基于泰勒展開的航空材料拉伸檢測(cè)不確定度研究

王艾倫 尚 進(jìn) 曹 瑋

（中國(guó)航發(fā)上海商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)制造有限責(zé)任公司，上海 200000）

1 背景

由實(shí)驗(yàn)室設(shè)備檢測(cè)得到的試樣的測(cè)量值，僅僅是被測(cè)量的估計(jì)值，測(cè)量過程中有很多隨機(jī)因素以及系統(tǒng)效應(yīng)，均會(huì)導(dǎo)致不確定度[1-3]。不確定度的評(píng)定方法流程主要包含分析不確定度影響因素并建立數(shù)學(xué)模型、評(píng)定測(cè)量不確定度、計(jì)算合成不確定度、計(jì)算擴(kuò)展不確定度等四個(gè)步驟[4]。不確定度描述了測(cè)量結(jié)果的正確性的可疑程度或不肯定程度。對(duì)于金屬材料和非金屬材料的力學(xué)理化性能參量進(jìn)行測(cè)量的時(shí)候，不論試驗(yàn)人員、試驗(yàn)儀器設(shè)備、試驗(yàn)樣品、試驗(yàn)方法、試驗(yàn)環(huán)境等多方面的因素如何完善，其值的測(cè)量結(jié)果也會(huì)存在不確定性[5-7]。隨著國(guó)內(nèi)外航空航天等高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)的飛速發(fā)展，在很多測(cè)量過程中，特別是材料性能的測(cè)量試驗(yàn)中，都需要評(píng)定試驗(yàn)結(jié)果的不確定度以及其可靠的概率[8-10]。

在實(shí)際檢測(cè)中，有很多影響因素可能導(dǎo)致不確定度的來源。例如：被測(cè)量的復(fù)現(xiàn)不理想；對(duì)被測(cè)量由于環(huán)境條件影響認(rèn)識(shí)不足；測(cè)量?jī)x器的計(jì)量性能的局限性等因素[11]。針對(duì)拉伸性能的檢測(cè)過程，國(guó)內(nèi)外學(xué)者大致將結(jié)果的影響因素分為四大類：即重復(fù)性引入的測(cè)量不確定度；試驗(yàn)機(jī)載荷引入的測(cè)量不確定度；待測(cè)樣品的尺寸測(cè)量引入的測(cè)量不確定度以及檢測(cè)速率引入的測(cè)量不確定度等[12-13]。國(guó)內(nèi)外相關(guān)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)針對(duì)拉伸檢測(cè)的測(cè)量不確定度評(píng)定均有一定的要求，但都沒有一套完整的方案來進(jìn)行評(píng)定。特別是針對(duì)航空材料拉伸檢測(cè)測(cè)量不確定度的研究較少，目前針對(duì)重復(fù)性、試驗(yàn)機(jī)載荷以及檢測(cè)速率的研究已經(jīng)有了一定的進(jìn)展；但針對(duì)待測(cè)樣品的尺寸測(cè)量引入的測(cè)量不確定度仍較為困難。本文主要考慮泰勒公式的展開式，進(jìn)行航空材料拉伸檢測(cè)測(cè)量不確定度研究。

2 理論分析

2.1 泰勒公式

泰勒公式，主要應(yīng)用在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域，是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。泰勒公式得名于英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒，公式如下：

其中f(n)(x0)表示f(x)的第n 階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)右側(cè)的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項(xiàng)，是(x-x0)n 的高階無窮小。

2.2 (1-x)-1 的展開式

研究待測(cè)樣品的尺寸測(cè)量引入的測(cè)量不確定度，主要是研究如何將測(cè)量設(shè)備的尺寸檢測(cè)測(cè)量不確定度(長(zhǎng)度單位，通常為mm)轉(zhuǎn)化為針對(duì)待測(cè)樣品的尺寸測(cè)量引入的其它檢測(cè)測(cè)量不確定度(強(qiáng)度單位，通常為MPa 或無量綱單位，通常為%)。由于尺寸的測(cè)量值主要集中在數(shù)學(xué)模型的分母處，例如抗拉強(qiáng)度(MPa)為載荷(kN)與待測(cè)樣品的橫截面積(mm2)的比值。因此選擇(1-x)-1的展開式進(jìn)行后續(xù)的研究，(1-x)-1展開式在x 趨近于0 時(shí)，其形式如下：

