節(jié)點(diǎn)分析法在風(fēng)網(wǎng)解算中的應(yīng)用*

趙自豪,李鵬慧

(1.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 礦業(yè)與煤炭學(xué)院,內(nèi)蒙古 包頭014010;2.內(nèi)蒙古科技大學(xué) 礦業(yè)研究院,內(nèi)蒙古 包頭 014010)

對(duì)于風(fēng)網(wǎng)的解算,目前比較流行的方法是建立在風(fēng)量平衡定律和能量平衡定律基礎(chǔ)上的回路分析法.在不考慮自然風(fēng)壓的情況下,即解方程組(1):

(1)

式中：Q=(qj)n×1為分支流量向量；R=(rj)n×1為分支風(fēng)阻向量；Hf=(hfj)n×1為通風(fēng)機(jī)風(fēng)壓向量；C=(cij)(n-m+1)×n為獨(dú)立回路矩陣；Qy=(qi)(n-m+1)×1為余樹(shù)枝風(fēng)量向量[1，2].

回路分析法是目前風(fēng)網(wǎng)解算中流行的建模方法,其獨(dú)立回路矩陣形成和方程的迭代算法或近似求解方法很多,在此不再贅述.在生產(chǎn)實(shí)踐中,回路分析法在一些特殊的情況下可能存在失效或建模困難的情況,在這些情況下,節(jié)點(diǎn)分析法往往能夠很好地處理這些問(wèn)題.節(jié)點(diǎn)分析法是電網(wǎng)和水網(wǎng)分析中常用的稱謂,在風(fēng)網(wǎng)解算中一般稱為節(jié)點(diǎn)風(fēng)壓法,兩者是同一個(gè)概念,不再贅述.

吳奉亮等[3]人在礦井自然分風(fēng)網(wǎng)絡(luò)與采空區(qū)流場(chǎng)聯(lián)合進(jìn)行求解時(shí)發(fā)現(xiàn),作為風(fēng)網(wǎng)與采空區(qū)流場(chǎng)耦合的邊界層,其內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的流量和節(jié)點(diǎn)壓力方程只能通過(guò)節(jié)點(diǎn)壓力法,即本文中的節(jié)點(diǎn)分析法進(jìn)行求解.黃光球等[4]在研究基于按需供風(fēng)的大規(guī)模復(fù)雜通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)時(shí),利用節(jié)點(diǎn)風(fēng)壓法構(gòu)建了由風(fēng)量平衡方程和按需供風(fēng)壓降方程構(gòu)成的超定方程組,并給出了在不平衡差分散因子最小情況下的按需供風(fēng)最優(yōu)解.姜仁義[5]在利用節(jié)點(diǎn)風(fēng)壓法建立通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)方程組的情況下,利用主節(jié)點(diǎn)風(fēng)壓偏微分近似法給出了該方程組的解,并給出了計(jì)算流程.王冬偉等[6]基于電路比較了回路分析法和節(jié)點(diǎn)分析法的方程構(gòu)造過(guò)程的不同和化簡(jiǎn)后方程的表現(xiàn)形式不同,并提出回路分析法適合處理恒壓源電路,而節(jié)點(diǎn)分析法適合處理恒流源電路.Wedding W C[7]提出,對(duì)采空區(qū)進(jìn)行流場(chǎng)模擬時(shí),將之視為大規(guī)模復(fù)雜風(fēng)網(wǎng),該風(fēng)網(wǎng)類似于固定風(fēng)機(jī)流量工況點(diǎn)時(shí)的自然分風(fēng)網(wǎng)絡(luò),因此,采用節(jié)點(diǎn)分析法能夠更好地處理此類問(wèn)題.另外,鐘德云[8]在對(duì)大型風(fēng)網(wǎng)的解算進(jìn)行討論時(shí)指出,在利用回路分析法構(gòu)建方程時(shí),當(dāng)出現(xiàn)單向回路時(shí),該方法的基礎(chǔ)之一:回路風(fēng)壓平衡方程將失效,會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)解算失效的可能.

