經(jīng)歷數(shù)學(xué)表達(dá) 體會(huì)模型思想
——以蘇科版“從問(wèn)題到方程”教學(xué)為例

孫 凱 (江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215151)

張必華 (江蘇省蘇州市高新區(qū)教育發(fā)展中心 215003)

1 問(wèn)題的提出

數(shù)學(xué)教育的育人功能在教學(xué)中體現(xiàn)為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界[1].所謂數(shù)學(xué)語(yǔ)言，本質(zhì)就是數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實(shí)事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.能否將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)，是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型并體會(huì)模型思想的關(guān)鍵.模型思想作為初中數(shù)學(xué)十個(gè)核心概念之一，是一種基本的數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.方程是滲透模型思想的良好載體，但在方程起始教學(xué)中往往出現(xiàn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容及其所反映的基本思想理解不夠，教學(xué)站位不高、思想性不強(qiáng)的現(xiàn)象，使學(xué)生體會(huì)模型思想乏力，教學(xué)效益大打折扣.近期，筆者在全市范圍內(nèi)開設(shè)了一節(jié)“從問(wèn)題到方程”的研討課，下面結(jié)合個(gè)人對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，談?wù)勔龑?dǎo)學(xué)生在用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程中建構(gòu)方程模型、體會(huì)模型思想的教學(xué)策略.

2 教學(xué)簡(jiǎn)析

2.1 教材理解

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材主編楊裕前老師在教材解讀時(shí)指出：“通過(guò)比較可以看出，用方程描述這種相等關(guān)系最簡(jiǎn)明”.這句話指明本節(jié)課教學(xué)的核心目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“方程”這個(gè)數(shù)學(xué)模型，感悟用“方程”這種數(shù)學(xué)模型來(lái)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中已知量與未知量間的相等關(guān)系最為簡(jiǎn)明，在數(shù)學(xué)表達(dá)中體會(huì)模型思想.因此，這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生經(jīng)歷用方程來(lái)描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的相等關(guān)系，體會(huì)方程模型的優(yōu)越性.

2.2 對(duì)“測(cè)井深”的質(zhì)疑

有研究者認(rèn)為，教材上提供的古代問(wèn)題(測(cè)井深)在表述上有歧義，建議刪除或更換一個(gè)問(wèn)題.也有研究者認(rèn)為，測(cè)井深問(wèn)題中數(shù)量之間的相等關(guān)系不是很清晰，與上面問(wèn)題情境中數(shù)量之間相等關(guān)系的關(guān)聯(lián)不夠，不利于整體教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.關(guān)于表述方面的問(wèn)題可以這樣解決，比如在問(wèn)題中添加圖形描述“三折”的意義，或者提醒學(xué)生“三折”的意思.測(cè)井深問(wèn)題中的相等關(guān)系屬于“相同量”特征，而天平問(wèn)題、籃賽積分問(wèn)題都是描述的“相等量”，在內(nèi)容設(shè)置上是有區(qū)別的，在這里我們要理解教材編寫者的意圖，不要盲目地刪減或更換.通過(guò)測(cè)井深問(wèn)題，學(xué)生會(huì)明白可以用不同的數(shù)量關(guān)系描述同一個(gè)量，在聯(lián)系用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上用方程表達(dá)相等關(guān)系最簡(jiǎn)明，既感悟列方程與用字母表示數(shù)的關(guān)系，又體悟方程的本質(zhì).

2.3 教學(xué)理解

教學(xué)圍繞為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)等基本問(wèn)題展開.有教師建議在創(chuàng)設(shè)情境環(huán)節(jié)中，應(yīng)設(shè)計(jì)相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題情境，讓學(xué)生親身經(jīng)歷問(wèn)題的分析過(guò)程，感受學(xué)習(xí)方程的必要性，教學(xué)中以算術(shù)方法與方程方法的比較為教學(xué)主線，既感受為什么學(xué)，又指明學(xué)什么、怎么學(xué).但筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)表達(dá)和模型建構(gòu)，課堂教學(xué)應(yīng)聚焦于用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建構(gòu)方程模型的過(guò)程，教學(xué)中應(yīng)適度減少算術(shù)法與方程法的比較過(guò)程，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)方程的必要性即可.因此，教學(xué)主線定位在如何審題、分析數(shù)量關(guān)系、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)、建立方程模型、形成概念、體會(huì)模型思想上.

