模糊集合隸屬函數(shù)的確定方法及實驗

梁蓉蓉， 潘小東

（西南交通大學 數(shù)學學院，四川 成都611756）

1965年，美國控制論專家Zadeh［1］引入了模糊集合的概念.模糊集合是描述和處理模糊信息的一種重要數(shù)學工具，其基本思想是在絕對真（用1表示）和絕對假（用0表示）之間增加額外的真值，用以模擬事物之間差異的中介過渡過程，即利用一個從論域U到［0，1］的函數(shù)（隸屬函數(shù)）來模擬模糊概念（如青年、高個子等）的外延.經(jīng)過50多年的研究與發(fā)展，模糊集合在理論和應用取得了長足進步，目前已成功應用于諸如聚類分析、圖像識別、自動控制、人工智能等研究領域［2-5］.對于模糊集合的理論和應用至關重要的問題是：如何確定隸屬函數(shù)和又如何判斷所確定隸屬函數(shù)的合理性.

研究者已提出各種確定模糊集合隸屬函數(shù)的方法，包括模糊統(tǒng)計法、二元對比排序法、插值法、模糊分布法、專家調(diào)查法等［6-7］.模糊統(tǒng)計法的思想是基于統(tǒng)計實驗，讓被調(diào)查者就某個模糊概念（記為A），各自給出自己認為合適、清晰的外延集，通過計算這些外延集關于元素x的覆蓋頻率，獲得x關于模糊集合A的隸屬度，但此方法計算量巨大，且合理性有待進一步驗證.二元對比排序法根據(jù)對象間的對比關系來確定它們關于某個模糊概念的外延隸屬程度.模糊分布法借鑒概率論思想，事先給定若干類型模糊集合的隸屬函數(shù)，如矩形分布、梯形分布、正態(tài)分布、柯西分布、Z型分布等.對于某個具體的模糊概念，根據(jù)其內(nèi)涵和特點選擇合適的模糊分布函數(shù)，設定相應參數(shù)從而確定隸屬函數(shù)，但這2種方法缺乏必要的理論依據(jù)，且具有較強主觀性.

針對上述確定隸屬函數(shù)方法存在的問題，研究者開始嘗試其他解決途徑，方法之一就是對Zadeh的模糊集合概念進行擴展.1975年，Zadeh［8］提出了二型模糊集合概念，采用語言值（如“非常真”“十分假”等）來表示元素關于模糊集合的隸屬度.1976年，Grattan-Guinness［9］將元素關于模糊集合的隸屬度從區(qū)間［0，1］上的一個實數(shù)擴展為區(qū)間［0，1］的一個閉子區(qū)間，并由此建立了區(qū)間值模糊集理論.1986年，Atanassov［10］提出了直覺模糊集合概念，通過引入“非隸屬度”，直覺模糊集能從正反兩方面刻畫事物的模糊性.2002年，劉心等［11］提出了擾動模糊集.2010年，Torra［12］提出了猶豫模糊集的概念.為便于人們能夠準確理解二型模糊集合，2014年，莫紅等［13］通過引入多值映射來定義二型模糊集合的主隸屬度，運用常規(guī)映射定義次隸屬度，給出了二型模糊集合新定義，提出了FOU劃分法來表述連續(xù)區(qū)間二型模糊集合.

