加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性和有序性的思考
——基于章建躍先生對(duì)《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》一節(jié)的教材分析

高 煉 (天津師范大學(xué)教育學(xué)部 300387)

章建躍先生是人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室主任，主要負(fù)責(zé)組織編寫中學(xué)數(shù)學(xué)教材．他曾在中學(xué)從教十余年，在擔(dān)任教研員、編審期間也經(jīng)常深入中學(xué)課堂，與一線教師交流教學(xué)，積累了豐富的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在各類期刊雜志上發(fā)表了二百余篇關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的高水平文章．[1]在2019年“國(guó)培”計(jì)劃——培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)高級(jí)研修項(xiàng)目天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)班上，章建躍先生通過(guò)講解深化教改要求的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，深度解讀了高中數(shù)學(xué)教材中《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》一節(jié)的內(nèi)容，使人由此體會(huì)到數(shù)學(xué)教材內(nèi)容隱含的育人價(jià)值，并認(rèn)識(shí)到加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性和有序性對(duì)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重要意義．

2019年人教A版高一年級(jí)上冊(cè)將不等式的性質(zhì)分三個(gè)步驟引出．首先，提出兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是研究不等式性質(zhì)的前提條件；其次，使用“思考”欄目引導(dǎo)學(xué)生歸納整理等式的基本性質(zhì)；最后，使用“探究”欄目引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等式的基本性質(zhì)，類比猜想不等式的性質(zhì)并進(jìn)行證明．通過(guò)章先生對(duì)教材的分析，教材編寫組對(duì)這部分內(nèi)容作了精心的設(shè)計(jì)，使之具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膬?nèi)在邏輯性，體現(xiàn)知識(shí)的啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性和有序性．但在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，大部分教師并沒(méi)有真正體會(huì)到教材編寫者的意圖，這導(dǎo)致教學(xué)不深刻、不靈動(dòng)、不有序．?dāng)?shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力具有不可替代性的作用．然而這一切都需要教師首先深刻領(lǐng)悟教材內(nèi)容，然后進(jìn)行有效教學(xué)，逐步促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展．

目前，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的研究較多．如曹廣福針對(duì)如何結(jié)合地方高校生源的特點(diǎn)以及地方經(jīng)濟(jì)建設(shè)對(duì)不同層次人才的要求，探索了分析類數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容及體系的改革與實(shí)踐[2]；徐章韜從算法化的視角對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作深入的知識(shí)分析[3]；汪麗香基于知識(shí)連續(xù)性、知識(shí)學(xué)習(xí)規(guī)律、知識(shí)概念內(nèi)化、知識(shí)核心素養(yǎng)的內(nèi)容重組四方面談教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整[4]．但是，已有文獻(xiàn)大多是從整體上談教學(xué)內(nèi)容的改革，或基于某視角談教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整，鮮有從內(nèi)容本身出發(fā)，研究教學(xué)內(nèi)容的啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性和有序性．加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性和有序性，有利于教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)，關(guān)系見(jiàn)圖1．結(jié)合章建躍先生對(duì)《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》一節(jié)教材內(nèi)容的分析，對(duì)加強(qiáng)內(nèi)容“三性”的意義進(jìn)行初步探索．

圖1

1 加強(qiáng)內(nèi)容的啟發(fā)性，引導(dǎo)師生對(duì)內(nèi)容本質(zhì)的理解

張奠宙先生認(rèn)為，“教什么永遠(yuǎn)比怎樣教更重要．”“教什么”的明晰度決定了“怎樣教”的效度．[5]毋庸置疑，數(shù)學(xué)教材作為數(shù)學(xué)教學(xué)最基礎(chǔ)的資源，同時(shí)也是最重要的資源.教師研究“教什么”的問(wèn)題就應(yīng)該仔細(xì)研讀教材，在研讀教材過(guò)程中抓住內(nèi)容本質(zhì)．而啟發(fā)性的教學(xué)內(nèi)容是師生理解數(shù)學(xué)、抓住知識(shí)本質(zhì)的關(guān)鍵．加強(qiáng)內(nèi)容的啟發(fā)性，即利用科學(xué)、簡(jiǎn)潔、清晰的語(yǔ)言呈現(xiàn)出能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)特征以及具有邏輯聯(lián)系的教學(xué)內(nèi)容，促使學(xué)生主動(dòng)思考、積極探索，從而深刻理解知識(shí)內(nèi)涵．此次數(shù)學(xué)新教材的編寫在“思想性”“啟發(fā)性”“聯(lián)系性”等指導(dǎo)下，綜合考慮了教師的教和學(xué)生的學(xué)兩個(gè)方面，加強(qiáng)了知識(shí)呈現(xiàn)的啟發(fā)性，既便于教師把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，也便于學(xué)生閱讀、理解，但最終都指向促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維及數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的．那么在啟發(fā)性的教學(xué)內(nèi)容下，教師如何能抓住內(nèi)容本質(zhì)，促進(jìn)自身的教學(xué)呢？