3 教學(xué)過(guò)程

3.1 問(wèn)題激趣，直觀感悟

師：同學(xué)們，我們?cè)跓藭r(shí)會(huì)用到食用鹽(400 g鹽袋展示)，你們知道一袋食用鹽的質(zhì)量嗎？

教學(xué)說(shuō)明估算鹽袋質(zhì)量，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.讓學(xué)生經(jīng)歷先猜想，再用天平測(cè)量未知鹽袋質(zhì)量的活動(dòng)，直觀感知相等關(guān)系.引發(fā)思考：如何描述含有“未知的量”和“已知的量”等數(shù)量之間的相等關(guān)系？引入新課，板書課題.

3.2 探索歸納，建構(gòu)模型

問(wèn)題1如圖1，怎樣表達(dá)天平平衡所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系？你從圖上可以獲取哪些信息？

圖1

學(xué)生分別展示圖形表達(dá)、文字表達(dá)和符號(hào)表達(dá)(方程2x+1=5)等.

師：我們通過(guò)比較圖形表達(dá)、文字表達(dá)和符號(hào)表達(dá)可以發(fā)現(xiàn)，符號(hào)表達(dá)最簡(jiǎn)明.你們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)式子2x+1=5嗎？

師生共同回顧方程的定義，指出對(duì)數(shù)量之間的相等關(guān)系進(jìn)行表達(dá)時(shí)，方程是最簡(jiǎn)明的.

教學(xué)說(shuō)明呈現(xiàn)天平平衡狀態(tài)下的圖片，圖形中蘊(yùn)含的信息可以通過(guò)文字或符號(hào)來(lái)表達(dá)，讓學(xué)生感受圖形信息、文字信息和符號(hào)信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)符號(hào)表達(dá)(方程描述)最簡(jiǎn)明.

問(wèn)題2籃球聯(lián)賽規(guī)則規(guī)定：勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分.某籃球隊(duì)賽了12場(chǎng)，共得20分.怎樣描述其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

師：讀題后，你有沒(méi)有不明白的地方？

生1：負(fù)一場(chǎng)得1分是什么意思？打平了怎么辦？

師：負(fù)一場(chǎng)得1分的意思是輸一場(chǎng)也可以得到1分，在籃球比賽中沒(méi)有平局，若在常規(guī)時(shí)間內(nèi)恰好打平，需在加時(shí)賽中分出勝負(fù).審清題意之后，你是如何表達(dá)相等關(guān)系的？

生2：勝場(chǎng)得分+負(fù)場(chǎng)得分=20分.

生3：設(shè)該隊(duì)勝x場(chǎng)，那么該隊(duì)負(fù)(12-x)場(chǎng)，可以用方程2x+1×(12-x)=20來(lái)表達(dá).

追問(wèn)：設(shè)勝了x場(chǎng)，你是怎樣知道負(fù)(12-x)場(chǎng)的？

生4：勝的場(chǎng)數(shù)+負(fù)的場(chǎng)數(shù)=12場(chǎng).

師：說(shuō)明問(wèn)題2中含有兩個(gè)相等關(guān)系，可用下表來(lái)分析表達(dá)，請(qǐng)你嘗試并展示表達(dá)方法.

問(wèn)題2勝場(chǎng)數(shù)負(fù)場(chǎng)數(shù)總數(shù)場(chǎng)數(shù)12得分20

生5：12×2=24(分)，24-20=4(分)，4÷(2-1)=4(場(chǎng))，說(shuō)明負(fù)4場(chǎng)、勝8場(chǎng).

生7：設(shè)該隊(duì)勝場(chǎng)得分為y分，則負(fù)場(chǎng)得分為(20-y)分，可用方程來(lái)表達(dá).

師：比較一下算術(shù)表達(dá)與方程表達(dá)等量關(guān)系時(shí)哪個(gè)更優(yōu)越？在不同的方程表達(dá)中，哪種方法更簡(jiǎn)單？這與設(shè)未知數(shù)有關(guān)系嗎？

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)學(xué)生的展示，得到算術(shù)表達(dá)、文字表達(dá)、方程表達(dá)等結(jié)果，在方程表達(dá)中既有一元一次方程表達(dá)，也有方程組表達(dá).學(xué)生經(jīng)歷方程模型的建構(gòu)過(guò)程，體會(huì)方程的優(yōu)越、簡(jiǎn)明.在探索活動(dòng)中，不能滿足于感悟方程的簡(jiǎn)明，還應(yīng)關(guān)注問(wèn)題中的未知量、已知量和相等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)表格體悟設(shè)不同的未知數(shù)、選用不同的相等關(guān)系會(huì)得到不同的方程模型，通過(guò)反思性學(xué)習(xí)，自主感悟方程建模的對(duì)比與優(yōu)化.讓學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，用算術(shù)方法思考比較困難，但結(jié)果比較直接；用二元一次方程組的方法思考比較簡(jiǎn)潔，但計(jì)算比較困難.以此啟發(fā)學(xué)生思考，優(yōu)化方程模型建構(gòu)的方案.