由于測(cè)量不確定度本身就是測(cè)量過程中的一個(gè)極微小的量，該值與被測(cè)量估計(jì)值的比值基本可以認(rèn)為是一個(gè)趨近于0的數(shù)值，二階小量以及后續(xù)的余項(xiàng)忽略不計(jì)。因此本文研究只考慮展開式的一階項(xiàng)進(jìn)行后續(xù)研究。

3 針對(duì)待測(cè)樣品的尺寸測(cè)量引入的測(cè)量不確定度

3.1 抗拉強(qiáng)度

拉伸檢測(cè)抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型如下公式：Rm=Fm/S0

式中Rm表示抗拉強(qiáng)度，F(xiàn)m表示試驗(yàn)過程中載荷的最大值，S0表示待測(cè)樣品的原始橫截面積。

應(yīng)用泰勒公式展開并忽略二階小量后，可以得到：

因此可以得到：

3.2 屈服強(qiáng)度

拉伸檢測(cè)屈服強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型如下公式：R0.2=F0.2/S0

式中R0.2表示抗拉強(qiáng)度，F(xiàn)0.2表示試驗(yàn)過程中塑性應(yīng)變?yōu)?.2%時(shí)的載荷值，S0表示待測(cè)樣品的原始橫截面積。由于屈服強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)模型相似程度較高，此處不做推導(dǎo)，給出：

3.3 斷后伸長(zhǎng)率

拉伸檢測(cè)斷后伸長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)模型如下公式：Z=(Lu-L0)/L0

式中Lu表示斷后標(biāo)距，L0表示原始標(biāo)距。由于兩個(gè)參量均通過尺寸測(cè)量設(shè)備直接獲得，因此需要分別考慮兩者引入的測(cè)量不確定度。

首先計(jì)算由原始標(biāo)距測(cè)量引入的測(cè)量不確定度，對(duì)

應(yīng)用泰勒公式展開并忽略二階小量后，可以得到：

因此可以得到：

然后計(jì)算由斷后標(biāo)距測(cè)量引入的測(cè)量不確定度：

因此可以得到：

3.4 斷面收縮率

拉伸檢測(cè)斷面收縮率的數(shù)學(xué)模型如下公式：A=(S0-Su)/S0

式中Su表示斷后橫截面積，S0表示原始橫截面積。由于兩個(gè)參量均通過尺寸測(cè)量設(shè)備直接獲得，因此需要分別考慮兩者引入的測(cè)量不確定度。由于斷面收縮率與斷后伸長(zhǎng)率的數(shù)學(xué)模型相似程度較高，此處不做推導(dǎo)，但需要說明的由原始橫截面積測(cè)量引入的測(cè)量不確定度推導(dǎo)過程與斷后標(biāo)距測(cè)量引入的測(cè)量不確定度類似；同樣的，由斷后橫截面積測(cè)量引入的測(cè)量不確定度推導(dǎo)過程與原始標(biāo)距測(cè)量引入的測(cè)量不確定度類似。給出：

并且：

4 數(shù)據(jù)分析

4.1 拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度的求解

本文研究分析拉伸檢測(cè)測(cè)量不確定度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)選擇5 組同批次3D 打印合金來進(jìn)行計(jì)算，主要應(yīng)用位置位于發(fā)動(dòng)機(jī)燃油噴嘴處，試驗(yàn)數(shù)據(jù)經(jīng)過修約后列于表1 中，修約規(guī)則參考ASTM E8/E8M執(zhí)行。

表1 同批次3D 打印合金試驗(yàn)數(shù)據(jù)

除去尺寸測(cè)量因素引入的測(cè)量不確定度，本文研究還考慮了其它影響因素，例如重復(fù)性、載荷以及檢測(cè)速率等，相關(guān)參數(shù)列于表2 中。根據(jù)ASTM E8/E8M的相關(guān)要求，本文研究選擇的尺寸測(cè)量設(shè)備為數(shù)顯游標(biāo)卡尺，經(jīng)過校準(zhǔn)得到其測(cè)量不確定度為0.01mm，進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于斷后伸長(zhǎng)率，ud0（mm）可以看作是L0的高階無窮小，因此原始標(biāo)距測(cè)量引入的測(cè)量不確定度忽略不計(jì)；同樣的，對(duì)于斷面收縮率，2ud0（mm）可以看作是d0的高階無窮小，因此原始橫截面積測(cè)量引入的測(cè)量不確定度忽略不計(jì)。其它影響因素引入的測(cè)量不確定度根據(jù)表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算。

