基于教材例題挖掘的深度教學(xué)案例與分析
——以“斜率之積為定值的問題探究”示范課為例

潘敬貞 (廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) 528303)

駱妃景 (廣東省東莞市麻涌中學(xué) 523477)

陳煥濤 (廣東省汕頭市澄海中學(xué) 515800)

1 引言

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的頒布，我們不得不思考：如何在課堂上實(shí)現(xiàn)教師的教育價(jià)值，實(shí)現(xiàn)“人”的教育？若從學(xué)科本身、數(shù)學(xué)內(nèi)容、教師角色三個(gè)角度來考慮，深度教學(xué)就是體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，直擊數(shù)學(xué)知識(shí)核心，反映教師教學(xué)有效程度的一種教育模式，其目的是促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).從教師的角度來講，深度教學(xué)是讓學(xué)生進(jìn)行深度思維的教學(xué).而深度教學(xué)的對象是學(xué)生，于學(xué)生而言，深度教學(xué)則是以學(xué)生高階思維發(fā)展以及關(guān)鍵能力的獲得為方向的一種集認(rèn)知、技能、情感為一體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.關(guān)于深度教學(xué)，我們的理解就是把一些重要內(nèi)容“教活、教透、教深”.

打造“深度”數(shù)學(xué)課堂要“依綱靠本”，有機(jī)整合教材例題，創(chuàng)造性地二次開發(fā)教材例題，采用推廣、變式、類比探究、改編等方式方法激活教材例題，構(gòu)建深度教學(xué).這樣，一方面可以讓教材例題更好地發(fā)揮其教學(xué)作用；另一方面可以幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生解決問題的能力.筆者將基于D中學(xué)C老師的一堂示范課，探討如何對教材例題進(jìn)行挖掘，開展深度教學(xué).

2 案例描述

課前，C老師將人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第41頁例3布置給學(xué)生，要求學(xué)生重做例題，溫故知新，讓學(xué)生以小組合作的方式挖掘例題條件和所求中數(shù)據(jù)的關(guān)系，并盡可能地把例題中的具體數(shù)值換成參數(shù)，探索橢圓是否真的有類似例題的一般性質(zhì)與結(jié)論.

接下來，筆者將用“選擇性課堂實(shí)錄”法對課堂上學(xué)生的精彩表現(xiàn)進(jìn)行描述.

片斷1 教學(xué)過程中注重?cái)?shù)據(jù)分析的引導(dǎo)

教師讓學(xué)生小組合作進(jìn)行例題數(shù)據(jù)挖掘及分析，期望學(xué)生能從數(shù)據(jù)分析中抽象概括出規(guī)律，進(jìn)而推廣到橢圓的一般性質(zhì)與結(jié)論，由此提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

師：哪個(gè)小組來展示一下解答過程及數(shù)據(jù)分析？

片斷2 教學(xué)過程注重對教材例題的變式探究與深度挖掘

教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般化的探究，最后得出一般性的性質(zhì)與結(jié)論.在進(jìn)行探究性深度學(xué)習(xí)時(shí)，完全靠學(xué)生自己獨(dú)立探究顯然不太現(xiàn)實(shí)，需要教師做好引路人.

師：哪個(gè)小組能把例題中的具體數(shù)值換成參數(shù)，探索一下橢圓是否真的有這樣的一般性質(zhì)與結(jié)論呢？

師：非常好，大家掌聲鼓勵(lì)！(教室里一片熱烈的掌聲，學(xué)習(xí)氛圍濃厚)

生3：我們小組看到例題以及生2的變式1中，給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)都是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，我們小組把它改為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，但我們遵循特殊到一般的研究方法，先對橢圓方程進(jìn)行特殊化驗(yàn)證，看是否也有變式1的一般規(guī)律.于是我們小組做出了變式2.

圖1

生3：我們小組猜想橢圓上異于短軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與短軸端點(diǎn)連線應(yīng)該也具有同樣的性質(zhì)與結(jié)論.

