“基本不等式的證明”教學(xué)實錄與反思

居 艷 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自四星級重點高中普通班高一年級，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有較強的邏輯推理能力、運算能力和創(chuàng)新能力．

1.2 教材分析

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，直觀想象

這個問題提出后，很快有學(xué)生舉手發(fā)言．

生2：我猜想兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，因為我找了幾組數(shù)據(jù)，如a=1,b=2；a=14,b=10；發(fā)現(xiàn)都是算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)．

(這時候有學(xué)生迫不及待地舉手.)

師：這位同學(xué)可能有話要說.

生3：我覺得他的猜想有問題，如果a,b都等于1，則算術(shù)平均數(shù)等于幾何平均數(shù)．

師：說得很有道理，那你覺得算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？

師：你們都采用了特殊值驗證的方法來得到算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的大小關(guān)系，驗證可以代替證明嗎？

生3：驗證不能代替證明，但是我還沒有想好怎么證明．

生3坐下后，教室一片寂靜，學(xué)生們積極調(diào)用初中和高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，各自尋求比較大小關(guān)系的方法．過了大約三分鐘，又有學(xué)生舉手了．

師：請這位舉手的同學(xué)說一說你的思考過程.

師：你說的我基本理解，但是不太明白最后一句話中的“當且僅當”，你自己或者其他同學(xué)可以幫助解釋一下嗎？(教師故意裝糊涂，通過質(zhì)疑、設(shè)問的方法，鼓勵學(xué)生進行深度思考.)

此時，學(xué)生們紛紛點頭表示贊同．

此過程是備課時沒有預(yù)設(shè)到的，學(xué)生對“當且僅當”的討論，看似耽誤了一點時間，但有助于其對基本不等式概念中等號成立條件的理解，同時有助于對前后知識的融會貫通．

2.2 推理演繹，模型建構(gòu)

接著，教師給學(xué)生五分鐘的時間，自主探究算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系的數(shù)學(xué)推理證明．

師：這位同學(xué)通過作差與0比較的方法，得到了算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系，你們認同他的方法嗎？我看到還有不少同學(xué)舉手，請談?wù)勀銈兊南敕?

生6：我認為他的證明方法是對的，因為我通過畫圖得到了和他一樣的結(jié)論．

師：畫圖？(教師故作驚訝，以引起學(xué)生們對此方法的關(guān)注.)

生6：我畫了一個直角三角形，作出斜邊上的高和斜邊的中線．

師：(打斷發(fā)言)這樣吧，你到黑板前向大家講講你的方法，你講我寫可能我跟不上你的思維．

生6走到黑板前，在黑板上畫了一個直角三角形，然后將她的思路娓娓道來．

圖1

師：同學(xué)們覺得有道理嗎？(大家表示贊同.)數(shù)形結(jié)合可以幫助我們運用圖形語言從更加直觀的角度解釋兩者的大小關(guān)系，如果將該直角三角形放入圓中，斜邊就是圓的直徑，算術(shù)平均數(shù)為該圓的半徑，幾何平均數(shù)為半弦，即“半徑不小于半弦長”．

教師在生6回答后，巧妙地追問了兩個問題．一個問題是想強調(diào)基本不等式等號成立的條件，提醒學(xué)生時刻關(guān)注；另一個問題的目的在于展示生6的思維過程，讓其他學(xué)生不僅了解怎樣解，更知道如何能夠想到這樣解，幫助學(xué)生知其然，更知其所以然．(此時又有其他學(xué)生舉手.)

師：看樣子還有同學(xué)有想法，請說一說你的想法.

師：沒關(guān)系，你說給大家聽一聽，也許我們可以幫助你完善想法．

師：同學(xué)們覺得他的說法有沒有道理？如果有道理，我們怎么把這個道理轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號語言來表達呢？

師：這個不等關(guān)系形式簡潔、作用廣泛，我們稱之為基本不等式．大家在書寫和運用基本不等式時要特別注意其等號成立的條件，即當且僅當a=b時，等號成立．

2.3 模型應(yīng)用，數(shù)學(xué)理解

師：從你們證明方法的豐富性，可以看出同學(xué)們對本節(jié)課的重點內(nèi)容“基本不等式的證明”掌握得比較好．有的同學(xué)將基本不等式中的a看作a2，b看作b2，得到(1)的結(jié)論，體會到基本不等式的等價表示方法．因此，這兩個不等式通?？梢灾苯邮褂茫?/p>

師(課堂總結(jié))：本節(jié)課同學(xué)們經(jīng)歷了“數(shù)學(xué)建模”的過程(圖2)．

圖2

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計的立意

總之，概念教學(xué)不是一蹴而就的，作為概念引入的本節(jié)課在實際教學(xué)過程中主要經(jīng)歷了操作、過程、對象、圖式四個階段，在后續(xù)的基本不等式的應(yīng)用教學(xué)中，還將繼續(xù)強化如何建構(gòu)圖式去解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題和實際問題．