問(wèn)題3我國(guó)古代問(wèn)題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺.繩長(zhǎng)、井深各幾何？

這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來(lái)量，井外余繩四尺(如 圖2)；把繩四折來(lái)量，井外余繩一尺.問(wèn)繩長(zhǎng)、井深各幾尺？

圖2

師：審題后，有沒(méi)有不明白的地方？

生8：“三折來(lái)量”的“三折”是什么意思？

師：(用繩子演示三折)弄清三折的意思后，完成問(wèn)題探索并展示.

生10：若設(shè)井深為y尺，那么3(y+4)尺與4(y+1)尺表示的都是繩長(zhǎng)，于是可用方程3(y+4)=4(y+1)來(lái)表達(dá).

教學(xué)說(shuō)明呈現(xiàn)我國(guó)古代問(wèn)題，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的發(fā)展史，體會(huì)用方程解決問(wèn)題的必要性、優(yōu)越性.在問(wèn)題分析的過(guò)程中，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)方程模型，浸潤(rùn)方程思想.

3.3 嘗試表達(dá)，體驗(yàn)建構(gòu)

問(wèn)題4我們知道，按圖3的方式搭n條“小魚”需要[8+6(n-1)]根火柴棒.搭n條“小魚”用了140根火柴棒，怎樣用方程來(lái)表達(dá)其中數(shù)量之間的相等關(guān)系？

圖3

問(wèn)題5今年小紅5歲，爸爸32歲.

(1)用代數(shù)式分別表示x年后小紅與爸爸的年齡；

教學(xué)說(shuō)明搭“小魚”問(wèn)題和年齡問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單，在教學(xué)中應(yīng)注重挖掘其潛在的教學(xué)價(jià)值.一是加強(qiáng)前后知識(shí)間的聯(lián)系，體會(huì)用字母表示數(shù)與列方程的內(nèi)在關(guān)系；二是體會(huì)單值對(duì)應(yīng)的思想，即n或x確定時(shí)，火柴棒數(shù)量與年齡也對(duì)應(yīng)確定，反之亦然；三是體會(huì)方程表達(dá)問(wèn)題中的相等關(guān)系更簡(jiǎn)明、優(yōu)越.

3.4 觀察概括，形成概念

師：觀察我們得到的這些方程，你能把它們分分類嗎？說(shuō)說(shuō)你是怎樣分的.

師：觀察這一類方程有什么共同特征.

生12：這些方程只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1.

師：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)(元)并且未知數(shù)的次數(shù)都是1(次)的方程叫做一元一次方程.對(duì)于這個(gè)概念，你有什么感興趣的地方嗎？

生13：老師，什么是“元”？

師：你真棒，有寶貴的問(wèn)題意識(shí).為什么把未知數(shù)稱為元？在我國(guó)宋元時(shí)期，創(chuàng)立了天元術(shù)，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)某某為x”，后來(lái)我們把“元”看作未知數(shù)的統(tǒng)稱.請(qǐng)你嘗試給方程x+y=12，2x+y=20下個(gè)定義.

生(齊)：二元一次方程.

教學(xué)說(shuō)明引導(dǎo)學(xué)生觀察方程，歸納概括共同的特征，形成一元一次方程的概念.并通過(guò)類比的方法適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生給出二元一次方程的概念.教學(xué)中通過(guò)追問(wèn)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提出“什么是元”的問(wèn)題，以此為契機(jī)，滲透數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生追根溯源、熱愛探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

3.5 應(yīng)用拓展、練習(xí)鞏固(略)

4 教學(xué)思考

4.1 關(guān)注審題細(xì)節(jié)，突破教學(xué)難點(diǎn)

