基于“四個理解”的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略
——以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例

楊茂濤 李紅梅 (西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 637002)

隨著社會的發(fā)展，人的各方面綜合素質(zhì)在不斷地提高，社會對人們的要求也在不斷地提升．近年來，教育界談?wù)撛掝}離不開核心素養(yǎng)，其對于學(xué)生的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用．有關(guān)核心素養(yǎng)從育人的角度上來看，需要培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，促進(jìn)德智體美全面發(fā)展，使學(xué)生具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力[1]．將核心素養(yǎng)滲透到數(shù)學(xué)學(xué)科中，其目的就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終目標(biāo)是讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界[2]．在數(shù)學(xué)課堂中要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的基本思想，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生樹立正確的價值觀，養(yǎng)成優(yōu)良的品格，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

1 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是學(xué)科育人目標(biāo)中非常重要的內(nèi)容.在課堂教學(xué)中，教師要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．章建躍博士[3]提到理解數(shù)學(xué)，是指理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象性的特點(diǎn)；理解學(xué)生，是指理解學(xué)生的思維規(guī)律和認(rèn)知特點(diǎn)，在了解學(xué)生的基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；理解教學(xué)，是指理解教學(xué)的基本規(guī)律，在教學(xué)過程中幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，掌握基本知識技能，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的數(shù)學(xué)知識；理解技術(shù)，是指通過一定的信息技術(shù)，將抽象的內(nèi)容直觀地展示給學(xué)生，將抽象的過程可視化．

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能力的提升，對于學(xué)生全面發(fā)展有很大的幫助，教師要給予一定的重視，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題、感悟數(shù)學(xué)價值．

2 高中課堂數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)現(xiàn)狀

通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)后發(fā)現(xiàn)，目前在高中課堂教學(xué)中有關(guān)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)中存在許多不足之處，其中來自天水師范學(xué)院邵新穎[4]的一篇碩士論文的調(diào)查研究表明，在學(xué)習(xí)策略上，學(xué)生的邏輯思維能力比較薄弱，難以從數(shù)學(xué)情境中抽象概括出數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)致在實際生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力較低．在面對較為復(fù)雜的問題時，學(xué)生會缺乏自信心，久而久之，將會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生抵觸的情緒．江蘇省平望中學(xué)一線教師仲一萍老師[5]提到，在教學(xué)策略上，教師對于新教材的理解過于片面，在教學(xué)中往往只注重教材上知識的傳授，教學(xué)的內(nèi)容沒有層次性，沒有考慮學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合不明確，上課專注力難以長久保持，最終影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率．同時，教學(xué)過程中教師過于強(qiáng)調(diào)形式化的師生互動環(huán)節(jié)，忽視了對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，對于數(shù)學(xué)的本質(zhì)要求沒有落到實處．

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)對學(xué)生發(fā)展起著至關(guān)重要的作用，但在教學(xué)過程中往往被忽略.針對以上問題，本文將以“函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”為例，探討數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的培養(yǎng)策略．

3 課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

高中課堂教學(xué)中，教師需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)教材，通過一定的教學(xué)設(shè)計，落實數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略．在教學(xué)過程中，要以學(xué)生為主體，改變其完成任務(wù)式的學(xué)習(xí)，與課堂融為一體．教師要采取一定的教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).針對以上問題，本文將從課堂教學(xué)中的教與學(xué)兩個方面，討論數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的培養(yǎng)策略．

3.1 教學(xué)策略

為了實現(xiàn)高效的課堂教學(xué)，教師要在理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，結(jié)合情境，融合數(shù)學(xué)史，幫助學(xué)生掌握抽象概念；在理解技術(shù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用信息技術(shù)直觀展示抽象內(nèi)容；在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，設(shè)計思維實驗、變式訓(xùn)練，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象的過程．

(1)創(chuàng)設(shè)問題情境，感知數(shù)學(xué)抽象的必要性

數(shù)學(xué)是高中學(xué)習(xí)生涯中最主要的科目之一，大多數(shù)學(xué)生對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會存在學(xué)起來吃力、厭學(xué)這一系列問題，隨著時間的推移，學(xué)生兩極分化嚴(yán)重．產(chǎn)生這方面問題的因素最主要還是因為數(shù)學(xué)的本質(zhì)具有抽象的特征．為此，教師在課堂教學(xué)中，需要引入情境性問題，結(jié)合生活實際來進(jìn)行教學(xué)．

