基于擴(kuò)展有限元法的裂紋擴(kuò)展問題的研究

蘇毅 陳慶遠(yuǎn) 劉攀 王瑤瑤

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院航空工程學(xué)院，河南鄭州 450046）

1 概述

任何結(jié)構(gòu)材料和構(gòu)件中不可避免存在著類如裂紋、孔洞和夾雜等這種強(qiáng)弱不連續(xù)間斷，這種間斷的存在和擴(kuò)展，使工程結(jié)構(gòu)的承載能力降低，尤其是裂紋的快速擴(kuò)展會嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)元件的壽命，最終影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的安全。因此，研究裂紋的擴(kuò)展規(guī)律，對結(jié)構(gòu)的安全設(shè)計(jì)具有重要的意義。

有限元法是目前應(yīng)用最廣、最成熟的數(shù)值分析方法，也常用來研究工程結(jié)構(gòu)中的裂紋問題。但有限元法形函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，而在處理裂紋斷裂問題時(shí)，需要特殊處理，特別是為了克服裂紋尖端奇異性問題，在裂尖區(qū)域劃分的網(wǎng)格很細(xì)密，隨著裂紋的擴(kuò)展，要持續(xù)重新劃分網(wǎng)格。這使得有限元在處理不連續(xù)問題計(jì)算時(shí)很復(fù)雜，效率極低。此外，還涉及到網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)間的數(shù)據(jù)映射問題。為了克服有限元法在網(wǎng)格上的問題，1999 年，西北大學(xué)Belytschko 團(tuán)隊(duì)提出了擴(kuò)展有限元法（XFEM）[1-3]。相比常規(guī)有限元法，XFEM 在處理強(qiáng)弱間斷問題上，有極大的優(yōu)勢。因此，自其問世以后就得到全世界學(xué)者的廣泛關(guān)注，取得了極大的發(fā)展。Fries 等[4]詳細(xì)介紹了基于線彈性斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元法來模擬脆性斷裂問題的方法。底月蘭等[5]探討了影響裂紋擴(kuò)展的主要因素，并對基于擴(kuò)展有限元法的裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行了綜述。張文東等[6]以ABAQUS 為平臺，利用擴(kuò)展有限元法功能優(yōu)勢，應(yīng)用PYTHON 開發(fā)了多裂紋擴(kuò)展包，從而實(shí)現(xiàn)裂紋自動擴(kuò)展，且能夠計(jì)算出精確應(yīng)力強(qiáng)度因子。

本文用材料界面函數(shù)作為夾雜界面的增強(qiáng)函數(shù)，用Heaviside 函數(shù)作為貫穿裂紋的增強(qiáng)函數(shù)，各向同性材料裂紋尖端位移場基函數(shù)作為裂紋尖端的增強(qiáng)函數(shù)，而裂紋擴(kuò)展方向用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則來判斷，最后用MATLAB 編制相應(yīng)的擴(kuò)展有限元法程序，從而模擬裂紋在有無孔洞和各異夾雜情況下的擴(kuò)展軌跡，并對各種情況下裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行比較。

2 不連續(xù)位移場

擴(kuò)展有限元法在有限元法的位移場中引入新的插值函數(shù)，用Heaviside 函數(shù)模擬裂紋的強(qiáng)間斷，用Westergaard 裂紋尖端奇異場函數(shù)的低階項(xiàng)模擬裂紋尖端位移場，而材料界面用材料界面的增強(qiáng)函數(shù)來模擬。如圖1 所示，引入用符號距離函數(shù)來表示域內(nèi)的不連續(xù)的界面表達(dá)式如下：

圖1 間斷區(qū)域界面示意圖

3 相互作用積分

應(yīng)力強(qiáng)度因子準(zhǔn)確獲取是至關(guān)重要的，它不僅僅能夠表示裂紋尖端的應(yīng)力場強(qiáng)度，在用最大周向拉應(yīng)力判斷裂紋擴(kuò)展方向時(shí)也不可或缺。常用J 積分來求應(yīng)力強(qiáng)度因子，但是J 積分的準(zhǔn)確度雖然好，但是對于混合型斷裂問題，很難分解出I 型和II型應(yīng)力強(qiáng)度因子。由J 積分推導(dǎo)出的相互作用積分卻能很方便的獲得混合型斷裂問題的應(yīng)力強(qiáng)度因子。相互作用積分是由實(shí)際場和輔助場共同作用的項(xiàng)組成。其表達(dá)式為