首先，教師應(yīng)具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)．擁有扎實(shí)深厚的數(shù)學(xué)知識(shí)是一名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行有效教學(xué)的基礎(chǔ)，也是一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)在教學(xué)實(shí)踐中起著“載體”的作用，沒(méi)有這個(gè)“載體”，啟發(fā)性的教學(xué)內(nèi)容對(duì)教師而言沒(méi)有任何意義，數(shù)學(xué)教師的有效教學(xué)也無(wú)從談起．

其次，教師應(yīng)仔細(xì)閱讀教材，對(duì)教材中的每一句話都應(yīng)認(rèn)真思考、琢磨，細(xì)品教材編寫者設(shè)計(jì)此內(nèi)容的意圖．不能只注重具體知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，而忽略了具有關(guān)鍵作用的啟發(fā)性教學(xué)內(nèi)容．尤其是2019年在全國(guó)范圍內(nèi)逐步展開使用的數(shù)學(xué)新教材，相比于舊教材在結(jié)構(gòu)和內(nèi)容上都有較大的調(diào)整，教師更應(yīng)該領(lǐng)會(huì)其精神，熟悉教材內(nèi)容．

最后，教師應(yīng)有意識(shí)地訓(xùn)練自己的析題、解題能力，在解題和析題活動(dòng)中強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解和掌握．相比于機(jī)械刻板地做題，這是一種以知識(shí)理解、思維訓(xùn)練、素養(yǎng)提升為基礎(chǔ)和目的的解題活動(dòng)．波利亞曾在《怎樣解題》中指出：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一個(gè)重大的難題，而在解答任何一道題目的過(guò)程中，也會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)．”[6]教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也正是在這“點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)”之中逐漸培養(yǎng)和提升的．

《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是要求學(xué)生掌握不等式性質(zhì)及其應(yīng)用，教材中由如何解不等式引出不等式性質(zhì)的教學(xué)．如前所述，不等式性質(zhì)的最終導(dǎo)出分三個(gè)步驟，首先就是明確兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，它為研究不等式的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).但是在一般情況下，僅僅提出實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)還不足以讓學(xué)生理解知識(shí)的本質(zhì)，大多數(shù)學(xué)生甚至教師并不明白將實(shí)數(shù)大小的比較轉(zhuǎn)化為“數(shù)與式的大小關(guān)系”比較的真正目的．于是教材呈現(xiàn)出：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。@句話是對(duì)基本事實(shí)的進(jìn)一步解釋說(shuō)明，是在逐步啟發(fā)引導(dǎo)師生理解代數(shù)的本質(zhì)即運(yùn)算．而在日常的教學(xué)中，多數(shù)教師并不重視這一內(nèi)容的教學(xué)．對(duì)這一事實(shí)背后的原理講不清、道不明，并且認(rèn)為上述基本事實(shí)是理所當(dāng)然的，對(duì)其認(rèn)識(shí)停留在運(yùn)用基本事實(shí)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的層面[7]．這顯然與我們的教學(xué)理念背道而馳．教師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)利用好教材，深刻解讀教材中的每一句話，在講解具體知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)之上注重對(duì)知識(shí)背后原理的教學(xué)．在這里體現(xiàn)為應(yīng)有讓學(xué)生理解實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是使實(shí)數(shù)的運(yùn)算參與其中的意識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)代數(shù)教學(xué)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越．

2 加強(qiáng)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性，促進(jìn)師生對(duì)思想方法的掌握

章建躍先生指出：數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)在知識(shí)的相互聯(lián)系中，即“聯(lián)系出思想”[8]．加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性，也即通過(guò)類比、比較等邏輯思維活動(dòng)溝通各部分內(nèi)容[9]，建立起新知識(shí)與舊知識(shí)之間的聯(lián)系，便于教師深入理解教學(xué)，便于學(xué)生觀察比較學(xué)習(xí)，也有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成正向遷移．在教學(xué)過(guò)程中，教師如果能注意到知識(shí)之間的聯(lián)系并有意引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這些知識(shí)的聯(lián)系，可以有效促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣，使得其學(xué)習(xí)更有效．此次新教材的編寫注重真實(shí)背景問(wèn)題的引入，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體悟數(shù)學(xué)的模型思想．在學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)上，教材內(nèi)容特別注意以數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過(guò)程為載體，引導(dǎo)學(xué)生開展“觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握，逐步引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界．[9]

《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》一節(jié)教材中導(dǎo)出不等式性質(zhì)的第二步是通過(guò)“思考”欄目呈現(xiàn)等式的基本性質(zhì)，由于等式與不等式有許多共同之處，學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式性質(zhì)之前也學(xué)習(xí)過(guò)簡(jiǎn)單的等式基本性質(zhì)，所以等式的基本性質(zhì)是研究不等式性質(zhì)時(shí)的類比對(duì)象．通過(guò)呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的知識(shí)引出即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，使學(xué)生聯(lián)想到運(yùn)用類比的方法探究新知識(shí)．

