結(jié)構(gòu)化視角下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與“面積模型”的聯(lián)結(jié)與拓展

【摘? ?要】結(jié)構(gòu)化視角下，計(jì)數(shù)領(lǐng)域與計(jì)量領(lǐng)域之間可以借助運(yùn)算意義建構(gòu)起關(guān)聯(lián)。教師在設(shè)計(jì)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)時(shí)以“運(yùn)算意義”為基點(diǎn)，以“面積模型”為活動(dòng)載體，重視將運(yùn)算的算理與算法進(jìn)行聯(lián)結(jié)，用拓展課助推學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化發(fā)展。具體教學(xué)中，教師可從“聯(lián)結(jié)、拓展和應(yīng)用”三個(gè)層次設(shè)計(jì)問題，促成知識網(wǎng)狀系統(tǒng)的建構(gòu)，讓學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)、活動(dòng)探究和知識應(yīng)用中學(xué)習(xí)，促進(jìn)思維的順利進(jìn)階。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化視角;兩位數(shù)乘兩位數(shù);面積模型

“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)。”人教版教材中，乘法運(yùn)算意義的理解是引導(dǎo)學(xué)生借助小棒，基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行思考實(shí)現(xiàn)的;面積的度量是引導(dǎo)學(xué)生借助乘法運(yùn)算的意義，基于計(jì)量單位進(jìn)行學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)的。其實(shí)，兩者可以進(jìn)行適度整合，如果能讓學(xué)生在對比思辨計(jì)數(shù)與計(jì)量的異同中建構(gòu)算理，那么他們不僅能對運(yùn)算意義的理解增加一個(gè)維度，對面積概念的認(rèn)知也會(huì)更加清晰。從運(yùn)算意義出發(fā)，借助“面積圖”進(jìn)行“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”算理和算法的聯(lián)結(jié)與拓展，是結(jié)構(gòu)化教學(xué)的有效路徑。

一、逐層遞進(jìn)，布局結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)

逐層遞進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，符合學(xué)生思維發(fā)展的規(guī)律。筆者循著思維進(jìn)階的梯度，設(shè)計(jì)了三個(gè)課時(shí)的任務(wù)，讓學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)、活動(dòng)探究和知識應(yīng)用中達(dá)成知識系統(tǒng)的網(wǎng)狀構(gòu)建。具體路徑如表1所示。

第一課時(shí)重在聯(lián)結(jié)，將乘法豎式分別與點(diǎn)狀圖和面積圖建立聯(lián)結(jié)，要達(dá)成兩個(gè)目標(biāo)：①進(jìn)一步理解乘法運(yùn)算的意義;②體驗(yàn)計(jì)數(shù)和計(jì)量中都可以探尋到運(yùn)算的意義，在內(nèi)化運(yùn)算意義的過程中體會(huì)面積的本質(zhì)。

第二課時(shí)重在拓展，關(guān)注三個(gè)梯度的探究活動(dòng)，從點(diǎn)狀圖到面積圖再到抽象圖式，探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的圖式分解，是一次結(jié)構(gòu)化的探究過程。

第三課時(shí)重在應(yīng)用，應(yīng)用圖式分解進(jìn)行積最大、最小、積變化和算式大小判斷等問題的解決，并滲透問題解決的結(jié)構(gòu)化路徑。

二、課堂實(shí)踐，助推結(jié)構(gòu)化思維進(jìn)階

結(jié)構(gòu)化的教學(xué)助推結(jié)構(gòu)化的思維，課堂實(shí)踐中可以從學(xué)生的表達(dá)中聽到思維綻放的聲音，聯(lián)結(jié)拓展的結(jié)構(gòu)化教學(xué)在思維進(jìn)階中的助推作用清晰可見。

（一）幾何直觀建構(gòu)計(jì)數(shù)到計(jì)量的聯(lián)結(jié)，錘煉思維靈活性

思維靈活性反映了智力的“轉(zhuǎn)移”能力，這正如我們常說的“類比”。乘法運(yùn)算可用于計(jì)數(shù)求和，也可用于計(jì)量求和，學(xué)生往往能解決具體的問題但很少主動(dòng)建立兩者之間的關(guān)聯(lián)，教師以點(diǎn)狀圖和面積圖信息為載體，借助幾何直觀幫助學(xué)生在形與式之間建立聯(lián)結(jié)，錘煉思維的靈活性。具體教學(xué)過程如表2所示。

