時間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程在流體力學(xué)中的應(yīng)用

邱　寧

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島　266106)

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時間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程在流體力學(xué)中的應(yīng)用

邱寧

(青島理工大學(xué) 琴島學(xué)院, 山東 青島266106)

摘要:利用一類時間分?jǐn)?shù)階微分方程描述河灘形成過程中沙子運動的模型,將傳統(tǒng)刻畫該模型的對時間一階導(dǎo)數(shù)用α(0<α<1)階導(dǎo)數(shù)代替,最后給出數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞:時間分?jǐn)?shù)階; 延遲; 河灘; 輸沙量; 數(shù)值模擬

在大河的拐彎處,由于水流的環(huán)流,彎的外側(cè)形成凹岸,內(nèi)側(cè)形成凸岸.兩岸泥沙運輸率的空間差異導(dǎo)致凹岸和凸岸的形成演化,所以通過輸沙率與時間掛鉤來模擬河灘和河坎的形成演變[1].在相對理想的狀態(tài)下,利用時間分?jǐn)?shù)階微分方程來描述河灘形成過程中的流沙運動過程,并給出數(shù)值模擬.

本文考慮如下河灘處泥沙輸沙量的方程:

(2)

(3)

1差分格式構(gòu)造

(4)

記

則式(4)整理得:

(5)

對式(2)離散后得:

進(jìn)一步整理成便于討論的形式:

(6)

(7)

2穩(wěn)定性證明

定理1差分格式(6)、式(7)無條件穩(wěn)定.

證明ωk=(k+1)1-α-k1-α,所以有

由差分格式(6)、式(7)得誤差方程:

(8)

(9)

(10)

考慮到ωk滿足的條件,所以上式等于

(11)

3收斂性證明

根據(jù)式(6)、式(7)和局部截斷誤差計算得:

(12)

(13)

定理2差分格式(6)、式(7)無條件收斂.

證明用數(shù)學(xué)歸納法.

此處 C1=ταΓ(2-α)(τ+h2).

4數(shù)值算例

考慮如下問題:

算例的精確解u(x,t)=t2ex,取延遲量τ=1[5-6],令空間步長為0.1,時間步長為0.01,數(shù)值模擬結(jié)果如下.

表1　數(shù)值解的相對誤差

參考文獻(xiàn):

[1] 杜曉琴,高抒. 水下沙丘形態(tài)演化的數(shù)值模擬實驗[J]. 海洋學(xué)報, 2012,134(4):121-134.

( DU X Q, GAO S. An evolution of subaqueous dune morphology numerical experiments[J]. Acta Oceanologica Sinica, 2012,134(4):121-134.)

[2] PODLUBNY I. Fractional differential equations[M]. San Diego: Academic Press, 1999.

[3] 馬亮亮. 時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的數(shù)值解法[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2013,43(10):248-253.

(MA L L. A numerical method for the time fractional order dispersion equation[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2013,43(10):248-253.)

[4] 張艷敏,郭萍,段素芳. 一類時間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程的數(shù)值解法[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2014,26(4):342-344.

(ZHANG Y M,GUO P,DUAN S F. A numerical method for solving one time fractional delay differential equation[J]. Journal of Shenyang University (Natural Science), 2014,26(4):342-344.)

[5] 馮日月. 分?jǐn)?shù)階延遲微分方程數(shù)值方法的研究[D]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2009.

(FENG R Y. Numerical methods for differential equations of fractional order with time-dependent delay[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2009.)

[6] 黃典貴. 基于微可壓液體的統(tǒng)一對流擴(kuò)散型流體力學(xué)方程組[J]. 工程熱物理學(xué)報, 2007(S1):153-156.

(HUANG D G. Unified convection diffusion equations based on weakly compressible liquid[J]. Journal of Engineering Thermophysics, 2007(S1):153-156.)

【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Application of Time Fractional Delay Differential Equations in Fluid Dynamics

QiuNing

(Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266106, China)

Abstract:In this paper, by using a class of time fractional differential equations describing the motion of sand beach formation model. The time first derivative of the model is put into the model by a fractional derivative of order α(0<α<1), and numerical simulation is given in the end.

Key words:time fractional order; delay; benchland; sediment runoff; numerical simulation

中圖分類號:O 241.82

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:2095-5456(2016)02-0170-03

作者簡介:邱寧(1980-),女,山東煙臺人,青島理工大學(xué)講師.

基金項目:山東省高?？萍加媱澷Y助項目(J15L157).

收稿日期:2015-10-29