數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)的策略和路徑研究

趙彥勇，葉緒國

（1.南京審計大學(xué)，江蘇南京 211815；2.凱里學(xué)院，貴州 凱里 556011）

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是具有廣泛社會認(rèn)可度的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽之一，這項競賽是面向全國高校大學(xué)生組織的規(guī)模最大的競賽之一.許多高校為了參加此項比賽并取得優(yōu)異成績，在二年級或者三年級開設(shè)數(shù)學(xué)實驗或者建模課程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)、競賽的同時，能夠科學(xué)合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模知識解決實際問題.這也讓教育工作者意識到高校數(shù)學(xué)課程改革的必要性，思考如何在數(shù)學(xué)課程中融入建模思想和方法，體現(xiàn)素質(zhì)教育宗旨，順應(yīng)時代的需求，培養(yǎng)具有靈活的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新精神、較強(qiáng)的動手能力以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決實際應(yīng)用問題的高素質(zhì)人才.

1 數(shù)學(xué)建模的重要性和融入課堂教學(xué)的意義

數(shù)學(xué)建模是人們通過數(shù)學(xué)思維活動對抽象的“客觀存在的現(xiàn)實世界”用具體的數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)語言或數(shù)學(xué)符號來表示，通常這種表示形式需要準(zhǔn)確描述其重要且有用的特征.簡而言之，數(shù)學(xué)建模的核心是人們認(rèn)識客觀世界、揭示客觀規(guī)律的過程，體現(xiàn)了人們認(rèn)識和改造世界的能力.數(shù)學(xué)模型是人們對客觀世界中存在的問題，通過數(shù)學(xué)思維和方法對部分現(xiàn)實世界作出的具體的、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它是人們對于客觀世界認(rèn)識的結(jié)果，體現(xiàn)了事物內(nèi)在的規(guī)律和特性.數(shù)學(xué)模型是由數(shù)學(xué)公式或符號組成的，它是能表達(dá)實際問題的主要特性的近似描述，是數(shù)學(xué)建模過程中的產(chǎn)物.

數(shù)學(xué)建模的基本思想和方法是用數(shù)學(xué)的語言和方法描述客觀現(xiàn)象，表示其內(nèi)在規(guī)律和基本特征.首先將有待解決的問題轉(zhuǎn)化為計算數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建具體模型，解決數(shù)學(xué)模型中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題；然后，對所建立的數(shù)學(xué)模型，通過邏輯推理、計算或者分析，求出問題的解；最后，在原有的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際情況通過再抽象、再認(rèn)識，或者采用結(jié)論返回實踐檢驗等方法修改模型，逐漸完善.

數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有重要的意義，具體體現(xiàn)在以下三個方面：

1.1 激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的求知欲

目前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)較少地講解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的過程和形成的原因.從數(shù)學(xué)知識的發(fā)展和形成的過程來看，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的發(fā)展過程中含有豐富的數(shù)學(xué)建模素材.許多概念本身就對應(yīng)著某些實際原型，是從客觀實際的數(shù)量關(guān)系中抽象出來的數(shù)學(xué)模型.事實上，學(xué)生往往認(rèn)為具有實際應(yīng)用痕跡的數(shù)學(xué)更具有吸引力，更能激發(fā)學(xué)生的求知欲.因此，如果在高校數(shù)學(xué)課堂中，教師通過講解一些數(shù)學(xué)實際的知識背景、數(shù)學(xué)建模的思想方法和過程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家是如何從現(xiàn)實世界中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，如何構(gòu)造具體的數(shù)學(xué)模型，并通過對模型的分析和計算來解決實際問題的，這更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此教師應(yīng)從問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型，讓學(xué)生帶著問題去探索和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識.學(xué)生在思考和探索的過程中，體會到了數(shù)學(xué)的魅力，慢慢認(rèn)識到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和實用性，意識到自己在解決實際問題的過程中所擁有的數(shù)學(xué)知識和技能還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，從而對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生了強(qiáng)烈的求知欲望，這樣就能有效地提高學(xué)習(xí)效率.

1.2 增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)

高校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程具有抽象程度高、內(nèi)容多、課時少的特點(diǎn)，任課教師通常采用“概念—定理—證明—例題—習(xí)題”這種傳統(tǒng)的教學(xué)方式.這種教學(xué)方式雖然培養(yǎng)和增強(qiáng)了學(xué)生的空間想象能力、數(shù)學(xué)思維能力和運(yùn)算能力，卻忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和技能的培養(yǎng).學(xué)生往往不了解數(shù)學(xué)概念和定理的由來，不知道學(xué)了數(shù)學(xué)有什么實際用途.部分學(xué)生是為了學(xué)分或是成績而學(xué)數(shù)學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生處于被動接受知識的狀態(tài)，缺乏學(xué)習(xí)興趣，對數(shù)學(xué)望而生畏.將數(shù)學(xué)建模思想方法融入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，也就是從現(xiàn)實世界中發(fā)現(xiàn)和提煉數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言或者數(shù)學(xué)模型描述實際問題，用數(shù)學(xué)工具給出解答，可以在一定程度上增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)在能力培養(yǎng)方面的不足.