以選修2-2中導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)容為例，由于導(dǎo)數(shù)概念本身比較抽象，在實際教學(xué)中，教師不能直接給出定義，可以通過引入氣球的膨脹率、高臺跳水運(yùn)動員跳水的平均速度及瞬時速度等生活實例，讓學(xué)生體會極限的思想，最后再引導(dǎo)學(xué)生思考從平均變化率到瞬時變化率的過程，從原有的知識基礎(chǔ)上抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念．其目的是讓學(xué)生從情境中感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光分析實際問題，并用數(shù)學(xué)語言描述解決問題．通過情境的引入，幫助學(xué)生理解掌握概念．

(2)融合數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)抽象的價值

數(shù)學(xué)概念通常是比較抽象的，我們可以將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂中，不僅可以讓學(xué)生更深刻體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)，了解內(nèi)容的來源，還可以激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的興趣，感悟數(shù)學(xué)的價值，更快地融入到課堂之中．

例如，在導(dǎo)數(shù)概念中，導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，教師可以適當(dāng)介紹一下微積分的發(fā)展歷程，微積分的發(fā)明權(quán)導(dǎo)致英德兩個國家的榮譽(yù)之爭．通過對這一數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力和文化價值，激發(fā)學(xué)生的興趣，體會到教材上看似簡單的公式、定理等都是一代代偉大數(shù)學(xué)家常年探索才得出來的.在這個過程中，要讓學(xué)生明白創(chuàng)造、探索知識比接受、學(xué)習(xí)已有的知識更來之不易．通過數(shù)學(xué)史的引入，不僅可增加課堂的趣味性，而且通過滲透一定的數(shù)學(xué)思想，還可激勵學(xué)生積極主動探索學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.與此同時，將抽象的概念具象化，幫助學(xué)生理解掌握，間接地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

(3)巧用信息技術(shù)，將數(shù)學(xué)抽象過程可視化

在傳統(tǒng)的授課模式中，教師大多通過口述及板書傳授知識，當(dāng)面臨比較抽象復(fù)雜的概念時，學(xué)生往往難以理解．在信息時代，教師可以借助多媒體輔助教學(xué)，化靜態(tài)為動態(tài)，直觀地給學(xué)生展示概念的形成，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解．

例如，在高中數(shù)學(xué)選修2-2中講授導(dǎo)數(shù)的幾何意義時，這一內(nèi)容較為抽象，學(xué)生需要很強(qiáng)的空間想象力以及抽象概括的能力．此時借助多媒體進(jìn)行教學(xué)，顯示切線PA與割線PB(圖1)．通過動畫演示，當(dāng)點(diǎn)B無限接近點(diǎn)P時，歸納總結(jié)出此時割線的斜率就是點(diǎn)P處切線的斜率(圖2)．多媒體教學(xué)給予學(xué)生直觀體驗，讓學(xué)生體會割線到切線的變化過程，感受它們的內(nèi)在聯(lián)系——某點(diǎn)附近的曲線在很小的范圍內(nèi)可被大致看成直線，且此曲線可以用過此點(diǎn)的切線近似代替.這就是以直代曲的思想方法．這一過程將抽象內(nèi)容具體化，不僅避免了學(xué)生遇到抽象問題時產(chǎn)生的枯燥及厭學(xué)感，同時也使其抽象思維能力得到了鍛煉．

圖1 圖2

(4)設(shè)計思維實驗，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程

在教學(xué)中，教師可以通過設(shè)計一定的思維實驗，借助活動幫助學(xué)生完成新舊知識之間的同化，將數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗抽象成數(shù)學(xué)概念問題．在這個過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識內(nèi)化，發(fā)揮個體的主觀能動性，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，理清邏輯抽象概念．

(5)利用變式訓(xùn)練，多方面體會數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果

在教學(xué)過程中，教師可以采用一題多變的策略，從題中抽象出數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從不同的視角看待問題，了解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

在求解導(dǎo)數(shù)切線方程問題時，學(xué)生容易將“過某點(diǎn)處的切線”與“在某點(diǎn)處的切線”混淆，難以區(qū)分．此時教師就需要采用適當(dāng)?shù)淖兪?，讓學(xué)生感悟兩者間的不同．

例如，求曲線f(x)=x3-3x2+1在切點(diǎn)(1,-1)處的切線方程.

此類已知切點(diǎn)求切線方程的問題比較簡單，大多數(shù)學(xué)生都能得到正確答案．通過對f(x)求導(dǎo)，再將切點(diǎn)代入，可以求出切線方程y=-3x+2．

變式1 求過曲線y=x3-2x上的點(diǎn)(1, -1)的切線方程.