將上述幾種模糊集進行交叉、融合，還可以得到其他類型模糊集合.2012年，Zhu等［14］將猶豫模糊集與直覺模糊集進行結合，首次提出了對偶猶豫模糊集.同年，趙濤等［15］在二型模糊集和直覺模糊集基礎上，給出了二型直覺模糊集概念，證明通過特定變形，二型直覺模糊集可成為一型模糊集、直覺模糊集、區(qū)間值模糊集、區(qū)間值直覺模糊集的廣義形式.2014年，吳婉瑩等［16］將對偶猶豫模糊集概念拓展到區(qū)間值，提出了區(qū)間值對偶猶豫模糊集.2017年，王飛躍等［17］采用集合論的方法給出了單位模糊集合和二型模糊集合及其在一點的限制等定義.根據(jù)論域、主隸屬度及隸屬函數(shù)的特性對二型模糊集合進行分類，提出了一些與二型模糊集合相關的結論.周林濤［18］研究了復雜環(huán)境下基于二型模糊集的多因素決策方法.李麗穎等［19］提出了區(qū)間值對偶猶豫模糊集距離與相似性測度之間的關系，給出了區(qū)間值對偶猶豫模糊集的距離公式及熵公式，由此給出基于區(qū)間值對偶猶豫模糊熵的權重模型，應用于權重未知的區(qū)間值對偶猶豫模糊多屬性決策問題.這些模糊集合的擴展研究極大拓廣了模糊集理論的研究思路，豐富了模糊集理論及應用的研究內(nèi)容，對其發(fā)展具有重要意義.然而，無論采用語言值、區(qū)間值，還是加入非隸屬度，這些拓展在隸屬函數(shù)的確定及其合理性驗證依然存在問題.如果無法弄清楚對象x隸屬于模糊集合A的隸屬度程度到底是0.7還是0.8，那么同樣無法弄清楚用哪個語言真值或者哪個區(qū)間來表示更合適.

近年來，不斷有學者提出各種模糊集合隸屬函數(shù)的確定方法.1995年，李德毅等［20］提出隸屬云的新思想，給出了用數(shù)字特征描述隸屬云的方法和正態(tài)隸屬云的數(shù)字模型.2004年，李德毅等［21］利用云模型把隨機性和模糊性結合起來，用數(shù)字特征熵揭示隨機性與模糊性的關聯(lián)，并以此表示一個定性概念的粒度.正態(tài)云模型通過期望、熵和超熵構成的特定結構發(fā)生器，生成定性概念的定量轉(zhuǎn)換值，描述概念的不確定性.2008年，袁杰等［22］提出了采用最小二乘法擬合離散數(shù)據(jù)來獲得隸屬函數(shù).2010年，于少偉［23］提出了利用區(qū)間數(shù)的方法確定隸屬函數(shù).2015年，王曉娟［24］提出利用改進型BP神經(jīng)網(wǎng)絡建立模糊集隸屬函數(shù)的設計方法，給出了設計步驟，并應用于實例中，仿真結果表明此方法具有一定的有效性和可行性.2016年，馬萬元等［25］從統(tǒng)計學的角度提出了一種基于概率統(tǒng)計的模糊隸屬函數(shù)計算方法.

然而，上述方法也未能真正解決模糊集合隸屬函數(shù)的確定問題.因為建立一種科學的確定模糊集合隸屬函數(shù)的方法，首先需要弄清模糊集合旨在刻畫的對象究竟是什么，需要深入分析模糊現(xiàn)象，并以模糊現(xiàn)象的本質(zhì)及其主要特征做為建立相應數(shù)學理論和方法的出發(fā)點，否則我們的研究勢必成為無本之木，然而上述方法并未充分考慮這一點.在文獻［26］中，對模糊現(xiàn)象的本質(zhì)及其主要特征進行深入分析，提出了關于模糊現(xiàn)象本質(zhì)及其特征的新觀點；在此基礎上，Xu等［27-28］建立了隸屬度公理系統(tǒng)，并以此給出了模糊集合的公理化定義.

本文在模糊公理系統(tǒng)框架下，基于文獻［26］所提出的關于模糊現(xiàn)象本質(zhì)的新思想，通過設計統(tǒng)計實驗，深入分析影響模糊集合隸屬函數(shù)確定的關鍵因素，并在此基礎上，提出關于確定模糊集合隸屬函數(shù)的一般性原則.

1 模糊集合的公理化

1.1 模糊現(xiàn)象的本質(zhì)文獻［26］認為模糊性產(chǎn)生于對對象進行分類的過程中，是事物發(fā)展、演化過程中連續(xù)性、漸進性的一種表現(xiàn)形式，同時是事物本身連續(xù)性、漸進性和人類主觀認知方式共同作用的結果.因此，模糊現(xiàn)象是模糊性的外在表現(xiàn)形式，它產(chǎn)生于模糊劃分，并將事物發(fā)展、演化的連續(xù)性過程“離散化”.