不同于風(fēng)網(wǎng),水網(wǎng)和電網(wǎng)屬于開(kāi)放性網(wǎng)路,具有多源、多用戶、多加壓裝置的特點(diǎn).采用回路分析法時(shí),在閉合回路的確定上存在極大的困難,因此,在水網(wǎng)、電網(wǎng)解算中常用節(jié)點(diǎn)分析法,該方法能夠直接從基本關(guān)聯(lián)矩陣出發(fā),無(wú)須獨(dú)立回路矩陣,通過(guò)各種算法求解網(wǎng)內(nèi)流量[9-12].目前比較常用的是線性逼近法[13-15],該方法由于每次迭代均為對(duì)線性方程組的求解,所涉及的亥姆霍茲矩陣為對(duì)稱正定矩陣,應(yīng)用LU分解等方法后,計(jì)算效率大大提高.同時(shí),這種方法還是網(wǎng)絡(luò)敏感性分析的基礎(chǔ).實(shí)踐證明,該方法在解算效率上同回路分析法相當(dāng)，且具有收斂性好、計(jì)算量小的特點(diǎn).同時(shí)對(duì)于新井設(shè)計(jì)時(shí)常遇到的由里向外分風(fēng)和局部采區(qū)分風(fēng)為代表的固定半割集網(wǎng)絡(luò)的解算具有通用性.

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上,將節(jié)點(diǎn)分析法應(yīng)用于風(fēng)網(wǎng)解算模型的構(gòu)建,利用線性逼近法進(jìn)行了求解.針對(duì)礦井自然分風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn),將線性逼近法用矩陣表示法進(jìn)行了推導(dǎo)和計(jì)算公式表征.并利用Matlab善于處理矩陣運(yùn)算的特點(diǎn),對(duì)計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了演示.同時(shí),針對(duì)一個(gè)具體實(shí)例,比較了牛頓法和線性逼近法的解算效率問(wèn)題,驗(yàn)證了線性逼近法在處理節(jié)點(diǎn)分析法構(gòu)建的風(fēng)網(wǎng)方程時(shí)的優(yōu)越性.

1 節(jié)點(diǎn)分析法的數(shù)學(xué)模型

1.1 基本概念

礦井通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)可以應(yīng)用數(shù)學(xué)上的圖論知識(shí)進(jìn)行等效.風(fēng)網(wǎng)等效為圖,各種巷道等效為分支,而巷道之間的交叉點(diǎn)等效為節(jié)點(diǎn).對(duì)節(jié)點(diǎn)和分支分別編號(hào)后,并對(duì)分支的方向進(jìn)行定義,在此基礎(chǔ)上,可以寫(xiě)出風(fēng)網(wǎng)的基本關(guān)聯(lián)矩陣[1]：

B=(bij)(m-1)×n.

(2)

式中:

m和n分別為節(jié)點(diǎn)和分支的個(gè)數(shù).

定義節(jié)點(diǎn)壓力向量P=(pi)(m-1)×1,在不考慮自然風(fēng)壓的基礎(chǔ)上,可列出節(jié)點(diǎn)分析法解算通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的方程組,如式(3)所示.

式(3a)為節(jié)點(diǎn)流量方程,有n個(gè)變量,m-1個(gè)方程.式(3b)為分支阻力方程,有m-1個(gè)變量,n個(gè)方程.故式(1)有解.由于式(3b)中含有風(fēng)量的2次方,故該方程屬于多元非線性方程組.理論上,該方程組應(yīng)用牛頓法等方法也可以解出,但相較于回路分析法,由于該方程組的方程數(shù)量眾多,所耗費(fèi)的計(jì)算資源較多,所以利用牛頓法等求解并不占優(yōu)勢(shì).如果采用線性逼近法,充分利用對(duì)角矩陣、對(duì)稱正定矩陣的特性進(jìn)行求解,將在會(huì)取得很好的解算效率[2].

1.2 迭代方程構(gòu)建

構(gòu)造實(shí)值函數(shù)：

(4)

分別對(duì)F(Q)求一階和二階偏導(dǎo),有

?F(Q)=Rdiag|Q|diagQ-Hf;

(5)

?2F(Q)=2Rdiag|Q|diag.

(6)

將式(5)代入式(3b),有

BTP=?F(Q).

(7)

則式(7)的線性逼近法的求解公式為

式中:PK為節(jié)點(diǎn)壓力矩陣；QK為分支流量矩陣;IK為迭代矩陣.

(9)

(10)

式(10)為m-1個(gè)方程的線性方程組,即為節(jié)點(diǎn)分析法的線性逼近解法的迭代公式.其中HmK為亥姆霍茲矩陣,為m-1階的對(duì)稱正定矩陣.IK可選為式(11)的形式:

(11)

式中：E為與F同維度的單位矩陣,K為迭代次數(shù).