此時(shí)生4迫不及待地站起來斬釘截鐵地說：橢圓上異于短軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)與短軸端點(diǎn)連線應(yīng)該也具有同樣的性質(zhì)與結(jié)論，我們小組在生3的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一般化的變式3，并得到了一般規(guī)律.

師：在例題以及變式1～3中點(diǎn)A，B都為橢圓的頂點(diǎn)，都關(guān)于原點(diǎn)對稱，那橢圓上任意關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)是否也有同樣的性質(zhì)呢？哪個(gè)小組有這方面的探究？

全班學(xué)生熱情高漲地在教師引導(dǎo)下繼續(xù)探究.不一會(huì)兒，生5站起來提出了變式4并展示其小組的解答.

師：非常棒！經(jīng)歷變式1～4的學(xué)習(xí)，我們得到怎樣的性質(zhì)與結(jié)論?誰來總結(jié)一下？

師：非常好！大家掌聲鼓勵(lì)！(教室里響起熱烈的掌聲)

片斷3 教學(xué)過程注重對教材例題的類比探究，深度拓展

為了讓課堂更加高效，教師在引導(dǎo)學(xué)生類比圓的性質(zhì)后給出了變式5，并給學(xué)生足夠的探索時(shí)間，為學(xué)生提供足夠的展示和交流的機(jī)會(huì).由點(diǎn)差法引領(lǐng)，學(xué)生對圓的垂徑定理作類比，獲得了一個(gè)探究成果.

師：誰來分享一下探究成果.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0),即x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

師：探究這個(gè)問題主要用到點(diǎn)差法，思路自然，過程簡潔，非常棒！我們知道，圓的切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，現(xiàn)在將直線AB進(jìn)一步平移與橢圓相切于點(diǎn)M，大家來探索一下kAB·kOM的值.

師：誰來分享一下探究成果?

師：這個(gè)問題相對復(fù)雜，解決它需要較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力和推論論證能力，但生8做得很好，過程簡潔、思維縝密！如果將橢圓遷移到雙曲線，又將會(huì)得到怎樣的性質(zhì)與結(jié)論呢？請?jiān)谡n后完成變式7～9，下一節(jié)課上邀請大家來展示.

片斷4 教學(xué)過程注重學(xué)生的應(yīng)用體驗(yàn)與方法遷移

學(xué)生的情緒此時(shí)處于異?？簥^的狀態(tài)，教師抓住時(shí)機(jī)教導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要勤于思考，善于觀察、類比、歸納、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、動(dòng)手探索，最后反思總結(jié)、積累經(jīng)驗(yàn)；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的知識(shí)與方法反思小結(jié)，然后給出3道題供學(xué)生應(yīng)用體驗(yàn)以及在不同的問題情境中遷移思想方法，訓(xùn)練和提升其解決數(shù)學(xué)問題的能力.

(1)求C的方程.

(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B，線段AB的中點(diǎn)為M．證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.證明：△PQG是直角三角形.

3 案例分析

執(zhí)教本節(jié)課的C老師基本功扎實(shí)，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，對課堂有良好的把控力，他將人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第41頁例3在課前布置給學(xué)生，讓學(xué)生分小組變式探究，并在課堂上分享探究成果，在疑難處進(jìn)行有效的點(diǎn)撥，整堂課以學(xué)生為主體，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)教學(xué)理念.示范課活動(dòng)結(jié)束后，各位專家及名師對本節(jié)課給予了高度的評價(jià).