表2 拉伸檢測(cè)影響因素導(dǎo)致的測(cè)量不確定度

通常情況下，取置信概率為95%計(jì)算擴(kuò)展不確定度，此時(shí)包含因子k=2。因此得到拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度，如表3 所示。

表3 直接計(jì)算給出的拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度

4.2 拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度的分析

本文研究選用同批次多組相同工藝的3D 打印合金試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度的分析。將抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長(zhǎng)率以及斷面收縮率等數(shù)據(jù)和其所對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展不確定度的上下門限值共同繪制在統(tǒng)一曲線圖中，如圖1 至圖4 所示。

圖1 抗拉強(qiáng)度擴(kuò)展不確定度與試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布

圖2 屈服強(qiáng)度擴(kuò)展不確定度與試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布

圖3 斷后伸長(zhǎng)率擴(kuò)展不確定度與試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布

圖4 斷面收縮率擴(kuò)展不確定度與試驗(yàn)數(shù)據(jù)分布

經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度等檢測(cè)項(xiàng)目來說，同批次多組相同工藝的試驗(yàn)數(shù)據(jù)完全落在了不確定度的上下門限內(nèi)，本文研究給出的擴(kuò)展不確定度計(jì)算方法和樣本數(shù)量對(duì)于預(yù)測(cè)該種材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度的擴(kuò)展不確定度范圍是可行的。對(duì)于斷后伸長(zhǎng)率等檢測(cè)項(xiàng)目來說，只有少數(shù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在了不確定度評(píng)定的上下門限內(nèi)，大部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)低于不確定度的下限值。對(duì)于斷面收縮率等檢測(cè)項(xiàng)目來說，約有一半的試驗(yàn)數(shù)據(jù)落在了不確定度評(píng)定的上下門限內(nèi)，少部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)低于不確定度的下限值。分析其主要原因有如下幾點(diǎn)：首先，即便對(duì)于同批次多組相同工藝的試樣來說，斷后伸長(zhǎng)率以及斷面收縮率受機(jī)械加工工藝、材料內(nèi)部缺陷以及試樣表面狀態(tài)等多種不確定因素的影響較大，因此導(dǎo)致結(jié)果的分散程度較高；其次，斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率需要手動(dòng)進(jìn)行尺寸測(cè)量，測(cè)量過程的精準(zhǔn)程度直接作用于結(jié)果的準(zhǔn)確程度，人為因素影響較大。而抗拉強(qiáng)度或屈服強(qiáng)度等數(shù)值由試驗(yàn)設(shè)備直接給出，幾乎不存在人為因素的干擾；最后，斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率對(duì)于計(jì)算不確定度所選取的樣本數(shù)量較為敏感，應(yīng)該擴(kuò)大樣本的數(shù)量以得到更為精確的不確定度范圍。綜上所述，本文研究給出的擴(kuò)展不確定度計(jì)算方法和樣本數(shù)量選擇對(duì)于預(yù)測(cè)該種材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的測(cè)量不確定度范圍較為保守，上下門限值較為接近，為進(jìn)一步避免人為因素導(dǎo)致的影響，后續(xù)可以擴(kuò)充樣本數(shù)量或建立數(shù)據(jù)庫進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算。

4.3 優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計(jì)算方法

基于上述章節(jié)樣本數(shù)量對(duì)于斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率計(jì)算不確定度所造成的影響，本文研究通過增加樣本數(shù)量的方法來進(jìn)行優(yōu)化。由于擴(kuò)展不確定度的計(jì)算過程較為復(fù)雜，隨著樣本數(shù)量的增多，計(jì)算量逐步增加；但是其計(jì)算過程較為固化，因此考慮引入信息化手段建立數(shù)據(jù)庫通過動(dòng)態(tài)計(jì)算擴(kuò)展不確定度，來解決上述問題。如圖5 所示，為根據(jù)泰勒展開公式編寫的拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度計(jì)算系統(tǒng)。系統(tǒng)主要設(shè)計(jì)思路是將本文中拉伸檢測(cè)抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的計(jì)算方法通過代碼嵌入系統(tǒng)中，設(shè)計(jì)可視化的界面來進(jìn)行操作。每次輸入的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以導(dǎo)入數(shù)據(jù)庫，并保存下來，作為后續(xù)相同批次拉伸試樣的計(jì)算樣本；此外通過固化流程，使得計(jì)算過程較為便捷準(zhǔn)確。

