考慮基質(zhì)多尺度擴(kuò)散的雙孔隙介質(zhì)模型*

陰昊陽,許石青*,鄭連軍

(1.貴州大學(xué) 礦業(yè)學(xué)院,貴州 貴陽 550025;2.貴州天騫質(zhì)量技術(shù)檢測中心有限公司,貴州 貴陽 550000)

隨著我國煤炭資源的開發(fā)和利用,煤層開采深度也向更深一步邁進(jìn)[1].深部煤層普遍具有瓦斯壓力大、瓦斯解吸速度快、瓦斯含量大等特點(diǎn),瓦斯治理工作難以開展,成為制約煤礦開采和井下人員安全的首要難題[2-5].瓦斯抽采是礦井瓦斯防治和瓦斯開發(fā)利用的主要手段,因此研究瓦斯抽采過程中的煤層瓦斯的運(yùn)移規(guī)律對礦井瓦斯防治和瓦斯開發(fā)利用具有重要意義.

關(guān)于煤層瓦斯運(yùn)移前人已做了大量的工作.梁冰[6]建立了瓦斯抽采的流固耦合模型,考慮了煤巖體變形及多孔介質(zhì)中瓦斯的吸附解吸對滲流特性的影響;尹光志[7]通過引入瓦斯吸附膨脹應(yīng)力參數(shù),建立了考慮骨架可變形性和氣體可壓縮性的固氣耦合動態(tài)模型;劉佳佳[8]綜合考慮了有效應(yīng)力和解吸收縮對煤體變形及滲流特性的影響,建立了流固耦合模型，對考慮Klinkenberg效應(yīng)與不考慮Klinkenberg效應(yīng)做了對比研究;趙忠明[9]基于瓦斯?jié)B流理論,得出鉆孔流量與時(shí)間的近似關(guān)系式,得出抽采負(fù)壓、鉆孔布置對鉆孔流量的影響規(guī)律.Liu[10]綜合考慮瓦斯運(yùn)移過程中的擴(kuò)散和滲流作用,提出了一種基于P-M模型的孔隙度和滲透率模型.張波[11，12]分別從不同滲透率模型和不同布孔參數(shù)對煤層瓦斯抽采效果進(jìn)行了研究.Wang[13]基于煤中割理系統(tǒng)的瓦斯流動是非達(dá)西性質(zhì)的假設(shè)下,建立了煤的形成、裂縫中的非達(dá)西流動和煤基質(zhì)中氣體擴(kuò)散的全耦合有限元模型.

前人的研究多是假設(shè)瓦斯在煤基質(zhì)的擴(kuò)散符合Fick擴(kuò)散,忽略了瓦斯在不同尺度孔隙中的擴(kuò)散.本文在雙重孔隙度模型的基礎(chǔ)上,考慮了煤基質(zhì)瓦斯的多尺度擴(kuò)散效應(yīng),提出了考慮多種擴(kuò)散方式的有效擴(kuò)散系數(shù),建立了考慮多尺度擴(kuò)散的多場耦合模型,同時(shí)考慮了有效應(yīng)力、基質(zhì)收縮以及Klinkenberg效應(yīng),為煤層瓦斯運(yùn)移及瓦斯治理提供參考.

1 煤層瓦斯多尺度擴(kuò)散特性

1.1 瓦斯在多尺度孔隙中的擴(kuò)散方式差異

由于煤中孔隙具有多尺度的特點(diǎn),煤基質(zhì)中瓦斯發(fā)生的擴(kuò)散行為包含F(xiàn)ick擴(kuò)散、Knudsen擴(kuò)散和過渡擴(kuò)散等多種擴(kuò)散方式,瓦斯在煤體中不同擴(kuò)散方式由Knudsen數(shù)劃分:

(1)

式中：Kn為Knudsen數(shù)；λ為氣體分子的路徑長度,m;d為孔隙平均直徑,m.

各類擴(kuò)散方式的劃分及擴(kuò)散系數(shù)如表1所示[14].

