用字母和不等式來進(jìn)行表達(dá)，即“x1

問題3.2如何將“隨”符號化？

當(dāng)x1

問題3.3如何將“任意”符號化？

前面已經(jīng)學(xué)習(xí)過全稱量詞命題，以及函數(shù)概念的語言表示，可建構(gòu)出：對任意x1，x2，當(dāng)x1

問題3.4如何理解區(qū)間D?I?

結(jié)合問題2.3可知單調(diào)性概念是函數(shù)的局部性質(zhì)，它與區(qū)間D密不可分，要讓學(xué)生建立起單調(diào)性與區(qū)間D“永不分離”的認(rèn)知習(xí)慣.

結(jié)合問題3.1～3.4的抽象過程，正式給出單調(diào)遞增函數(shù)的定義：

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果任意x1，x2∈D，當(dāng)x1

問題3.5如何定義單調(diào)遞減函數(shù)呢？

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果任意x1，x2∈D，當(dāng)x1f(x2)，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)，區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

可以用圖3來體現(xiàn)整個過程中的語言轉(zhuǎn)換：

圖3

設(shè)計意圖通過聚焦研究幫助學(xué)生逐步勾勒出函數(shù)單調(diào)性的符號語言，讓學(xué)生充分參與到概念的建構(gòu)過程中，切身體驗數(shù)學(xué)概念如何從直觀到抽象、從文字到符號、從粗疏到嚴(yán)密的過程，讓他們充分感悟到數(shù)學(xué)概念符號化的建構(gòu)原則.通過逐層分解、逐步抽象的微觀建構(gòu)，真正提升學(xué)生在建構(gòu)中的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

3.3 多元表征，加深理解

活動1 辨析正誤，初步理解

例1判斷下列語句的正誤.

(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)

(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)

(3)定義在R上的函數(shù)f(x)是增函數(shù)，則一定滿足f(1)

活動2 構(gòu)造反例，加深理解

引導(dǎo)學(xué)生從圖象(形)和取值(數(shù))兩方面進(jìn)行辨析，如-1<1，f(-1)

設(shè)計意圖在完成概念的意義建構(gòu)和形式化定義后，對概念意義的反思辨析是概念意義進(jìn)一步分化和貫通的必要環(huán)節(jié)，是繼續(xù)同化意義的過程.辨析正誤和構(gòu)造反例以突出單調(diào)性概念的本質(zhì)理解，讓學(xué)生在已有抽象成果中學(xué)會解構(gòu)性理解，使學(xué)生從感性認(rèn)識向理性認(rèn)識過渡，促進(jìn)學(xué)生對知識本質(zhì)的理解與內(nèi)化.

活動3 定義證明，深化理解

給學(xué)生示范運用單調(diào)性定義規(guī)范表達(dá)、證明單調(diào)性的完整過程，并概括出證明的一般步驟：取值—作差—變形—判號—定論.

設(shè)計意圖單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)時運用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行形式化推理的重要論證內(nèi)容，對學(xué)生推理論證要求比較高．通過例題示范，讓學(xué)生掌握證明函數(shù)單調(diào)性的基本程序，形成基本的表達(dá)規(guī)范，提升邏輯推理的素養(yǎng).

3.4 歸納小結(jié)，形成經(jīng)驗

問題4.1本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程是怎樣的？

生活實際中的例子—已學(xué)函數(shù)的變化趨勢—函數(shù)單調(diào)性的三種語言—函數(shù)單調(diào)性的定義—定義的應(yīng)用

問題4.2如何對函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行定義？

直觀感知圖象—形成自然語言—抽象出符號語言

設(shè)計意圖通過小結(jié)學(xué)習(xí)歷程和定義過程，積累基本活動經(jīng)驗，這些經(jīng)驗為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)其他性質(zhì)提供認(rèn)知準(zhǔn)備與思維范式，體現(xiàn)單元教學(xué)的整體性.

4 幾點思考

4.1 立足單元教學(xué)，做到概念間的整體建構(gòu)

為了達(dá)到整體把握抽象概念的目的，教學(xué)中教師應(yīng)從單元教學(xué)的目標(biāo)出發(fā)，統(tǒng)攬全局，將教學(xué)活動的每一步、每一個環(huán)節(jié)放到整個單元中考量，從更高的角度來審視和分析教材，突出教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容的整體性，體現(xiàn)教學(xué)過程和方法的一致性，使得單元知識的教學(xué)是統(tǒng)一的生成系統(tǒng).若用“函數(shù)單調(diào)性”孤立地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，容易導(dǎo)致概念的建構(gòu)方式、所經(jīng)歷的思維過程、獲得的活動經(jīng)驗不一致，其后果是認(rèn)知的邏輯連貫性較差，獲得的知識結(jié)構(gòu)也不穩(wěn)定.通過問題4.1引領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課的認(rèn)知過程，讓他們在后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)(函數(shù)的奇偶性、周期性等)時進(jìn)行概念建構(gòu)的同構(gòu)活動，讓他們不斷感受到符號語言表征的一致性、語言轉(zhuǎn)換的邏輯一致性、思想方法和數(shù)學(xué)觀念上的一致性，實現(xiàn)前后知識的邏輯連貫性，確保學(xué)生建構(gòu)的整體性和連貫性.

4.2 理解知識本質(zhì)，真正實施數(shù)學(xué)抽象的過程

對教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)要有正確的理解，才能理解數(shù)學(xué)內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)而才能有效引導(dǎo)學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教師應(yīng)加強(qiáng)對教學(xué)文本的解讀能力，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)知識，真正領(lǐng)悟教材編寫意圖，設(shè)計合理的探究活動來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．學(xué)生的抽象經(jīng)驗需要在探究活動中積累，抽象能力需要在探究活動中發(fā)展，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)需要在數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗的積淀和升華中培育.將探究活動與數(shù)學(xué)抽象過程的程序方式相對應(yīng)，由淺入深設(shè)計有關(guān)探究活動，逐步實現(xiàn)從具體到抽象的過程，讓學(xué)生體驗并熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，不斷在活動中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.3 重視同化過程，實現(xiàn)概念的意義建構(gòu)

涂榮豹[4]指出：概念的意義建構(gòu)并不是在一節(jié)課中、一次活動中就能夠完成，它必須經(jīng)過不斷地運用，多次地反思，反復(fù)地辨析，而且有時還需對概念進(jìn)行必要的解構(gòu)和重構(gòu)，才能對知識本質(zhì)的理解逐漸清晰和深刻.這里要著重指出的是，概念的同化過程不是在概念生成初始階段的一節(jié)課中就能全部達(dá)成的，尤其是“意義的綜合貫通”，更不是在一兩次課堂教學(xué)中所能完成，更多的是需要個人的體驗與感悟.因此，需要在后續(xù)教學(xué)和解題感悟中，繼續(xù)概念意義的同化過程，并通過個人的反思才能真正達(dá)到概念的“對象”與“過程”的平衡共存，真正實現(xiàn)概念的意義建構(gòu).