1.3 促進(jìn)教師知識和能力的更新

對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的教學(xué)，教師往往比較重視理論的證明和運(yùn)算，較少涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用和計算機(jī)技術(shù)能力的培養(yǎng).學(xué)生獲取的專業(yè)知識在結(jié)構(gòu)上往往顯得單一，應(yīng)用性不強(qiáng).近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件已迫在眉睫.例如Matlab等都是常用的數(shù)學(xué)軟件，這些數(shù)學(xué)軟件也是數(shù)學(xué)建模經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)工具，如果將軟件教學(xué)融入數(shù)學(xué)課堂，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的思想和方法的理解，對全面素質(zhì)教育和培養(yǎng)創(chuàng)新性復(fù)合人才具有重要的意義.這就需要任課教師不斷更新自己的專業(yè)知識，學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，提高自己的業(yè)務(wù)水平和科研能力.

2 建模思想融入課堂教學(xué)的實施策略

在新時代高素質(zhì)人才需求的背景下，提高大學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新意識是大勢所趨.如何將數(shù)學(xué)建模思想循序漸進(jìn)地融入課堂教學(xué)，需要我們從轉(zhuǎn)變教學(xué)觀點(diǎn)、轉(zhuǎn)變教學(xué)模式、重構(gòu)學(xué)習(xí)評價體系和完善建模思想內(nèi)容這幾個方面入手.

2.1 轉(zhuǎn)變教學(xué)觀點(diǎn)

高校教師想把數(shù)學(xué)建模思想無縫對接地融入課堂教學(xué)，關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀點(diǎn).要充分認(rèn)識到它與傳統(tǒng)的教學(xué)過程并不矛盾，能給課堂教學(xué)帶來新元素和新氣息.在日常教學(xué)活動中，要把傳統(tǒng)教學(xué)方法和建模思想有機(jī)結(jié)合起來.數(shù)學(xué)的應(yīng)用需要基礎(chǔ)，缺乏基礎(chǔ)的應(yīng)用沒有保障，把建模思想融入到課堂教學(xué)中，沒有削弱數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的地位，它與單純地上數(shù)學(xué)建模課也不同，它的目的依舊是按照教學(xué)大綱和教學(xué)目標(biāo)講授核心概念內(nèi)容，建模思想的融入只是起配角作用，要使用樸實、簡明、扼要的背景和案例，起到“潤物無聲”的效果.

2.2 轉(zhuǎn)變教學(xué)模式

財經(jīng)類高校中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)與其他類型的高校有所不同，財經(jīng)類高校的教學(xué)目標(biāo)實用性要更強(qiáng)，并且注重數(shù)學(xué)知識在經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域的應(yīng)用，因此，財經(jīng)類院校教師在教學(xué)活動中需引入經(jīng)濟(jì)金融案例，注重培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和技能.數(shù)學(xué)課程還是其他學(xué)科的理論基礎(chǔ)，因此要著重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力.隨著人工智能時代的到來，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代教學(xué)的要求，融入建模思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必然趨勢.以南京審計大學(xué)為例，在第二學(xué)年會開展數(shù)學(xué)建模課程學(xué)習(xí)，學(xué)生首先要掌握基本的數(shù)學(xué)方法和原理，把它們合理地用于解決遇到的經(jīng)濟(jì)金融問題.組織模式最好是小組合作，每組3-5位學(xué)生，教師給出具體案例或?qū)嶋H問題，學(xué)生在組長引領(lǐng)下自主選擇模型學(xué)習(xí)和探討，分組匯報，再由教師進(jìn)行總結(jié)，這樣能有效提升學(xué)生的自主創(chuàng)新和團(tuán)隊協(xié)作能力.

