磚夾-磚塊系統(tǒng)的傳力機(jī)制及夾磚數(shù)量研究*

林遠(yuǎn)東，宮能平，劉丹丹，盧小雨，崔智麗

（安徽理工大學(xué)，安徽淮南 232001）

夾具對工件起定位和夾緊的作用［1］，圖1所示夾持系統(tǒng)為文獻(xiàn)［2-4］分析工人用夾具夾磚的力學(xué)模型.夾具對磚塊的夾持作用及磚塊間相互作用力的傳遞規(guī)律，為設(shè)計(jì)裝載機(jī)械的夾持系統(tǒng)提供了力學(xué)計(jì)算的理論依據(jù)［2］.因而，弄清磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)內(nèi)部的傳力機(jī)制，以及確定影響夾具夾磚數(shù)量的影響因素具有重要意義.

圖1 磚夾-磚塊系統(tǒng)示意圖

在文獻(xiàn)［2-4］中，將磚夾自重忽略，并將磚夾和磚塊視為剛體.因磚夾的重量較磚塊重量小得多，則忽略磚夾自重是合理的.然而，將工人對磚夾的提拉力作用位置處理為AB 構(gòu)件上的B點(diǎn)，而視OD構(gòu)件為二力構(gòu)件，這顯然與磚夾的工作原理不符.

圖1 中，G 為單塊磚頭的重量，N；FB為工人作用于AB 構(gòu)件B 處的提拉力，N；n 為夾具所夾持的磚塊數(shù)量.

工人手握磚夾工作時(shí)，AB 構(gòu)件和OD 構(gòu)件均被手握住，構(gòu)件OD 不但在O 和D 處受力，在C 處還受到手的抓握力，故OD 構(gòu)件不是二力桿.另外，文獻(xiàn)［2］將磚夾夾持磚塊系統(tǒng)的位置認(rèn)定為磚塊高度的一半處也欠妥.

因此，筆者對磚夾-磚塊系統(tǒng)的計(jì)算模型進(jìn)行了修正，應(yīng)用靜力學(xué)平衡理論和摩擦庫倫定律分析了磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)內(nèi)部的傳力機(jī)制及確定了磚夾所能夾起磚塊數(shù)量的問題.研究結(jié)果不但為設(shè)計(jì)裝載機(jī)械的夾持系統(tǒng)提供了力學(xué)計(jì)算的理論依據(jù)［2］，還進(jìn)一步加深了對靜滑動摩擦和靜力學(xué)平衡理論等知識的理解.

1 修正的磚夾-磚塊系統(tǒng)模型

手握夾具工作時(shí)，手臂哪怕使出大于夾具所夾磚塊重量的提拉力，磚塊也未必能被夾起，當(dāng)夾具對磚塊的夾持作用不夠大時(shí)磚塊將發(fā)生滑脫現(xiàn)象.

夾具對磚塊的夾持力，其力源為手對夾具的抓握力.當(dāng)手對磚夾的抓握力足夠大時(shí)，夾具便能夾住磚塊；若磚塊不發(fā)生滑脫，工人能否提起磚塊則是由手臂的提拉力所決定，當(dāng)手臂的提拉力大于磚塊重量時(shí)工人便可將磚塊提起.

因此，除了手臂的提拉力之外，手對磚夾的抓握力也是能否提起磚塊的一個(gè)關(guān)鍵因素.手對夾具的抓握力會因人而異，其與手臂提供的提拉力沒有關(guān)系；而且，即使是同一人，因其握緊夾具的程度不同，手對夾具的抓握力也會不同.

手對夾具的抓握力具有3個(gè)特征：在B點(diǎn)處受到由B指向C方向的力；在C點(diǎn)處受到由C指向B方向的力；B點(diǎn)和C點(diǎn)所受力的大小相等.

根據(jù)手對夾具的抓握力特征，作用在夾具上B 點(diǎn)和C 點(diǎn)這兩處的力大小相等、方向相反且力線重合，則可將手對夾具的抓握作用等效為一個(gè)連接在B 和C 之間的受拉彈簧.務(wù)必注意，由手對夾具的抓握力的特征可知，連接在B和C間的彈簧只能受拉.從而，將文獻(xiàn)［2-4］中（圖1所示）磚夾-磚塊系統(tǒng)的力學(xué)模型修正為圖2所示的情況.