對(duì)于教材中的“思考”欄目：“類比等式的基本性質(zhì)，你能猜想不等式的基本性質(zhì)，并加以證明嗎？”在教學(xué)過(guò)程中，教師首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生歸納等式性質(zhì)的共性(相等關(guān)系的對(duì)稱性和傳遞性以及等式在運(yùn)算中保持的不變性)，獲得其中的數(shù)學(xué)思想；其次讓學(xué)生通過(guò)類比，自主探究，從具體到抽象地歸納出不等式的性質(zhì)，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)．

3 加強(qiáng)內(nèi)容的有序性，增強(qiáng)師生對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)

章建躍先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)教材安排的學(xué)習(xí)內(nèi)容必須是系統(tǒng)的、連貫的，后續(xù)學(xué)習(xí)需要的知識(shí)在前面必須出現(xiàn)過(guò)，不能有知識(shí)鏈條的斷裂．[10]這在一定程度上也說(shuō)明教學(xué)內(nèi)容必須是有序的，有序的教學(xué)內(nèi)容是培養(yǎng)師生清晰的數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)．加強(qiáng)內(nèi)容的有序性，即教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)必須反映學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”，同時(shí)必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，反映數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，做到內(nèi)容的邏輯連貫性和思想方法的前后一致性．[11]由此利于教師系統(tǒng)有序地教學(xué)，利于學(xué)生螺旋上升地學(xué)習(xí)．2004年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》提出教材內(nèi)容編排的模塊化結(jié)構(gòu)，但此結(jié)構(gòu)容易造成教材中知識(shí)不連貫、無(wú)序，其實(shí)任何模塊順序都存在知識(shí)不連貫的問(wèn)題，所以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》改變了課程結(jié)構(gòu)，由“主題—主線—核心內(nèi)容”的教學(xué)模式代替“模塊化”教學(xué)，由此建立起高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的四條主線(函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng))之間的聯(lián)系．因此教材的編寫也具有良好的邏輯結(jié)構(gòu)，使重要的數(shù)學(xué)思想得到螺旋上升的體現(xiàn)，可加強(qiáng)師生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性認(rèn)識(shí)．

經(jīng)過(guò)前面一系列知識(shí)的鋪墊，教材最終呈現(xiàn)出7條不等式的性質(zhì)，它們并不是無(wú)序的，而是有其內(nèi)在的邏輯．教師在教學(xué)過(guò)程中，不僅要明白具體的性質(zhì)內(nèi)容，更為重要的是要明白這7條性質(zhì)呈現(xiàn)出來(lái)的結(jié)構(gòu)．

教材內(nèi)容：不等式7個(gè)性質(zhì)的呈現(xiàn)

性質(zhì)1 如果a>b，那么bb；

性質(zhì)2 如果a>b，b>c，那么a>c；

性質(zhì)3 如果a>b，那么a+c>b+c；

性質(zhì)4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

性質(zhì)5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d；

性質(zhì)6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；

性質(zhì)7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

以上不等式的7條基本性質(zhì)的呈現(xiàn)不僅與等式的基本性質(zhì)相對(duì)應(yīng)，而且具有內(nèi)在的層次性和有序性．其中性質(zhì)1和性質(zhì)2反映的是實(shí)數(shù)自身的性質(zhì)；性質(zhì)3和性質(zhì)4是基本性質(zhì)；性質(zhì)5、6、7是由前面不等式性質(zhì)2、3、4推導(dǎo)出來(lái)的性質(zhì)．因此可以看出不等式性質(zhì)的呈現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)有序、層層遞進(jìn)，它們構(gòu)成一個(gè)有序的整體．教師若能領(lǐng)悟到這樣的思想內(nèi)涵，對(duì)不等式7個(gè)基本性質(zhì)的整體架構(gòu)有清晰的認(rèn)識(shí)，那么就能有效指導(dǎo)自身的教學(xué):對(duì)基本的性質(zhì)1～4進(jìn)行清晰的講解，而性質(zhì)5～7則留給學(xué)生自主探究、獨(dú)立思考的空間，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)在不等式性質(zhì)的推理過(guò)程中得到發(fā)展．

4 結(jié)語(yǔ)

加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性和有序性對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都具有積極的影響．加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的啟發(fā)性，能有效引導(dǎo)師生對(duì)內(nèi)容本質(zhì)的理解；加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性，可以促進(jìn)師生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握；加強(qiáng)教學(xué)內(nèi)容的有序性，可以增強(qiáng)師生對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí)．教師作為學(xué)生學(xué)業(yè)路上的“引路人”，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)深刻理解教材，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性、關(guān)聯(lián)性、有序性的教學(xué)內(nèi)容，讓自己的教學(xué)更深刻、更靈動(dòng)、更有序，致力于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的“四基四能”，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．