(1)教材的恰當(dāng)選擇，讓教學(xué)有“效度”

高三學(xué)生需要怎樣的課堂呢？教材是課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱的載體，例題是教材的重要內(nèi)容.教材例題是教材專家精雕細(xì)磨的產(chǎn)物，凝聚了專家們的智慧結(jié)晶.教材例題背后蘊(yùn)含著豐富的背景內(nèi)容和強(qiáng)大的教學(xué)功能，是提高學(xué)生解題能力、培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要素材.仔細(xì)研究近年高考題發(fā)現(xiàn)，高考命題主要以教材為依據(jù)但又不拘泥于教材，教材是眾多高考中低檔試題的直接來源.因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要“依綱靠本”，可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)以及心理規(guī)律和學(xué)生當(dāng)前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)能力等實(shí)際情況，全面研究課標(biāo)、研究考綱、研究考題、研究教材例題，有機(jī)整合教材例題.在尊重教材例題的基礎(chǔ)上，對教材例題進(jìn)行推廣、變式、類比探究、改編，由此激活教材例題，編寫復(fù)習(xí)材料.可將教材例題由原先主要用來鞏固知識(shí)、深化概念理解的知識(shí)立意改編成突出能力立意，突出數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)；可將教材例題的單純解答問題改編成突出回顧復(fù)習(xí)知識(shí)，鞏固知識(shí)結(jié)構(gòu)；也可將教材例題由“結(jié)構(gòu)良好”的封閉題改編成“思維發(fā)散”的開放題，如探究型存在性問題、探索性問題、歸納猜想和演繹證明等，創(chuàng)造性地使用教材例題，讓教材例題更好地發(fā)揮其教學(xué)作用.

(2)學(xué)生的創(chuàng)造性表現(xiàn)，讓教學(xué)有“寬度”

本節(jié)課從例題到變式4的難度都不高，教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從解答例題開始，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下分析數(shù)據(jù)，提出一般性質(zhì)與結(jié)論的猜想，然后以變式為載體從特殊點(diǎn)、具體數(shù)值到關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn)、一般值的探究，最后得出一般性質(zhì)與結(jié)論.在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了分析、猜想、探究、驗(yàn)證，從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)了研究數(shù)學(xué)的一般方法.學(xué)生從最初的不屑到最后得到一般性質(zhì)與結(jié)論的震撼，獲得滿滿的成就感，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和探究數(shù)學(xué)問題的信心.同時(shí)在思考、動(dòng)手探究、協(xié)作學(xué)習(xí)、分享成果等過程中，得到了充分思考、互相討論、動(dòng)手實(shí)踐、表達(dá)想法和展示的機(jī)會(huì)，也訓(xùn)練了思維，其數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及理性精神都得到了培養(yǎng).類比是探究發(fā)現(xiàn)新問題的重要途徑，通過類比和引導(dǎo)得到變式5和變式6，把課堂推向高潮，最后將探究拓展遷移到雙曲線，讓學(xué)生課后完成變式7～9.整個(gè)過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，得到了充分的實(shí)踐和探索機(jī)會(huì)，數(shù)學(xué)能力得到有效提升，收到了實(shí)實(shí)在在的教學(xué)效果，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到真真切切的落實(shí).

(3)教學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，讓教學(xué)有“深度”

為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和對知識(shí)的靈活運(yùn)用，本節(jié)課深挖教材例題，積累常見小結(jié)論的意義，課上及時(shí)給出3道高考真題，讓學(xué)生深刻感悟高考真題源于教材并高于教材，從而重視對教材例題的挖掘和探究.第一題(2015全國卷2文理20)的解答思路和過程與本節(jié)課探究問題的解題思路和過程基本相同，通過解答本道高考題讓學(xué)生體會(huì)高考題來自于教材但又高于教材，讓學(xué)生回歸基礎(chǔ)、回歸教材，樹立夯實(shí)基礎(chǔ)的意識(shí).第二題(2019全國卷II理21)第(1)問與課本例題的求解完全一致，第(2)問的問題情境有些復(fù)雜且有新意，通過問題分析并結(jié)合探究得到的性質(zhì)與結(jié)論來進(jìn)行解答，讓學(xué)生有很好的應(yīng)用本節(jié)課探究得出的性質(zhì)結(jié)論以及解題思想方法的體驗(yàn).第三題(2018全國卷3理21)主要是遷移本節(jié)課探究問題的解題思路和思想方法，將本節(jié)課學(xué)到的思想方法遷移到不同的問題情境中，讓學(xué)生體驗(yàn)思想方法的應(yīng)用，提高解題能力.