矩陣奇異值分解的應(yīng)用

范云鵬 郭小娥

摘?要：現(xiàn)在的社會是一個信息社會，每天都產(chǎn)生和傳送各種各樣的信息，尤其隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，需要處理的信息更是多到不可勝數(shù)。而圖像是信息的主要載體，但圖像本身占有巨大的空間，因此圖像壓縮越來越收重視。本文介紹一種有效的圖像壓縮的方法—奇異值分解。該方法最大的優(yōu)點(diǎn)是在所有的同階分解中誤差最小的。

關(guān)鍵詞：奇異值;壓縮;代數(shù)特征

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的速度越來越快，需要掌握的知識越來越多。過去需要幾十年知識的總量才會增加一倍，而現(xiàn)在這個周期已經(jīng)縮短到幾年。而知識是通過信息傳播的，信息主要是以圖像和視頻的形式存在的，尤其是現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，大大方便了人們的生活?，F(xiàn)在看報紙，看書的人越來越少，看電子書和在網(wǎng)上看新聞的越來越多，還可以通過網(wǎng)絡(luò)足不出戶買衣服，買菜，直播賣貨和買貨的人也增加了許多，另外現(xiàn)在年輕人白天工作忙，中午沒時間吃飯，可以通過網(wǎng)絡(luò)訂餐，大大節(jié)省了時間，還有在線上課等，但是，網(wǎng)絡(luò)中的信息都是以數(shù)字形式存儲和傳輸?shù)摹６畔⒔?jīng)過數(shù)字化以后的數(shù)據(jù)量占有非常大的空間。我們平常用手機(jī)拍的相片都是幾千行幾千列，在網(wǎng)絡(luò)剛興起的時候，從網(wǎng)上下載一幅照片都需要幾個小時的時間，而視頻占有的空間更大，因此圖像壓縮受顯得尤為必要。

平常上網(wǎng)看新聞或者購物看電影的時候，經(jīng)常遇到網(wǎng)絡(luò)卡頓的情形，那是由于同一時刻在帶寬上的信息太多。雖然現(xiàn)在隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的成熟，網(wǎng)速是越來越快，但信息比以前也多得多，現(xiàn)在的網(wǎng)速依然沒有辦法滿足人們的需求。圖像壓縮的目的就是減少圖像存儲的空間，增加圖像的亮度清晰度，從而達(dá)到網(wǎng)絡(luò)流暢的目的。

原始圖像含有的數(shù)據(jù)并不是全部都有用，它含有一些多余的無用信息，而且圖像的像素值很多都是非常接近甚至是一樣的，重復(fù)的部分也沒必要重復(fù)傳輸，這就為圖像壓縮提供了必要性。截至目前，許多專家都投入這一挑戰(zhàn)性課題的研究當(dāng)中并產(chǎn)生了很多圖像壓縮的方法，主要方法如下：

（1）PCA算法：它采用的是向量模型，需要把二維向量轉(zhuǎn)化成一維向量。（2）GLRAM：該方法采用的是矩陣模型，進(jìn)行的是雙邊壓縮，大大提高了壓縮效率，但它的缺點(diǎn)是迭代算法，除此之外還有非負(fù)矩陣分解和支持向量機(jī)分解也可以實(shí)現(xiàn)圖像壓縮，本文介紹一種經(jīng)典的壓縮方法—奇異值分解。矩陣奇異值分解是一種重要分解。近年來，它在數(shù)據(jù)建模，最佳逼近問題，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，數(shù)字圖像壓縮等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

1?奇異值的定義和分解

為A的奇異值。

定理1：設(shè)A為m行n列的矩陣，設(shè)mn，A的秩為r，則存在兩個正交矩陣U=[u1，u2…um]∈Rm×m，UTU=I和V=[v1，v2…vn]∈Rn×n，VTV=I，以及對角陣S=diag[λ1，λ2…，λr，0，…0]∈Rm×n，λ1>λ2>…>λr≥0，使得下式成立：

其中λi2為ATA的特征值，ui，vi分別是ATA和AAT對應(yīng)于λi2的特征向量。我們將對角陣S稱為奇異值矩陣，稱式（1）為A的奇異值分解。

證明：由于ATA是半正定的Hermite矩陣，且rank（ATA）=rank（A），故ATA有如下形式的Schur分解：

其中V=（v1，…，vn）是正交矩陣，σ1…σr>0，σr+1=…σn=0，令V1=[v1，…，vr]，V2=[vr+1，…，vn]，Λ=diag（σ1，…σr）。