表1 擴(kuò)散方式的劃分及擴(kuò)散系數(shù)

表中：D為擴(kuò)散系數(shù),m2/s;кb為玻爾茲曼常數(shù);T為溫度,K;μ為流體黏度系數(shù),Pa·s;r為孔隙半徑,nm;R為理想氣體常數(shù),J/(mol·K);M為氣體分子的分子量,mol.

1.2 不同擴(kuò)散方式孔隙占比研究

在煤基質(zhì)中,存在著多尺度孔隙,煤層瓦斯運(yùn)移的過程中多種擴(kuò)散方式是共存的.不同擴(kuò)散方式所占比例根據(jù)煤基質(zhì)中不同大小孔隙決定,通過測定煤基質(zhì)中不同孔徑從而確定其中不同擴(kuò)散方式的占比.

壓汞實(shí)驗(yàn)是將水銀壓入煤體的孔隙中,通過注入壓力與汞體積之間的關(guān)系曲線得出煤體的孔隙數(shù)據(jù).低溫液氮吸附實(shí)驗(yàn)和二氧化碳吸附實(shí)驗(yàn)是根據(jù)BET多層吸附模型,氮?dú)饣蚨趸硷柡蜏囟葪l件下在固體表面發(fā)生物理吸附和毛管凝結(jié),實(shí)驗(yàn)測得氮?dú)夂投趸嫉牡葴匚?解吸曲線，進(jìn)而獲得煤體的孔隙數(shù)據(jù).使用壓汞實(shí)驗(yàn)、低溫液氮吸附實(shí)驗(yàn)和二氧化碳吸附實(shí)驗(yàn)可以對煤體孔隙進(jìn)行較為全面的表征[15].

選取貴州某煤礦7#煤層的3個煤樣,對該煤樣進(jìn)行壓汞實(shí)驗(yàn)、低溫液氮吸附實(shí)驗(yàn)和二氧化碳吸附實(shí)驗(yàn),得出的孔徑分布分別如圖1、圖2、圖3所示.

圖1 壓汞實(shí)驗(yàn)煤樣孔徑分布

圖2 低溫液氮吸附實(shí)驗(yàn)煤樣孔徑分布

圖3 二氧化碳吸附實(shí)驗(yàn)煤樣孔徑分布

根據(jù)不同的Knudsen數(shù)得出不同的臨界孔徑,以此劃分不同的孔徑范圍,臨界孔徑由Knudsen方程表示:

(2)

式中：δ為氣體分子碰撞直徑,約為0.45 nm.

根據(jù)式(2),以氣體解吸枯竭壓力0.7 MPa作為下限[16],煤基質(zhì)原始儲層溫度為30 ℃,由此得出Fick擴(kuò)散發(fā)生的臨界直徑為d>12 nm,過渡擴(kuò)散發(fā)生的臨界直徑為0.12 nm

表2 不同擴(kuò)散方式孔徑分布情況

圖4 煤樣孔徑分布

1.3 考慮多種擴(kuò)散方式的有效擴(kuò)散系數(shù)

根據(jù)折文旭提出的變直徑毛細(xì)管孔徑模型,該模型假設(shè)煤巖體基質(zhì)中氣體傳質(zhì)路徑為多根變直徑毛細(xì)管的“并聯(lián)”關(guān)系[18].因此根據(jù)Fick擴(kuò)散、Knudsen擴(kuò)散和擴(kuò)散在煤巖體中所占的比例,有效擴(kuò)散系數(shù)可表示:

(3)

式中：WFick為Fick擴(kuò)散在煤體中所占的比例;DFick為Fick擴(kuò)散系數(shù),m2/s;Wtransition為過渡擴(kuò)散在煤體中的比例;Dtransition為過渡擴(kuò)散系數(shù),m2/s;Wknudsen為Knudsen擴(kuò)散在煤體中所占的比例;DKnudsen為Knudsen擴(kuò)散系數(shù),m2/s.