2.3 重構(gòu)學(xué)習(xí)評價體系

一般的學(xué)習(xí)評價體系是以學(xué)生的綜合考試測評作為主要參考指標(biāo)，事實上，這種評價方式并不能綜合地評價學(xué)生的學(xué)習(xí)和動手能力，并且也不能達(dá)到促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、提高數(shù)學(xué)思維和動手能力的效果.因此，教師在將數(shù)學(xué)建模思想融入基礎(chǔ)教學(xué)課堂的過程中，需要重新建立教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)評價體系.評價指標(biāo)可以分為學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中的互相配合和動手能力、建立數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)新性和實用性、數(shù)學(xué)綜合考試測評等多方面內(nèi)容.例如，在班級內(nèi)成立評價和監(jiān)督委員會，在學(xué)習(xí)過程中對學(xué)生提出疑問，給出建議，互相交流并督促學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù).在任課教師講授過教材內(nèi)容后，對學(xué)生建立的數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)新性和實用性給出評價和意見，學(xué)生根據(jù)教師的指導(dǎo)做出相應(yīng)的修正和完善.這樣，學(xué)生在這種互相討論、配合、主動動手不斷修正的過程中學(xué)習(xí)和理解了所學(xué)知識，并循序漸進(jìn)地提高了綜合能力.因此，重構(gòu)學(xué)習(xí)評價體系的最終目的是提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

2.4 完善建模思想內(nèi)容

高校教師為了將建模思想充分融入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)中，就需要完善數(shù)學(xué)建模的思想內(nèi)容.首先，教師要先讓學(xué)生充分了解高校數(shù)學(xué)的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容，如教師在講授導(dǎo)數(shù)的定義及其作用、函數(shù)的最大值和最小值等內(nèi)容時，應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)這些數(shù)學(xué)知識對于本專業(yè)的基礎(chǔ)應(yīng)用價值；然后，教師從現(xiàn)實生活中引入一個具有強(qiáng)烈數(shù)學(xué)建模思想的數(shù)學(xué)問題，如在計算導(dǎo)數(shù)求解最值時，教師先讓學(xué)生了解最值的意義，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)通過導(dǎo)數(shù)求解最值的學(xué)習(xí)可以處理成本與利潤之間的關(guān)系；最后，要讓學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中形成良好的應(yīng)用意識，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模打下良好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ).這種教學(xué)方式不僅能提高學(xué)生自主解決實際問題的能力，而且可以提高數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量.

3 建模思想融入課堂教學(xué)的路徑探索

大多數(shù)人認(rèn)為數(shù)學(xué)是由一堆難懂的公式和抽象的證明組成的，并沒有太多的實際用處，學(xué)好了證明和計算便學(xué)好了數(shù)學(xué)，但事實并非如此，數(shù)學(xué)最基本的特性就是廣泛的應(yīng)用性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識就是為了實現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂中，教師更多關(guān)注理論知識教學(xué)，并沒有充分拓展數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.那么，數(shù)學(xué)到底是怎樣用來解決實際問題呢？數(shù)學(xué)的公式和符號怎么解決現(xiàn)實問題呢？首先，我們要將現(xiàn)實問題用數(shù)學(xué)語言和方法進(jìn)行描述，體現(xiàn)出實際現(xiàn)象的主要特性，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.再利用已有知識解決數(shù)學(xué)問題，達(dá)到解決實際問題的目的.這個問題轉(zhuǎn)化的過程就是數(shù)學(xué)建模.因此，從數(shù)學(xué)一開始產(chǎn)生就是在不斷進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.教師要從數(shù)學(xué)知識形成過程中引入數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生從源頭上重新認(rèn)識數(shù)學(xué)定理和概念，打破學(xué)生對數(shù)學(xué)公式、定理等枯燥無味的固有認(rèn)識，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)定理的理解.同時，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中，自己動手，借助計算機(jī)，嘗試數(shù)學(xué)應(yīng)用，在畢業(yè)以后也能夠更好地適應(yīng)社會的需求.我們嘗試從以下兩個例子來講解如何在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想方法.

3.1 從數(shù)學(xué)知識形成過程中引入數(shù)學(xué)建模思想

例1矩陣定義的講解及其加（乘）法運(yùn)算.

在傳統(tǒng)的講解過程中，學(xué)生較難理解矩陣的運(yùn)算法則：對于兩個矩陣A和B，矩陣A加B時，為何A和B的行數(shù)與列數(shù)要分別對應(yīng)相等；矩陣A乘B時，A的列數(shù)與B的行數(shù)為何要一樣；若AB=C，Cij為何是A的第i行與B的第j列對應(yīng)元素乘積之和；為何交換律不適應(yīng)于矩陣乘法.為了解答學(xué)生的這些疑問，我們采用以下實例為背景進(jìn)行講解.

設(shè)學(xué)校高二有一班、二班、三班、四班、五班、六班6個班級參加數(shù)學(xué)競賽和英語競賽，每項競賽的前五名得分并有現(xiàn)金獎勵.前五名得分分別記10，8，6，4，2 分，對應(yīng)得獎金100，80，60，40，20元.已知各班級的數(shù)學(xué)競賽和英語競賽的成績記錄如表1和表2.