對(duì)任意一步獲得的QK,代入式(10),解方程組,可得PK,代入式(8b),并整理得到風(fēng)量近似值公式(12):

(12)

(13)

1.3 迭代算法

綜上所述,利用線性逼近法計(jì)算用節(jié)點(diǎn)分析法表示的風(fēng)網(wǎng),其計(jì)算步驟[15]:

1)取風(fēng)量向量的初值Q1,令K=1;

2)利用式(5)和式(6),計(jì)算?F(QK)和?2F(QK);

4)求解式(10),得PK,dK;

7)按下列規(guī)則進(jìn)行迭代風(fēng)量計(jì)算:

QK+1=QK+λKdK.

(14)

其中λK需使式(15)成立:

F(QK+1)-F(QK)≤0.5λKdK.

(15)

8)令K=K+1,進(jìn)入第2步.

2 節(jié)點(diǎn)分析法的解算實(shí)例

針對(duì)文獻(xiàn)7的示例網(wǎng)絡(luò),對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單風(fēng)網(wǎng)利用Matlab進(jìn)行編程運(yùn)算.風(fēng)網(wǎng)如圖1所示.

圖1 通風(fēng)網(wǎng)絡(luò)示例

根據(jù)基本關(guān)聯(lián)矩陣的定義、圖中節(jié)點(diǎn)和分支的編號(hào)、分支的指向,取節(jié)點(diǎn)1到4,可以寫(xiě)出基本關(guān)聯(lián)矩陣:

風(fēng)網(wǎng)中的分支風(fēng)阻、風(fēng)機(jī)工況壓力等計(jì)算參數(shù)、計(jì)算結(jié)果和結(jié)果精度(方差)等數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 示例網(wǎng)絡(luò)的分支流量和精度

3 解算效率分析

針對(duì)牛頓法及其變體在解算回路分析法構(gòu)建的風(fēng)網(wǎng)方程時(shí)收斂半徑小、對(duì)初值依賴性強(qiáng)的特點(diǎn),本小節(jié)對(duì)節(jié)點(diǎn)分析法的初值依賴性和收斂性進(jìn)行評(píng)估.

從圖2可以看出,經(jīng)過(guò)10次迭代,結(jié)果偏差遠(yuǎn)小于初值偏差,并且所有樣本的迭代結(jié)果都達(dá)到了工程要求的精度,從而證明了該方法的有效性.從圖中還可以看出,初值的選取對(duì)迭代的精度沒(méi)有明顯影響,說(shuō)明該方法對(duì)初值的依賴性小.

圖2 初值偏差-結(jié)果偏差對(duì)比

取任意初值,分別求出迭代次數(shù)為2～50時(shí)的結(jié)果偏差,繪制出圖3.

圖3中縱軸采用對(duì)數(shù)坐標(biāo).從圖中可以看出,隨迭代次數(shù)增加,該方法迅速收斂,可以認(rèn)為,迭代25次之后,結(jié)果就穩(wěn)定在某一數(shù)值,不再發(fā)生明顯變化.說(shuō)明該方法具有很好的收斂性.

圖3 迭代次數(shù)-結(jié)果偏差

4 結(jié)論

1)節(jié)點(diǎn)分析法在構(gòu)造風(fēng)網(wǎng)解算方程組時(shí),只需要用基本關(guān)聯(lián)矩陣反映自然分風(fēng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),在表達(dá)式書(shū)寫(xiě)時(shí)更為簡(jiǎn)潔易懂.相較于回路分析法,無(wú)需書(shū)寫(xiě)?yīng)毩⒒芈肪仃?避免了生成獨(dú)立回路矩陣的編程工作,減少了出錯(cuò)的可能性.

2)線性逼近法在求解方程組時(shí),只需要計(jì)算一次迭代矩陣的逆.當(dāng)風(fēng)網(wǎng)規(guī)模比較大時(shí),可以顯著的減少計(jì)算機(jī)的計(jì)算資源消耗,從而有效地縮小了計(jì)算時(shí)間,提高了解算效率.

3)相對(duì)于流行的獨(dú)立回路法構(gòu)建方程組、牛頓法迭代求解.利用線性逼近法求解節(jié)點(diǎn)分析法構(gòu)建的方程組,不依賴于初值的選擇,并能夠確保結(jié)果收斂.

4)利用Mathab進(jìn)行線性逼近法的實(shí)現(xiàn),方便快捷,代碼通俗易懂,在工程實(shí)踐中,在沒(méi)有專業(yè)通風(fēng)解算軟件可用的情況下,該方法是一種高效、方便的處理方案.