則從（2）式可得：

式（3）表明AV1的列是相互正交的;表明AV2的列都是零向量，即AV2=0，因此，令U1=AV1Λ-1則UT1U1=Ir。再取U2∈Cm×（m-r）使U=[U1，U2]是m階正交的，則有：

分解式中的Λ是由A唯一確定的，V的第i列vi稱為A屬于σi的一個單位右奇異向量，U的第i列ui稱為A屬于σi的一個單位左奇異向量。

設(shè)A1，A2，A3分別表示三幅圖像，對它們進(jìn)行奇異值分解：

A1=U1S1V1，A2=U2S2V2，A3=U3S3V3

用第一幅圖像得到的矩陣U1，V1和第二幅圖像的奇異值矩陣相乘后U1S2V1顯示和A1很接近，U1S3V1和第一幅圖也很接近，但U2S1V2和A1相差很大，這說明矩陣U和V里包含圖像的關(guān)鍵信息，奇異值矩陣含有很多的無用信息。

2?誤差分析和應(yīng)用

在泛函分析中，我們學(xué)習(xí)過范數(shù)的概念。范數(shù)是一個函數(shù)，它定義在賦范線性空間中，它常常被用來度量某個向量空間中的每個向量的大小。滿足一定的條件：（1）非負(fù)性;（2）其次性;（3）三角不等式。求A的低秩逼近，就是要找另一個矩陣B，使A-B的范數(shù)最小。由奇異值分解定理得知，要找矩陣B，第一步對A做奇異值分解，分解以后A表示成A=UDVT，那么我們把矩陣U的前k列元素組成的矩陣記作Uk，取矩陣V的前k列元素組成的元素記作VK，則當(dāng)B=Ukdiag（σ1，σ2…σk）Vk時誤差最小，那么B是A的最優(yōu)逼近，稱之為SVD逼近。我們看下面的定理：

定理2：用SVD把A表示成Ak=UkΛVTk，在A所有的秩為k的近似分解中，Ak是A誤差最小的分解矩陣。

對矩陣奇異值分解后會產(chǎn)生一個m行m列的矩陣U，m行n列的矩陣S，n行n列的矩陣V，其中奇異值在S的對角線上并且是由大到小排列的，一般情況下前10%甚至1%的奇異值就占了全部奇異值之和的99%以上。所以只需要取出矩陣S的前k行k列組成新的矩陣Sk，取矩陣U的前K列元素組成矩陣Uk，矩陣V的前K列元素組成矩陣Vk，用UkSkVk重構(gòu)圖像，取得k夠小就可以很大程度實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮。

3?結(jié)語

利用奇異值分解進(jìn)行圖像壓縮，它的優(yōu)點(diǎn)是誤差小，穩(wěn)定，但是當(dāng)矩陣行數(shù)和列數(shù)非常大的時候，矩陣奇異值的計算是一個難題。所以一般把奇異值分解和其他方法結(jié)合起來進(jìn)行圖像的壓縮，這是進(jìn)一步需要研究的課題。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐樹方.矩陣計算的理論和方法.第4版，北京：北京大學(xué)出版社.

[2]陳亞雄，黃樟燦.基于奇異值分解和Contourlet變換的圖像壓縮方法.計算機(jī)應(yīng)用研究，2017.1，1（34）：317320.

[3]景永霞，王治和.基于矩陣奇異值分解的文本分類算法研究.西北師范大學(xué)學(xué)報，2018，3（54）：5156.

[4]王凱，王菊香.矩陣的奇異值分解在紅外光譜預(yù)處理中的應(yīng)用.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報，2017，3（32）：270274.

[5]馮栩，李可欣.基于隨機(jī)奇異值分解的快速矩陣補(bǔ)全算法及其應(yīng)用.計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2017，12（29）：23432348。

[6]J.Ye.Generalized?Low?Rank?Approximations?of?Matrices，Machine?learning，2004：887894.

[7]黃東煜，張景潤.一種基于迭代奇異值分解的定頻干擾信號消除算法.信息技術(shù)，2018，4（39）：3944.

作者簡介：范云鵬（1981—?），男，漢族，陜西西安人，碩士，西安思源學(xué)院基礎(chǔ)部教師，從事學(xué)校高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論等課程的教學(xué)和科研工作，研究方向：矩陣的優(yōu)化和最優(yōu)解。