以追問的形式倒逼學(xué)生思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然情境不同，體現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)意義不同，表達(dá)的方式不同，但本質(zhì)相同，都是解決13個(gè)22（或22個(gè)13）是多少的問題。66所蘊(yùn)含的運(yùn)算意義是3個(gè)22是66，情境意義分別為66個(gè)或66平方分米。后續(xù)進(jìn)一步的對比追問，能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生在“變與不變”的審辨思考中，發(fā)現(xiàn)面積大小的本質(zhì)就是面積單位數(shù)量的累加，明晰乘法運(yùn)算在不同情境中的應(yīng)用，從而借助運(yùn)算的意義建立形與式的關(guān)聯(lián)。

從點(diǎn)狀圖到面積圖，從計(jì)數(shù)求和到計(jì)量求和，結(jié)構(gòu)化教學(xué)中的素材選擇和問題設(shè)計(jì)都是從學(xué)生思維的起點(diǎn)處出發(fā)，在理解的基礎(chǔ)上達(dá)成知識的類比關(guān)聯(lián)，促成學(xué)生思維靈活性的發(fā)展。

（二）任務(wù)驅(qū)動(dòng)探究意義到圖式的拓展，錘煉思維獨(dú)創(chuàng)性

生活實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)和思考問題很重要，創(chuàng)造性地解決問題更重要，社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展都離不開思維的創(chuàng)造性品質(zhì)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)注重學(xué)習(xí)層次的螺旋上升和知識間的關(guān)聯(lián)，在縱向建立計(jì)數(shù)方法和計(jì)量方法的聯(lián)結(jié)點(diǎn)后可進(jìn)行橫向拓展練習(xí)，這是思維創(chuàng)造性發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)。教師從學(xué)生建構(gòu)清晰的“點(diǎn)狀圖”出發(fā)激發(fā)其思考，然后以“面積圖”為跳板，最后建構(gòu)抽象的“圖式分解模型”，整個(gè)過程既內(nèi)化了乘法運(yùn)算的意義，又發(fā)展了學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。詳細(xì)探究過程如下。

1.點(diǎn)狀圖，感受圖和式的聯(lián)結(jié)

點(diǎn)狀圖非常直觀，容易聯(lián)結(jié)學(xué)生的思維起點(diǎn)。教學(xué)中教師首先借助點(diǎn)狀雞蛋圖（如圖1），拋出問題：“圖和算式分別表示什么意思，你理解嗎？”觸發(fā)學(xué)生思考圖和式之間的關(guān)聯(lián)。然后以點(diǎn)狀雞蛋圖為載體，設(shè)計(jì)了兩個(gè)層次的探究活動(dòng)：①借助圖2，讓學(xué)生感受圖到式的關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)乘法算式22×13可以分成哪兩部分;②借助圖3，幫助學(xué)生建立式到圖的聯(lián)結(jié)，先觀察圖式的特點(diǎn)再自主構(gòu)建分解方法，最后回歸圖形去圈一圈，體驗(yàn)式和圖的關(guān)系。

2.面積圖，建立圖和式的聯(lián)結(jié)

操作載體從點(diǎn)狀圖轉(zhuǎn)換成面積圖（如圖4），繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖式分解探究，可以在圖上畫一畫后寫出算式，也可以寫好算式后在面積圖上畫一畫進(jìn)行驗(yàn)證，探究建構(gòu)運(yùn)算的意義。

3.抽象圖，建立思維和圖式的聯(lián)結(jié)

建構(gòu)抽象圖可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。以問題“請有序分解這兩個(gè)算式（如圖5）”為驅(qū)動(dòng)，完成抽象圖式的有序分解。

三個(gè)層次的探究，從借助點(diǎn)狀圖的模型初探，到面積圖的模型再探，到最后抽象圖式模型的建立，學(xué)生在真實(shí)的結(jié)構(gòu)化探究中錘煉了思維的獨(dú)創(chuàng)性。