圖5 擴(kuò)展不確定度動(dòng)態(tài)計(jì)算系統(tǒng)界面

拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度評(píng)定系統(tǒng)軟件主要包含試驗(yàn)數(shù)據(jù)模塊、試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算模塊、參數(shù)選擇模塊和擴(kuò)展不確定度計(jì)算模塊等六個(gè)模塊。試驗(yàn)數(shù)據(jù)模塊主要用于某次試驗(yàn)結(jié)果的輸入，主要通過輸入某次拉伸試驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果，包含兩個(gè)關(guān)鍵強(qiáng)度值結(jié)果和尺寸測(cè)量結(jié)果等。試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算模塊主要用于通過輸入的尺寸測(cè)量結(jié)果由軟件計(jì)算得到兩個(gè)關(guān)鍵尺寸變化率結(jié)果。提示框模塊主要用于通過提示用戶下一步的操作，或是在用戶執(zhí)行錯(cuò)誤操作后，給予一定的建議和解決方案。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)模塊可以實(shí)現(xiàn)某次試驗(yàn)結(jié)果的輸入，主要通過輸入拉伸試驗(yàn)檢測(cè)的幾項(xiàng)關(guān)鍵數(shù)據(jù)來進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算工作，并將試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入數(shù)據(jù)庫。該模塊主要包含6 個(gè)輸入接口組成。輸入接口包含屈服強(qiáng)度、抗拉強(qiáng)度、初始直徑、斷后直徑、初始標(biāo)距和斷后標(biāo)距6 個(gè)參數(shù)。如圖6 所示，為一個(gè)拉伸試樣的擴(kuò)展不確定度計(jì)算的算例。

圖6 擴(kuò)展不確定度計(jì)算算例

借助優(yōu)化后擴(kuò)展不確定度計(jì)算系統(tǒng)，重新計(jì)算同批次多組相同工藝的3D 打印合金斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度，結(jié)果如表4 所示。對(duì)比4.2 章節(jié)圖中相關(guān)數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)擴(kuò)展不確定度的上下門限值范圍已經(jīng)超過20%，顯然已經(jīng)可以涵蓋所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)。本文研究給出的優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計(jì)算方法和信息化系統(tǒng)對(duì)于預(yù)測(cè)該種材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度范圍是可行的。

表4 信息化系統(tǒng)給出的拉伸檢測(cè)擴(kuò)展不確定度

5 結(jié)論

給出了一種基于泰勒展開的航空材料拉伸檢測(cè)測(cè)量不確定度計(jì)算方法。通過理論分析，得到了針對(duì)待測(cè)樣品的尺寸測(cè)量引入的測(cè)量不確定度在抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率等檢測(cè)項(xiàng)目的表達(dá)式。該表達(dá)式可以直接應(yīng)用于測(cè)量不確定度的計(jì)算，對(duì)于拉伸檢測(cè)等試驗(yàn)、控制與測(cè)試過程具有工程價(jià)值。

選取同批次5 組相同工藝的3D 打印合金試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行拉伸檢測(cè)測(cè)量不確定度的計(jì)算，計(jì)算得到了該種航空材料抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度、斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度。

通過對(duì)比分析多組相同工藝的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，結(jié)果表明本文研究給出的測(cè)量不確定度計(jì)算方法和樣本數(shù)量對(duì)于預(yù)測(cè)該種材料的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度的測(cè)量不確定度范圍是可行的；設(shè)計(jì)信息化系統(tǒng)通過擴(kuò)充樣本數(shù)量并建立數(shù)據(jù)庫進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算，得到優(yōu)化后的擴(kuò)展不確定度計(jì)算方法和信息化系統(tǒng)對(duì)于預(yù)測(cè)該種材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的擴(kuò)展不確定度范圍是可行的。