表1 數(shù)學(xué)競賽成績

表2 英語競賽成績

首先，根據(jù)上表導(dǎo)出矩陣的定義.如果用矩陣A1和A2分別表示數(shù)學(xué)競賽和英語競賽的成績.用矩陣B表示對應(yīng)的獎金.則有：

各班級數(shù)學(xué)競賽和英語競賽的排名和成績用A來表示，即A=A1+A2，因此可知矩陣加法是兩個行數(shù)和列數(shù)都相等的矩陣，把對應(yīng)元素相加得到新矩陣.英語競賽后各班級的得分與獎金用C1來表示，且C1=A1B.通過上例可到矩陣乘法定義.顯然，矩陣相乘必須要求A的列數(shù)和B的行數(shù)相等.同時，觀察到C的元素Cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對應(yīng)相乘之和.不難發(fā)現(xiàn)，B的列數(shù)與A的行數(shù)不相等，因此它們的元素不能對應(yīng)相乘，也就是說矩陣B不能與A相乘，因此，交換律并不適應(yīng)于矩陣乘法.再根據(jù)數(shù)學(xué)競賽和英語競賽后各隊的得分與獎金表示：A1B+A2B=(A1+A2)B，可直觀地得出矩陣乘法滿足加法的分配律，由此再回到課本上引導(dǎo)學(xué)生從理論上證明矩陣加（乘）法的法則及其運(yùn)算律，從而使學(xué)生更加理性的認(rèn)識和深刻的理解矩陣運(yùn)算法則的必然性和合理性.

3.2 在解決實際問題中引入數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模是利用已有知識對現(xiàn)實問題構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過分析、計算和迭代等方法處理后得到定量的結(jié)果，為人們對實際問題作分析、預(yù)報、決策和控制提供理論依據(jù).在解決實際問題中引入數(shù)學(xué)建模，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識去描述和解決實際問題，不但加強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用已學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和方法進(jìn)行綜合分析和應(yīng)用的能力.

例2“吸煙有害健康”公益宣傳活動要在電臺、網(wǎng)絡(luò)、報紙上刊登宣傳，目的是讓更多的人了解吸煙的危害，減少抽煙，表3是宣傳活動的調(diào)查結(jié)果.

表3 “吸煙有害健康”公益宣傳活動調(diào)查結(jié)果

現(xiàn)在，我們希望總的播放費(fèi)用不超過1000（千元），并且要求：至少要有300萬男性受到“吸煙有害健康”公益宣傳活動的影響；電臺的播放費(fèi)用不超過600（千元）；電臺播放白天至少播出4次，晚上至少播出3次；通過網(wǎng)絡(luò)、報紙宣傳需要重復(fù)6-9次.

解：令x1，x2，x3，x4分別表示電臺白天、電臺晚上、網(wǎng)絡(luò)和報紙公益宣傳活動的次數(shù).由于總的播放費(fèi)用不超過1000（千元）的約束條件，所以：40x1+60x2+20x3+15x4≤1000；受宣傳活動影響的男性人數(shù)的約束條件為：200x1+400x2+300x3+100x4≥30000；電臺的播放費(fèi)用和宣傳次數(shù)的約束條件為：40x1+60x2≤600，x1≥4，x2≥3；網(wǎng)絡(luò)、報紙的宣傳次數(shù)的約束條件為：6 ≤x3≤9，6 ≤x4≤9；受“吸煙有害健康”公益宣傳活動影響的人數(shù)：Z=500x1+1000x2+400x3+300x4；故完整的線性規(guī)劃如下：maxZ=500x1+1000x2+400x3+300x4，

通過Matlab軟件便可求解上述線性規(guī)劃模型.

4 總結(jié)

隨著人工智能時代的到來，社會對具有較強(qiáng)動手能力和靈活運(yùn)用知識解決現(xiàn)實問題的高素質(zhì)人才的需求越來越多，數(shù)學(xué)建模適應(yīng)時代的需求，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和邏輯思維能力.在課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想可以激發(fā)學(xué)生的求知欲、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、促進(jìn)教師知識和能力的更新.在計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的新形勢下，專任教師應(yīng)該在課堂中轉(zhuǎn)變教學(xué)觀點(diǎn)、轉(zhuǎn)變教學(xué)模式、重構(gòu)學(xué)習(xí)評價體系、完善建模思想內(nèi)容，通過從數(shù)學(xué)知識形成過程中引入數(shù)學(xué)建模思想以及在解決實際問題中引入數(shù)學(xué)建模更好地培養(yǎng)適應(yīng)社會需要的數(shù)學(xué)人才.