3.2 教學(xué)反思

·蘇教版新舊版本教材對比反思

(1)新版教材更注重基本不等式的基礎(chǔ)性和工具性

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，蘇教版兩版教材均對此作了詳細的書寫，但舊版教材放在函數(shù)、三角函數(shù)、向量和數(shù)列等知識點之后，而新版教材放在必修1的第三章學(xué)習(xí)．從新版教材的教學(xué)反饋情況看，學(xué)生對基本不等式的知識理解自然，雖然相對難度較大，但是由于沒有函數(shù)等附加知識的干擾，突出了基本不等式概念的純粹性，有利于學(xué)生對概念的深入理解，避免了新版教材教學(xué)參考書中提到的“繁瑣的計算”“人為化技巧的難題”及“細枝末節(jié)上的過分拓展”等問題．學(xué)生在后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)中，由于有了扎實的概念，在思考諸如解決最值等問題時便會更為自然順暢．這樣的編排更好地體現(xiàn)了基本不等式的基礎(chǔ)性和工具性作用．

(2)新版教材更注重知識生成的邏輯基礎(chǔ)

在蘇教版老教材中，常用邏輯用語滯后于基本不等式出現(xiàn)，導(dǎo)致學(xué)生無法充分理解相關(guān)的知識．如分析法證明中的“要證A，只要證B”，其本質(zhì)是B是A的充分條件；等號成立條件中的“當且僅當”的正確理解．新版教材將常用邏輯用語先于基本不等式的處理，有助于學(xué)生對基本不等式證明的分析法思維邏輯的理解，以及對等號成立條件的充要關(guān)系的理解，本節(jié)課的實際教學(xué)過程也印證了學(xué)生對于分析法的理解更為自然．

(3)新版教材更注重概念內(nèi)涵的深度探究

概念的內(nèi)涵是概念對事物特有屬性的反映；概念的外延是具體的、具有概念所反映的特有屬性的那些事物．蘇教版老教材中，在基本不等式概念建立后，通過求證(解)最值并對其加以應(yīng)用，關(guān)注的是概念的外延部分．而新版教材更注重概念內(nèi)涵的深度探究，在建立基本不等式的模型后，通過限制條件的分析、等價表示等，讓學(xué)生從不同的視角觀察和理解基本不等式，從而將概念內(nèi)化于心．

·課堂教學(xué)過程反思

(1)知識的生成與生成性知識并重

教學(xué)過程往往是復(fù)雜關(guān)聯(lián)和動態(tài)生成的過程，預(yù)設(shè)的教學(xué)流程常常是教師自己認為的知識生成過程，預(yù)設(shè)的提問也會被學(xué)生的質(zhì)疑或思考所阻斷．本節(jié)課在討論算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的大小關(guān)系時，有位學(xué)生只證明了等號成立的充要條件，這讓教師猝不及防．但仔細體會，人類對任何新知的理解都不是一躍而成的，需要不斷的嘗試和探索．學(xué)生之所以只證明了等號成立的充要條件，可能起初只會證明這兩個值相等的情況．如果教師給予充足的時間和引導(dǎo)，也許會有更多更深入的結(jié)論被學(xué)生發(fā)現(xiàn)和掌握．面對課堂的生成性知識，教師此時不給予否定即是好的回應(yīng)，而若及時加以肯定與引導(dǎo)，則更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)幸福感．課堂生成性知識體現(xiàn)了教學(xué)的生命價值，教學(xué)總是在“真理”和“幸?！敝g謀求平衡．

(2)注重數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的滲透

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析是數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)．與其他五大核心素養(yǎng)相比，數(shù)學(xué)建模仍是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的短板．如何補齊短板？由于數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)活動是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑，在課堂中滲透數(shù)學(xué)建模思想與方法將成為提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要路徑．本節(jié)課的教學(xué)流程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算四大核心素養(yǎng)，并將數(shù)學(xué)建模的思想貫穿始終．其中，在課堂總結(jié)階段，教師借助流程圖，展示了如何整合其他核心素養(yǎng)，通過建模解決實際問題，這在加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)建模認知的同時，更進一步讓其感受到數(shù)學(xué)的理論價值、應(yīng)用價值和文化價值．

(3)知識的邏輯性與連貫性貫穿始終

數(shù)學(xué)是一門思維性、邏輯性和連貫性很強的學(xué)科，通常情況下，數(shù)學(xué)知識的生成過程應(yīng)符合由特殊到一般、由具體到抽象、由感性到理性的認知規(guī)律，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維嚴密的邏輯性．因此，具有邏輯性和連貫性的數(shù)學(xué)教學(xué)將有利于促進有意義學(xué)習(xí)的生成．基本不等式是建立在初中數(shù)學(xué)知識和高中不等關(guān)系、不等式性質(zhì)、充分必要條件等基礎(chǔ)上的新生知識，教師在教學(xué)過程中可以通過有意義的設(shè)問讓學(xué)生感受新舊知識之間的交叉融通，實現(xiàn)既有思維方法的交融，又有前后邏輯關(guān)系的遞進，并在各種關(guān)聯(lián)中幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的思維導(dǎo)圖．