圖2 修正的磚夾-磚塊系統(tǒng)示意圖

圖2 中，F(xiàn)C為手臂對磚夾的提拉力，N；a，b 和c 分別為夾具到磚塊位置參量，m；L 為夾持寬度，m；其余各量同上.

設(shè)單磚的寬度和高度分別為b0和h，則由圖2可見：

對于磚夾-磚塊系統(tǒng)，由平衡得：

由式（2）得手臂對磚夾的提拉力為：

由式（3）可見，在磚夾自重忽略不計(jì)的情況下，當(dāng)工人用磚夾夾磚時(shí)，其手臂對磚夾的提拉力大小為被夾磚塊的重量.

2 磚夾對磚的作用及手的抓握力

夾持系統(tǒng)中，受夾磚塊系統(tǒng)的受力情況如圖3（a），而構(gòu)件AB的受力情況如圖3（b）.

圖3 磚夾-磚塊系統(tǒng)的內(nèi)力分析

圖3中，NA和ND為夾具對磚塊系統(tǒng)兩側(cè)的正壓力，N；FSA和FSD為夾具對磚塊系統(tǒng)兩側(cè)的靜滑動摩擦力，N；FOx和FOy為構(gòu)件AB在鉸接點(diǎn)處所受約束力，N；TB為手對構(gòu)件AB的抓握力，N.

2.1 磚夾對磚塊系統(tǒng)的作用

對于受夾的磚塊系統(tǒng)，由平衡得：

由式（7）可知，磚夾作用于磚塊系統(tǒng)兩側(cè)的正壓力是相等的.

由式（7）可知，磚夾作用于磚塊系統(tǒng)兩端的靜滑動摩擦力相等.

由摩擦庫倫定律［4］可知：

式中，F(xiàn)Smax為磚塊系統(tǒng)在夾持點(diǎn)所受最大靜滑動摩擦力，其值為：

式中，fS為磚夾與磚塊間的靜摩擦系數(shù).

2.2 手對磚夾的抓握力

由式（8）和式（12）得磚夾對磚塊的正壓力NA與手對磚夾的抓握力TB之間的關(guān)系為：

式（13）表明，磚夾對磚塊的正壓力與手對磚夾的抓握力呈線性關(guān)系，且夾具對磚塊系統(tǒng)的正壓力隨著手對磚夾抓握力的增大而增大.

由式（11）和式（13）得磚塊相對于夾具不發(fā)生滑脫時(shí)手對磚夾的抓握力TB需滿足的條件為：

綜上，磚塊不發(fā)生滑脫現(xiàn)象，關(guān)鍵因素取決于手對磚夾的抓握力的大小.

3 磚塊在接觸面上的相互作用力

自受夾磚塊系統(tǒng)中從左往右取j塊磚為研究對象，分析第j塊磚的右側(cè)面受第j+1塊磚左側(cè)面施加的作用力.

第j 塊磚右側(cè)面上各點(diǎn)具體的受力情況如何，我們是不清楚的.然而，無論其如何分布，我們可由力系等效與簡化理論以及磚塊系統(tǒng)在力系作用下保持平衡的狀態(tài)，將第j塊磚右側(cè)面上所受約束力簡化和等效為一正壓力和與面相切向下的摩擦力作用，設(shè)力的作用點(diǎn)距磚塊上面的距離為ej，如圖4所示.

圖4 受夾磚塊在接觸面上的相互作用力分析

圖4中，Nj和Fsj分別為第j塊磚受第j+1塊磚作用的正壓力和靜滑動摩擦力，N；ej為第j塊磚受第j+1塊磚作用的等效力作用點(diǎn)距磚塊上方的尺寸，m；j為磚塊的位置編號，為自然數(shù)，且j?［1，n］.