2 基于有效擴(kuò)散系數(shù)的雙孔隙介質(zhì)模型

2.1 模型假設(shè)

煤層是經(jīng)典的雙重孔隙介質(zhì)系統(tǒng),由煤基質(zhì)和裂隙組成.雙孔隙介質(zhì)模型假設(shè)煤層瓦斯擴(kuò)散和滲流行為分別發(fā)生在煤基質(zhì)和裂隙中,瓦斯通過吸附-解吸過程從煤基質(zhì)中擴(kuò)散到煤裂隙中,裂隙中瓦斯通過達(dá)西流動滲流至井筒.該物理模型滿足以下假設(shè):

1)煤層是干燥的,忽略水分的影響;

2)煤層瓦斯為理想氣體,在等溫條件下粘度恒定;

3)煤巖體處于線彈性變形階段.

2.2 瓦斯在煤體中的擴(kuò)散方程

煤基質(zhì)中的瓦斯多以吸附的形式賦存在煤基質(zhì)的表面,少部分以游離態(tài)分布于煤基質(zhì)的孔隙中.在抽采過程中,基質(zhì)中的瓦斯解吸并通過擴(kuò)散進(jìn)入煤裂隙中.煤基質(zhì)與裂隙之間的氣體交換可由式(4)表示[19].

Qm=Deσc(cm-cf).

(4)

式中，Qm為煤基質(zhì)單位體積的氣體傳輸速率,kg/(m3·s);De為有效擴(kuò)散系數(shù),m2/s;σc為形狀因子,m-2;cm為煤基質(zhì)內(nèi)瓦斯?jié)舛?kg/m3;cf為煤裂隙內(nèi)瓦斯?jié)舛?kg/m3.

形狀因子定義為

(5)

式中：L為煤體裂隙間距,m.

根據(jù)理想氣體定律:

(6)

(7)

式中:Mc為甲烷摩爾質(zhì)量,kg/mol;Pm為煤基質(zhì)內(nèi)的氣體壓力,Pa;Pf為煤裂隙中的氣體壓力,Pa.

通過對煤基質(zhì)質(zhì)量守恒方程可得

(8)

式中：mm為單位體積內(nèi)煤基質(zhì)氣體含量,kg/(m3·s);

煤基質(zhì)內(nèi)氣體包括吸附態(tài)瓦斯和少量游離瓦斯[10]:

(9)

(10)

式中:VL為Langmuir 體積常數(shù),m3/kg;PL為Langmuir 壓力常數(shù),Pa;ρc為煤體密度,kg/m3;ρgs為在標(biāo)準(zhǔn)條件下的甲烷密度,kg/m3;φm為煤基質(zhì)孔隙度,%;VM為標(biāo)準(zhǔn)條件下甲烷的摩爾體積,m3/mol.聯(lián)立式(4)～式(10)可得瓦斯在煤體中的擴(kuò)散方程:

(11)

2.3 瓦斯在煤體中的滲流方程

瓦斯在煤裂隙中的滲流方程為[10]

(12)

式中：φf為煤裂隙孔隙度,%;k為氣體有效滲透率,m2.

2.4 含瓦斯煤變形控制方程

雙孔隙介質(zhì)模型中含瓦斯煤巖的有效應(yīng)力方程可以表示為[20]

(13)

煤裂隙和煤基質(zhì)的有效應(yīng)力系數(shù)分別表示為[21],

(14)

(15)

式中：K為煤的體積模量,K=E/[3(1-2ν)];Km為煤顆粒體積模量,Km=Em/[3(1-2ν)];Ks為煤骨架體積模量,Ks=Km/{1-3φm(1-2ν)/[2(1-2ν)])},E為煤的楊氏模量,MPa;Em為煤顆粒的楊氏模量,MPa;ν為煤的泊松比.

