基于多元函數(shù)極值理論巧證幾個三元不等式

范銘燦

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 惠州 516007）

三元不等式證明是中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，其證明方法通常需要使用均值不等式、Cauchy-Schwarz不等式、Schur不等式、H?lder不等式和Jensen不等式等[1], 甚至是這些方法的綜合運(yùn)用, 是一類高難度的數(shù)學(xué)題目.目前關(guān)于利用多元函數(shù)極值理論證明三元不等式的研究較少[2-5], 這可能是因為大多數(shù)情況下多元函數(shù)極值點的驗證較為復(fù)雜. 本文基于幾道典型例題，說明如何結(jié)合若干不等式技巧以及多元函數(shù)極值理論證明三元不等式， 從而拓展三元不等式的證明思路.

1 變量代換法

例題 1證明：對所有正實數(shù)a,b,c,有

這道題目是第42屆IMO試題.如果直接對不等式左式的多元函數(shù)（a,b,c看成自變量）求極值，會發(fā)現(xiàn)其駐點求解非常繁瑣，并且無法驗證駐點是否為極值點(Hessian矩陣奇異). 為了解決這一問題，本文利用變量代換的方式將不等式轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)極值問題．

證明令則構(gòu)造二元函數(shù)如下：

為了求出函數(shù)f(x,y)的駐點，令

為了驗證駐點是否極值點，算出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)如下：

代入(x,y)=(1,1),得到Hessian矩陣，其為正定矩陣，這說明(1,1)為極小值點，極小值為f(1,1)=1.類似可證明(7,1)為非極值點，(1,7)為極小值點，且極小值為對比2個極小值可以得到f(x,y)≥f(1,1)=1. 證畢.

2 不等式放縮法

例題2證明：當(dāng)0≤a,b,c≤1時，函數(shù)

這道題目改編自一道美國數(shù)學(xué)競賽題，具有一定難度. 文獻(xiàn)[6-7]針對該問題分別給出了不同的證明方法. 本文利用不等式放縮法結(jié)合多元函數(shù)極值理論，給出一個較為簡便的證明.

證明如果直接將a,b,c直接看成變量，對函數(shù)f(a,b,c)求極值，會發(fā)現(xiàn)求解駐點非常困難．為此，首先將函數(shù)做放縮如下：

其中用到了算數(shù)-調(diào)和平均值不等式，等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時成立.

令 1-a=x,1-b=y,1-c=z,構(gòu)造一個新的函數(shù)如下：

令

由式(1)、（2）、(3)易得x=y=z（同時也說明a=b=c）.將此等式代入式(1)，可得于是，函數(shù)g(x,y,z)的駐點為(x,y,z)=(1,1,1),或者

由于函數(shù)g(x,y,z)在[0,1]×[0,1]×[0,1]上必有最小值，則將函數(shù)值與其他端點的函數(shù)值作大小比較，從而得到函數(shù)g(x,y,z)的最小值為因此，函數(shù)f(a,b,c)的最小值為證畢.

3 拉格朗日乘數(shù)法

例題3證明：若x,y,z為非負(fù)實數(shù)，且滿足等式x+y+z=1，則

這道題目是第25屆IMO試題，本文利用多元函數(shù)的條件極值理論進(jìn)行證明.

證明引入拉格朗日乘數(shù)λ，構(gòu)造輔助函數(shù)g(x,y,z)如下：

下面只需證明函數(shù)g有最小值0和最大值即可.

首先求函數(shù)g(x,y,z)的駐點．令

由式(5)、(6)可得(x-y)(1-2z )=0.由式(6)、(7)可得(y-z)(1-2x)=0. 結(jié)合式(8)，可求得函數(shù)g的駐點為其對應(yīng)的函數(shù)值分別為由于連續(xù)函數(shù)g在[0,1]×[0,1]×[0,1]上必有最大和最小值，并注意到端點(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的函數(shù)值均為0，可以直接得到式(4)．證畢.

4 參數(shù)代換法

例題4證明：若,,a b c為任意實數(shù)，則

并說明等號何時成立.

這道題目來源于文獻(xiàn)[8]，是加拿大數(shù)學(xué)學(xué)會創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)難題期刊《Crux Mathematicorum》上的題目, 尚未有解答. 本文利用參數(shù)代換法并結(jié)合多元函數(shù)極值理論進(jìn)行證明.

證明首先作變量替換，令a -b =x,b -c =y,a +b +c =z,則a-c=x+y,且

于是，證明式(9)等價于要證明如下不等式成立：

即證明

顯然，當(dāng)x =y=0時等號成立．當(dāng)xy=0時，不等式也顯然成立．下面只需考慮xy≠0的情形．不妨設(shè)a＞b＞c,即x＞0,y＞0. 其他情形可類似證明.

直接利用極值理論證明不等式(10)會非常困難，原因是Hessian矩陣為半正定矩陣，無法判斷駐點是否為極值點. 這里采取引入?yún)?shù)的方法，進(jìn)一步利用條件極值理論給出證明.

時取得極大值216s6即可，其中s表示一個未知的正參數(shù).

引入拉格朗日乘數(shù)λ，構(gòu)造函數(shù)如下：

令

進(jìn)一步，基于駐點x,y=且0,z=以及式(9)中a,b,c的輪換對稱性，得到式(9)等號成立的全部條件為a=b=c,或者a+c=2b=0,或者a+b=2c=0,或者b+c=2a=0.

5 結(jié)論

本文基于多元函數(shù)極值理論, 介紹了三元不等式的幾種證明方法. 可以發(fā)現(xiàn): 在證明復(fù)雜的三元不等式過程中往往不能通過直接構(gòu)造多元函數(shù), 進(jìn)一步求解其極值來證得, 而是需要一些輔助手段和技巧構(gòu)造合適的多元函數(shù), 其主要目的就是使得該函數(shù)的極值求解會更容易. 另外, 相比于其他不等式放縮方法, 利用極值理論證明不等式可以很方便地得到不等式等號成立的條件.