4 裂紋擴(kuò)展方向

確定裂紋擴(kuò)展方向至關(guān)重要，本文采用最大周向拉應(yīng)力理論作為裂紋擴(kuò)展理論即裂紋沿最大周向應(yīng)力的方向進(jìn)行擴(kuò)展[7]。

5 模型

圖2 帶圓形夾雜的裂紋板

5.1 考慮有無孔洞的情況，夾雜半徑R 為1.5cm，孔洞的坐標(biāo)為（6cm，9cm），半徑R1 為1.5cm

圖3 裂紋擴(kuò)展的軌跡

如圖3 所示，當(dāng)沒有孔洞的時(shí)候，夾雜為軟夾雜，裂紋擴(kuò)展軌跡偏向于夾雜，這是因?yàn)閵A雜的地方強(qiáng)度低于平板的強(qiáng)度，裂紋擴(kuò)展軌跡趨向往弱的地方擴(kuò)展，而夾雜的彈性模量越小，偏向的趨勢越明顯；而夾雜為硬夾雜時(shí)，裂紋擴(kuò)展軌跡偏離于夾雜，而夾雜的彈性模量越大，偏離的趨勢越明顯。當(dāng)有孔洞的時(shí)候，夾雜為軟夾雜，孔洞的地方強(qiáng)度是整個(gè)平板最弱的地方，裂紋擴(kuò)展軌跡偏向于孔洞的地方，夾雜的彈性模量越大，偏向孔洞，偏離夾雜的趨勢越明顯。

圖4 隨裂紋長度時(shí)，無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化

如圖4 所示，當(dāng)無孔洞的時(shí)候，圓形夾雜為硬夾雜時(shí)，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子變化先減小后增大再減小，在1 附近波動，這是因?yàn)榱鸭y尖端附近的應(yīng)力場受到夾雜的影響，彈性模量越大對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響越大，但是影響并不明顯；圓形夾雜為軟夾雜時(shí)，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子先增大后減小再增大，夾雜彈性模量越小對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響越大；有孔洞，無夾雜和無孔洞，夾雜的彈性模量為=10-3時(shí)，對裂紋尖端的無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子影響規(guī)律基本相同；當(dāng)有孔洞的時(shí)候，不管是硬夾雜還是軟夾雜，對于裂紋尖端無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，還是孔洞的存在影響最大，當(dāng)有孔洞且軟夾雜彈性模量最小的時(shí)候，裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度變化最突出。當(dāng)裂紋擴(kuò)展大大的遠(yuǎn)離孔洞和夾雜時(shí)，裂紋尖端的應(yīng)力場才不會受到影響。

5.2 考慮無孔洞，夾雜半徑R 為1.5cm，1.7cm 兩種情況

圖5 裂紋擴(kuò)展的軌跡

如圖5 所示，當(dāng)夾雜半徑為1.7cm 時(shí)，彈性模量越大，對裂紋軌跡的偏離作用越明顯，彈性模量越小，對裂紋軌跡的吸引作用越明顯；當(dāng)夾雜半徑為1.5cm 時(shí)也符合這種規(guī)律；夾雜半徑越大，對裂紋軌跡的影響越明顯；當(dāng)有孔洞時(shí)，對裂紋軌跡的吸引作用最明顯。

圖6 隨裂紋長度時(shí)，無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化

由圖6 所示，當(dāng)夾雜為硬夾雜時(shí)，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子變化先減小后增大再減小，在1 附近波動，這是因?yàn)榱鸭y尖端附近的應(yīng)力場受到夾雜的影響，夾雜半徑越大，彈性模量越大對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響越大；當(dāng)圓形夾雜為軟夾雜時(shí)，裂紋尖端無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子先增大后減小再增大，這是因?yàn)榱鸭y尖端的應(yīng)力場受到軟夾雜的影響，孔洞的半徑和夾雜半徑相同時(shí)，彈性模量為E pE＝10E-3時(shí)，無量綱應(yīng)力強(qiáng)度因子影響規(guī)律相同。

6 結(jié)論

本文介紹了擴(kuò)展有限元法在裂紋擴(kuò)展問題上的應(yīng)用。算例表明，孔洞和夾雜對裂紋的擴(kuò)展軌跡和裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子有一定的影響。在工程應(yīng)用上，可以善于孔洞和夾雜的作用，避免裂紋迅速擴(kuò)展，從而改善構(gòu)件的力學(xué)性能和可靠性。