平衡方程和應(yīng)變-位移關(guān)系可以分別由式(16)和式(17)表示:

σij，j+Fi=0;

(16)

(17)

式中:Fi表示i方向的力分量;εij表示總應(yīng)變張量的分量;ui表示i方向位移的分量.

煤層的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(18)

式中：G為煤的剪切模量;εν為煤的體積應(yīng)變,εν=ε11+ε22+ε33.

聯(lián)立式(16)～式(18)可得含瓦斯煤變形控制方程:

(19)

假設(shè)煤巖體為線彈性材料,在單軸應(yīng)力條件下,不考慮瓦斯熱膨脹系數(shù),則孔隙度對時(shí)間的偏導(dǎo)可定義為[10]

(20)

式中：εL為Langmuir體積應(yīng)變常數(shù)；M為約束軸向模量,M=E(1-ν)/[(1+ν) (1-2ν)].

2.5 煤體孔隙率及滲透率動態(tài)演化

在P-M模型的基礎(chǔ)上,引入雙重孔隙有效應(yīng)力,得出孔隙度變化方程[10]:

(21)

式中：下標(biāo)0表示相應(yīng)變量的初始值.

煤體滲透率是隨孔隙度變化而變化,滲透率與孔隙度有三次方的關(guān)系[22]:

(22)

式中：k∞為絕對氣體滲透率,m2.

綜合Klinkenberg效應(yīng)得出的煤體滲透率為

(23)

3 幾何模型及定解條件

3.1 幾何模型

本文通過多物理場耦合數(shù)值模擬軟件實(shí)現(xiàn)對煤層瓦斯運(yùn)移的模擬,選取貴州省某煤礦7#煤層為工程實(shí)例.根據(jù)該礦地質(zhì)資料,該井田屬于低溫正常區(qū),7#煤層全層厚度1.42～3.10 m,平均厚度2.5 m,傾角0°～2°,煤層測點(diǎn)溫度為20.3 ℃,平均埋深+400 m,頂板為細(xì)砂巖,底板為砂質(zhì)泥巖,層位較穩(wěn)定.礦區(qū)水文地質(zhì)條件復(fù)雜程度為中等,根據(jù)地質(zhì)報(bào)告中的預(yù)測結(jié)果,井區(qū)正常涌水量為59 m3/h,最大涌水量為131 m3/h.幾何模型如圖5所示.模型相關(guān)參數(shù)見表3.

圖5 幾何模型

表3 幾何模型參數(shù)表

3.2 初始條件及邊界條件

在含瓦斯煤巖變形場中,給定模型頂部巖層上部施加10 MPa的壓力,模型左右兩側(cè)為輥支撐,設(shè)定其在法線方向不發(fā)生位移,模型底部施加固定約束.在煤基質(zhì)擴(kuò)散場中,給定初始壓力為2 MPa,煤層的四周設(shè)置為零通量邊界,鉆孔周圍設(shè)置狄氏邊界條件,指定壓力為87 KPa.在滲流場中,給定初始瓦斯壓力為2 MPa,煤層的四周設(shè)置為零通量邊界,鉆孔周圍設(shè)置狄氏邊界條件,指定壓力為87 KPa.

4 計(jì)算結(jié)果及分析

圖6分別給出了t=10 d、t=50 d、t=100 d、t=200 d以及t=300 d情況下的煤基質(zhì)與裂隙瓦斯壓力分布情況,總體來看,隨著與鉆孔距離的減小,瓦斯壓力呈衰減的趨勢,通過對比可以發(fā)現(xiàn),壓力衰減速率在t=50 d之前較快,t=50 d之后,壓力衰減速率逐漸降低.煤基質(zhì)的壓力同樣隨著距離鉆孔的減小而減小,對比圖6a與圖6b可以發(fā)現(xiàn),煤基質(zhì)壓力與煤裂隙的壓力基本一致,說明在煤層瓦斯運(yùn)移過程中,瓦斯擴(kuò)散同樣發(fā)揮著重要的作用.