當(dāng)j 取n 時(shí)，Nj和Fsj表示圖3（a）中磚塊系統(tǒng)在夾持點(diǎn)D 的受力情況，則受夾磚塊系統(tǒng)內(nèi)部磚塊在接觸面上相互的作用力，其需滿足的邊界條件為：

對于圖4所示的磚塊系統(tǒng)，由靜力學(xué)平衡得：

3.1 各磚塊在接觸面上的正壓力

結(jié)合式（7）可知，Nj=ND.由此可見，式（19）滿足式（15-1）表示的邊界條件.式（19）表明，受夾磚塊系統(tǒng)內(nèi)部各磚塊在接觸面上相互作用的正壓力大小相同.

3.2 各磚在接觸面上的靜滑動摩擦力

由式（8）和式（17）得第j塊磚頭受第j+1塊磚的靜滑動摩擦力Fsj為：

當(dāng)j取n時(shí)，由式（20）得FSn=-nG/2，這說明該界面上實(shí)際所受靜滑動摩擦力的指向與圖4所示相反，即實(shí)際為向上方向，與圖3（a）所示情況完全一致.因此，式（20）滿足式（15-2）表示的邊界條件.

由式（20）可知，磚塊系統(tǒng)內(nèi)各磚塊在接觸面上所受靜滑動摩擦力呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢.從而，受夾磚塊系統(tǒng)中存在靜滑動摩擦力取得最小的接觸面，該最小靜滑動摩擦力的具體情況為：

（1）當(dāng)磚塊數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，磚塊系統(tǒng)內(nèi)的磚塊在相互接觸面上有靜滑動摩擦力為0的情況.此時(shí)，由式（20）得j=n/2，即第n/2塊磚與第1+n/2塊磚在接觸面上沒有靜滑動摩擦力的作用；

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，j=n/2不是整數(shù)，故第（n+1）/2塊磚的兩側(cè)面靜滑動摩擦力最小.將j=（n+1）/2代入式（20），可得磚塊數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，磚塊系統(tǒng)內(nèi)部的磚塊在接觸面上所受的最小靜滑動摩擦力為：

式（21）表明，當(dāng)受夾磚塊系統(tǒng)的磚塊數(shù)量n為奇數(shù)時(shí)，正中間的磚塊在兩側(cè)面上受到的靜滑動摩擦力最小，其值為單塊磚重量的1/2，負(fù)號表示靜滑動摩擦力的方向與圖4 所示方向相反，即實(shí)際指向向上.

3.3 各磚在接觸面上受力的作用位置

由式（18）～式（20）得第j塊磚受第j+1塊磚作用力的等效作用點(diǎn)位置參量ej為

當(dāng)j取n時(shí)ej對應(yīng)于圖3（a）中點(diǎn)D位置，則各磚塊在接觸面上，正壓力和摩擦力的等效作用點(diǎn)應(yīng)滿足邊界條件

顯然，式（22）滿足式（23）表示的等效作用點(diǎn)對應(yīng)的邊界條件.

式（22）表明，第j 塊磚受第j+1 塊磚作用力的等效作用點(diǎn)位置參量ej是磚塊位置編號j 的函數(shù).因ej是j的函數(shù)，則由式（22）可得

令?ej/?j=0，由（24）可得j=n/2.從而，當(dāng)j＜n/2時(shí)?ej/?j＜0；而當(dāng)j＞n/2時(shí)?ej/?j＞0.結(jié)合函數(shù)增減性判別準(zhǔn)則［5］可知：

（1）當(dāng)j＜n/2時(shí)?ej/?j＜0，表明ej隨著j的增大而減?。?/p>

（2）當(dāng)j＞n/2時(shí)?ej/?j＞0，表明ej隨著j的增大而增大.

因此，ej在j=n/2處取得最小值，該最小值為

4 磚夾能夾起磚塊的數(shù)量

受夾磚塊系統(tǒng)的各塊磚之間相互作用力得等效作用位置須在交界面上，則ej的最小值應(yīng)滿足：

磚塊系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)時(shí)，夾具所夾起磚塊的數(shù)量達(dá)最大值.此時(shí)，由式（14）可得手對夾具的最小抓握力為

同理，由式（13）和式（27）可得極限平衡狀態(tài)下夾具作用于磚塊系統(tǒng)上的最小正壓力為：

注意到，系統(tǒng)處于極限平衡狀態(tài)時(shí)式（28）也可由式（8）～式（10）直接導(dǎo)出.