弄清題意是分析和解決問(wèn)題的重要基礎(chǔ).教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生審題習(xí)慣的培養(yǎng)，幫助他們學(xué)會(huì)審題、弄清題意.本節(jié)課設(shè)計(jì)了多個(gè)問(wèn)題情境，特別涉及到古代問(wèn)題，對(duì)學(xué)生理解問(wèn)題、弄清題意提出了挑戰(zhàn).教師在指導(dǎo)學(xué)生審題時(shí)既要關(guān)注問(wèn)題的整體條件，又要關(guān)注問(wèn)題的具體細(xì)節(jié).在整體理解語(yǔ)言表述的基礎(chǔ)上，指出關(guān)鍵詞或關(guān)鍵語(yǔ)句，弄清一些基本問(wèn)題：未知的量、已知的量、相等關(guān)系等，同時(shí)還應(yīng)弄清一些細(xì)節(jié)，比如教學(xué)中“負(fù)一場(chǎng)得1分”“平局怎么積分”“三折來(lái)量”等.關(guān)注審題細(xì)節(jié)，深刻理解實(shí)際問(wèn)題中文字或圖形表述的信息是正確進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)、建構(gòu)方程模型的保障，也是今后用方程解決實(shí)際問(wèn)題的重要基礎(chǔ).

4.2 注重方法比較，感悟方程優(yōu)越

“從問(wèn)題到方程”的教學(xué)核心是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)方程模型，感悟用方程模型表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中已知量與未知量間的相等關(guān)系是最簡(jiǎn)明的.如何凸顯方程模型是最簡(jiǎn)明的？用比較的方法是最好的方案.從問(wèn)題1開始，引導(dǎo)學(xué)生感受相等關(guān)系的表達(dá)方法有圖形表達(dá)、文字表達(dá)、算術(shù)表達(dá)、方程表達(dá)，在后續(xù)問(wèn)題2、問(wèn)題3的探索活動(dòng)中，根據(jù)學(xué)生展示的情況，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思辨不同表達(dá)方法的特點(diǎn)，通過(guò)比較感悟方程模型的簡(jiǎn)明、優(yōu)越.

4.3 把握課堂生成，精準(zhǔn)教學(xué)實(shí)施

教學(xué)設(shè)計(jì)是對(duì)教學(xué)過(guò)程的“預(yù)設(shè)”，在執(zhí)行教學(xué)設(shè)計(jì)方案時(shí)，師生的互動(dòng)往往會(huì)“生成”一些非預(yù)設(shè)性的資源，教師需要及時(shí)把握生成的動(dòng)向，因勢(shì)利導(dǎo)，適時(shí)調(diào)整預(yù)設(shè)的教學(xué)方案.比如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在課程內(nèi)容及實(shí)施建議的實(shí)例51中，建議在一元一次方程教學(xué)時(shí)，用四則運(yùn)算的方法表達(dá)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，意在引導(dǎo)學(xué)生比較并發(fā)現(xiàn)用算術(shù)方法思考問(wèn)題是相對(duì)困難的，而用一元一次方程表達(dá)是最簡(jiǎn)明的.在教學(xué)中筆者卻發(fā)現(xiàn)，選用方程法的學(xué)生最多，而選用算術(shù)法的很少.因此，教學(xué)中應(yīng)迅速發(fā)現(xiàn)和捕捉學(xué)生的思維動(dòng)向，及時(shí)調(diào)整“預(yù)設(shè)”的流程和方案，甚至改變?cè)械脑O(shè)計(jì)，以便更加順暢地實(shí)施教學(xué)過(guò)程，完成教學(xué)任務(wù)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)[2].

4.4 經(jīng)歷數(shù)學(xué)表達(dá)，聚焦模型建構(gòu)

模型思想與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)建模有密切的關(guān)系，在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效途徑.就方程的起始教學(xué)來(lái)說(shuō)，要關(guān)注學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系能力的培養(yǎng)，更要注重模型思想的滲透.需要指出的是數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)建模的范疇來(lái)看，本節(jié)課側(cè)重的是數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程，即用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系(用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程)，凸顯了數(shù)學(xué)模型的獲得過(guò)程，這是數(shù)學(xué)建模最重要的環(huán)節(jié)，但它并不是完整意義上的數(shù)學(xué)建模(如圖4).

圖4

比如在“測(cè)井深”的問(wèn)題中，先由學(xué)生自主分析問(wèn)題，弄清題意，經(jīng)歷把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相關(guān)數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，獲得數(shù)學(xué)模型.這一模型建構(gòu)過(guò)程使學(xué)生系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的關(guān)聯(lián)，加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，進(jìn)一步體會(huì)模型思想.又如在一元一次方程概念形成過(guò)程中，了解、體會(huì)概念(即數(shù)學(xué)模型)的概括性、一般性，通過(guò)要素分析[3]，可引導(dǎo)學(xué)生把握一元一次方程模型的要點(diǎn)和結(jié)構(gòu)，體會(huì)模型思想.