圖6 煤基質(zhì)和裂隙壓力分布

圖7給出了t=10 d時(shí)煤層中部裂隙壓力和煤基質(zhì)壓力隨鉆孔距變化的圖像.從圖7中可以看出,裂隙壓力和煤基質(zhì)壓力都在模型的邊緣達(dá)到最大值2 MPa,這是由于在最初的時(shí)間,瓦斯由鉆孔排除造成的壓力衰減還沒有達(dá)到模型邊緣.同時(shí)可以看出,在同一位置下,煤基質(zhì)壓力比裂隙的壓力要低,在模型邊緣處兩者相等,這是由于瓦斯?jié)B流速度比擴(kuò)散速度大,抽采過程中煤層中的瓦斯在負(fù)壓驅(qū)動下富集在煤層裂隙中.

圖7 t=10 d煤基質(zhì)壓力與裂隙壓力對比

圖8給出了煤層中部距離鉆孔5 m位置瓦斯?jié)B流速率和擴(kuò)散速率的對比圖.從圖8可以看出,擴(kuò)散速度與滲流速度變化有相同的趨勢,在大約7 d的時(shí)間達(dá)到峰值,之后隨著時(shí)間的推移逐步降低,滲流速度比擴(kuò)散速度略低,因此煤層瓦斯運(yùn)移過程中的瓦斯擴(kuò)散不容忽視.

圖8 x=5 m瓦斯擴(kuò)散速度與滲流速度對比

5 工程驗(yàn)證

為進(jìn)一步說明模型的合理性,對貴州省上述某礦7#煤層進(jìn)行了現(xiàn)場實(shí)測.在22802運(yùn)輸巷風(fēng)門外對7#煤層布置穿層鉆孔,封孔完畢后連接抽采管,用流量表測量每日鉆孔流速和流量.將實(shí)測獲得的流量數(shù)據(jù)與模擬結(jié)果相對比,如圖9所示.對比結(jié)果顯示,兩者具有相同的趨勢,忽略現(xiàn)場和模擬存在的較小偏差,實(shí)測流速和流量曲線能夠很好地與模擬曲線擬合.因此,所建立的有效擴(kuò)散系數(shù)的雙孔隙介質(zhì)模型可以準(zhǔn)確反映煤層瓦斯運(yùn)移過程.

圖9 流速和流量曲線的實(shí)測與模擬曲線對比

6 結(jié)論

1)煤體基質(zhì)內(nèi)瓦斯擴(kuò)散過程主要包含F(xiàn)ick擴(kuò)散、過渡擴(kuò)散和Knudsen擴(kuò)散,本文通過壓汞實(shí)驗(yàn)和低溫液氮吸附實(shí)驗(yàn)對貴州省某礦7#煤層煤樣的孔徑分布進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測量,根據(jù)臨界直徑得出不同擴(kuò)散方式在煤基質(zhì)擴(kuò)散過程中的分布,其中過渡擴(kuò)散在煤層中的比例較大,約為61.3%.通過變直徑毛細(xì)管孔徑模型對不同的臨界直徑中瓦斯的擴(kuò)散方式進(jìn)行劃分,得出煤體基質(zhì)瓦斯擴(kuò)散的有效擴(kuò)散系數(shù).

2)在煤層氣運(yùn)移過程中,基質(zhì)瓦斯壓力與裂隙瓦斯壓力的變化有相同的趨勢,且瓦斯?jié)B流速率略大于瓦斯擴(kuò)散速率,可以說明在煤層瓦斯運(yùn)移過程中,瓦斯擴(kuò)散與瓦斯?jié)B流同樣發(fā)揮著重要作用.

3)本文綜合考慮煤層多尺度擴(kuò)散的特征,建立了考慮多尺度擴(kuò)散的含瓦斯煤巖流固耦合模型,根據(jù)現(xiàn)場實(shí)測資料,該模型得到了很好的驗(yàn)證,為煤層瓦斯防治提供了較好的指導(dǎo).