學(xué)生若繼續(xù)采用上述方法，就會掉入陷阱，算出錯誤答案．此題是“過”曲線的點(diǎn)，而不是“在”，所以并不代表此點(diǎn)就是切點(diǎn)．由此，不管此點(diǎn)是否在曲線上，都要先設(shè)出切點(diǎn)(x0,y0)，再利用條件求出切點(diǎn)，最后利用點(diǎn)斜式求出兩個切線方程x-y-2=0或5x+4y-1=0．

變式2 已知曲線f(x)=x3-3x2+2x+a的一條切線方程為y=2x，求實數(shù)a的取值．

變式1的出現(xiàn)讓學(xué)生明白處理已知點(diǎn)不在曲線上的問題時，要設(shè)出切點(diǎn)．變式2引入了參數(shù)a，從多種角度讓學(xué)生感悟切線方程的題目．在經(jīng)歷了一定變式訓(xùn)練之后，學(xué)生才能切實明白概念之間的不同，避免解題時出現(xiàn)看得懂卻做不來的問題．在教學(xué)中，教師通過題型的變化幫助學(xué)生理清問題的脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，為提升學(xué)生的抽象思維奠定了基礎(chǔ)．

3.2 學(xué)習(xí)策略

為了幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，教師要在理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于提問的學(xué)習(xí)方式，養(yǎng)成反思總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

(1)敢于質(zhì)疑，善于提問

由于個體差異，每位學(xué)生的認(rèn)知程度與基礎(chǔ)理論知識掌握得不盡相同，教師在上課的過程中不一定能全方位考慮到．學(xué)生在面對疑問時，要基于自己的想法多角度地思考分析問題，并敢于質(zhì)疑、提出問題．

在導(dǎo)數(shù)概念的形成過程中，學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)概念的理解存在一定的模糊性，多數(shù)學(xué)生對于變化率、平均變化率以及瞬時變化率之間的概念關(guān)系容易產(chǎn)生混淆，導(dǎo)致在實際運(yùn)用的過程中錯誤地使用公式，影響計算結(jié)果．為了避免這類問題，學(xué)生需要總結(jié)，對于混淆不清楚的地方大膽向教師提問，理清平均變化率與瞬時變化率的計算方法以及概念的不同，最終明確導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵．在提問的過程中，不僅可提高學(xué)生抽象概括的能力，還可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維與創(chuàng)新思維．

關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的形成，教材通過創(chuàng)設(shè)運(yùn)動員跳水比賽的情境引入，經(jīng)歷平均速度過渡到瞬時速度的過程，抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念．但實際結(jié)果是，學(xué)生并沒有切實領(lǐng)會導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，導(dǎo)致不能將其靈活地運(yùn)用到實際應(yīng)用題中．其主要原因就是在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生缺少了主動思考、主動提問的過程．在跳水問題中，學(xué)生可以結(jié)合實際情境提出問題，平均速度如何過渡到瞬時速度?如何將瞬時速度和導(dǎo)數(shù)概念相聯(lián)系?通過問題串的形式強(qiáng)化對知識的掌握，最終加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗．

(2)自主歸納概括，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生不僅僅要掌握教師所傳授的知識，還要養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣去主動學(xué)習(xí)．高中數(shù)學(xué)內(nèi)容繁多，公式定理也很繁瑣抽象．為了產(chǎn)生高效的學(xué)習(xí)，學(xué)生要學(xué)會將復(fù)雜抽象的知識簡單化，自己總結(jié)歸納知識，構(gòu)建框架．

例如，在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用這一章節(jié)學(xué)習(xí)結(jié)束時，大多數(shù)學(xué)生會混淆一些繁瑣的知識點(diǎn).此時學(xué)生需要總結(jié)，構(gòu)建框架體系．在整理時，對于有關(guān)導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)容可將導(dǎo)數(shù)的定義，幾何意義劃分為一個小分支，將導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算分為基本初等函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，再將導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用、有關(guān)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值與最值劃分為另一個分支(圖3)．通過框架示意圖可以直觀地展示這一章節(jié)的主要內(nèi)容，幫助學(xué)生有效運(yùn)用知識、掌握知識.這一過程使得數(shù)學(xué)內(nèi)容變得有條理性，將某一系列的內(nèi)容完整地呈現(xiàn)出來，將知識之間的邏輯性、抽象關(guān)系簡單化，使得學(xué)習(xí)過程變得輕松．在整理的過程中也不斷地在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，將零碎不足的知識系統(tǒng)化，提高學(xué)習(xí)效率，從而間接提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

圖3

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重大的意義，不僅能加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的敏感程度，還能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究，養(yǎng)成勤于反思的習(xí)慣．