（三）問題解決思辨圖式到情境的應(yīng)用，錘煉思維敏捷性

高階思維的養(yǎng)成需訓(xùn)練思維的敏捷性。思維敏捷性指的是心理活動(dòng)的速度，表現(xiàn)為能靈活迅速地解決問題。循著“意義思辨、圖式思辨、批判思辨和變式思辨”的結(jié)構(gòu)化路徑，培養(yǎng)問題解決的策略，可以讓學(xué)生思維的敏捷性得到發(fā)展。

1.意義思辨，夯基礎(chǔ)

意義思辨是知識生長的根基，要引導(dǎo)學(xué)生從源頭處思考問題，尋找對策。如以問題“蔬菜種植區(qū)的長和寬是1、2、6、8四個(gè)數(shù)字組成的兩個(gè)兩位數(shù)且乘積最小，請幫忙找到長和寬”為驅(qū)動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生意義思辨的能力?；谶\(yùn)算意義可以將最小的數(shù)字1和2放在十位，初步得到兩種可能——16×28 和18×26。從意義開始，助力學(xué)生尋找正確的問題解決策略。

2.圖式思辨，謀拓展

相對于抽象的意義思辨，圖式思辨是一條能縮短學(xué)生思考時(shí)間的可視化思維路徑。在意義深刻構(gòu)建的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形，運(yùn)用圖式分解的方法直接判斷兩個(gè)算式的大小，是一條可行的拓展路徑。

如以問題“觀察格子圖中的兩個(gè)圖形（如圖6），比較16×28和18×26 的大小”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖式思辨。學(xué)生發(fā)現(xiàn)重疊部分為公共部分，只需比較未重疊部分就可以得到結(jié)論，由此完成從格子圖到算式的分解，使圖與式對應(yīng)，讓算理與算法融合。

3.批判思辨，通障礙

批判性思維是新時(shí)代學(xué)生必備的思維品質(zhì)。教學(xué)中可以設(shè)置拐點(diǎn)問題，對學(xué)生的批判性思維進(jìn)行錘煉。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和相等時(shí)，比較兩組算式的大小可借助筆算也可基于規(guī)律（和相等，差越小，積越大）得出答案，那么當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和不相等時(shí)，還能基于規(guī)律得出答案嗎？很多學(xué)生會(huì)忽略前提條件，認(rèn)為此規(guī)律依然可行。

這時(shí)教師以問題“選出面積最大的方案，方案一：長71米，寬34米;方案二：長78米，寬31米”為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生在小組合作、獨(dú)立驗(yàn)證的批判思辨中，得出結(jié)論：兩個(gè)數(shù)的和不相等時(shí)，采用圖式分解（如圖7）和筆算的方法可行，而借助規(guī)律則不可行。

4.變式思辨，促聯(lián)結(jié)

對變式問題的解決是學(xué)生思維升華的必經(jīng)之路。變式練習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生找到變與不變的節(jié)點(diǎn)，建立已有知識與未知問題之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)。

如以變式問題1“按照從小到大的順序排列下列算式：A.21×43;B.10×34;C.41×32;D.42×31”為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生感受估算（A和B）、圖式分解（C和D）在問題解決中的便捷性。

如以變式問題2“房子的長增加11米，面積增加多少？現(xiàn)在的面積是多少？（如圖8）”為驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生借助圖式進(jìn)行問題解決（如圖9），縮短問題思考的路徑，助推學(xué)生的抽象思考能力。

四次思辨過程是一條結(jié)構(gòu)化的問題解決路徑，這樣的路徑讓學(xué)生的思維在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化的進(jìn)階。

以上三個(gè)課時(shí)的設(shè)計(jì)，是在學(xué)生原有知識基礎(chǔ)上進(jìn)行的聯(lián)結(jié)與拓展推進(jìn)，目標(biāo)的設(shè)計(jì)及達(dá)成路徑符合知識結(jié)構(gòu)化建構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)化發(fā)展的邏輯。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)靈橋鎮(zhèn)中心小學(xué)? ?311418）