由式（30）可見，當(dāng)c=h/2時(shí)，磚夾所能夾起磚塊的最大數(shù)量與文獻(xiàn)［2］的結(jié)論完全一致.然而，工人夾磚時(shí)，磚夾的夾持位置具有不確定性.因此，本文的分析更具有一般性，相應(yīng)結(jié)果具有普適性，文獻(xiàn)［2］的結(jié)論僅為本文的一種特例.

5 影響磚夾夾磚數(shù)量的因素

由式（30）可見，用磚夾能夾起磚塊的數(shù)量與單磚寬度、磚塊與磚夾間的摩擦系數(shù)及磚夾夾磚的具體夾持位置有關(guān).其中，磚的寬度及磚夾與磚塊間的摩擦系數(shù)為系統(tǒng)的確定量；而磚夾夾磚的位置為可變量，磚夾能夾起磚塊的數(shù)量與夾持點(diǎn)距磚塊上面的距離成正比關(guān)系.

因此，磚夾夾磚的夾持位置越低，所能夾持的磚塊數(shù)量越多.然而，磚夾能夾起磚塊的數(shù)量不僅僅只由上述3個(gè)參量確定.

首先，式（30）所確定能夾起磚塊的重量是要由工人手臂來承擔(dān).因此，工人手臂對磚夾的提拉力要與所夾磚塊重量相匹配，在此前提下磚夾方能夾起相應(yīng)數(shù)量的磚塊.將磚夾能夾起磚塊數(shù)量最多時(shí)的手臂提拉力記為FCm，則由式（3）和式（30）得：

另外，工人手握磚夾的抓握力要與所夾磚塊對應(yīng)的抓握力相匹配.只有工人手握磚夾的抓握力與所夾磚塊數(shù)量代入式（27）所得抓握力時(shí)，由式（30）確定的磚塊數(shù)量才有實(shí)際意義.將磚夾所能夾起最多磚塊數(shù)量時(shí)工人手握磚夾的握緊力記為TBm，則由式（27）和式（30）得：

因此，磚夾能夾起的磚塊數(shù)量不僅與單磚的寬度、磚塊與磚夾的靜摩擦系數(shù)及磚夾夾磚的位置有關(guān)，還與工人手臂的提拉力以及手握磚夾的最小抓握力有關(guān).

6 結(jié)論

（1）磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)中各磚塊在相互接觸面上所受的正壓力是不變的；而靜滑動摩擦力的大小和方向是隨磚塊處于系統(tǒng)中具體位置的變化而變化的。

（2）磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)中各磚塊在相互接觸面上所受的靜滑動摩擦力表現(xiàn)為先減小后增大的變化規(guī)律；當(dāng)受夾磚塊數(shù)n 為偶數(shù)時(shí)，第n/2 塊磚與第（1+n/2）塊磚在接觸面上相互作用的靜滑動摩擦力降低為零；而當(dāng)磚塊數(shù)n 為奇數(shù)時(shí)，第（n+1）/2 塊磚的兩側(cè)面上所受靜滑動摩擦力降低至最小值，其值為單磚重量的1/2。

（3）磚夾-磚塊夾持系統(tǒng)中各磚塊在接觸面上所受正壓力和靜滑動摩擦力的等效作用點(diǎn)位置，是隨磚塊處于磚塊系統(tǒng)中具體位置的變化而變化的；該等效作用點(diǎn)距磚塊上方的距離呈現(xiàn)先減小后增大的變化規(guī)律。

（4）磚夾所能夾起磚塊的數(shù)量不但與單磚的寬度、磚塊與夾具間的摩擦系數(shù)和磚塊受夾位置有關(guān)，還與工人手臂對夾具的提拉力和手對夾具的抓握力有關(guān)。