一種常見的將事物發(fā)展過程中連續(xù)性、漸進性“離散化”的方法就是使用自然語言，即通過有限個模糊謂詞來描述事物所具有的某種屬性，或者說是自然語言提供一種將事物發(fā)展過程中的連續(xù)性、漸進性離散化的有效方法.因此，模糊現(xiàn)象經(jīng)常與自然語言的使用聯(lián)系在一起，模糊謂詞即是連接“連續(xù)”和“離散”之間的橋梁.

1.2 模糊劃分的定義基于對模糊現(xiàn)象本質(zhì)及其特征的認識，文獻［27-28］給出了模糊劃分的定義.

定義1［27-28］設U＝ ［a，b］?R.定義在U上的一個模糊劃分是由定義在U上的n個函數(shù)所構成的集合，即

其中，μAi：U→［0，1］（i＝1，2，…，n）定義了元素x∈U隸屬于模糊子類Ai的隸屬程度，并且滿足下列條件：

1）?x∈U，?i∈使得

5）?x∈U，有

若U上的一個模糊劃分~U滿足

由模糊性本質(zhì)和定義1可知，模糊集合產(chǎn)生于模糊劃分，其隸屬函數(shù)是對模糊劃分之下模糊子類的數(shù)學描述，因而模糊集合隸屬函數(shù)的確定會受到模糊劃分的影響.但以上僅為理論分析，模糊劃分對隸屬函數(shù)確立的影響還缺少必要的實驗研究，此外還需探明確定模糊集合隸屬函數(shù)時的關鍵性因素.本文基于模糊現(xiàn)象本質(zhì)及其主要特征，通過設計統(tǒng)計實驗，深入分析影響模糊集合隸屬函數(shù)確立的關鍵性要素，特別是模糊劃分對隸屬函數(shù)的影響.

2 實驗研究

2.1 實驗方案統(tǒng)計實驗分為2組：第1組在無模糊劃分條件下進行，第2組在模糊劃分條件下進行.實驗采用抽樣調(diào)查的方法，通過發(fā)放調(diào)查問卷的方式收集實驗數(shù)據(jù).實驗的調(diào)查問卷如下：

第1組實驗調(diào)查問卷包含以下問題：

1）據(jù)資料記載，人的身高范圍在0.55～2.5 m.按照您的理解，您認為“高個子男子”的身高范圍應該是________（單位：m.例如：［1.8，2.5］）；

2）您認為“中年人”所指的年齡區(qū)間應該是________（單位：歲.例如：［50，70］）.

第2組實驗調(diào)查問卷包含以下問題：

1）據(jù)資料記載，人的身高范圍在0.55～2.5 m.如果把男人按身高分為3類：矮個子、中等個子、高個子.請根據(jù)您自己的理解，分別寫出這3類男人各自的身高范圍__________（單位：m.要求這3個區(qū)間互不相交且完全覆蓋區(qū)間［0.55，2.5］.例如：［0.55，1.5］、［1.51，1.79］、［1.8，2.5］）；

2）世界衛(wèi)生組織把人按年齡分為5類：未成年人、青年人、中年人、老年人、長壽老人.請您根據(jù)自己的理解分別寫出這5類人分別所對應的年齡區(qū)間__________（單位：歲.要求這些區(qū)間互不相交且完全覆蓋區(qū)間［0，134］，134歲是目前吉尼斯記錄認證的人的最高壽命）.

2.2 數(shù)據(jù)收集及處理調(diào)查問卷在西南交通大學學生群體中采用隨機抽樣方式進行發(fā)放，為避免被調(diào)查者填寫問卷時受慣性思維影響，2組問卷分別發(fā)放給2組不同被調(diào)查對象.2組問卷共計發(fā)放630份，收集到2組有效調(diào)查問卷共計600份.對收集到的原始數(shù)據(jù)進行整理及預處理，主要審核數(shù)據(jù)完整性和準確性，準確性審核主要是檢查數(shù)據(jù)是否有誤，是否存在異常值等.經(jīng)預處理后的有效數(shù)據(jù)見表1.

表1 調(diào)查問卷有效份數(shù)Tab.1 The valid number of questionnaires

2.3 關于實驗結果的分析1）模糊集合隸屬度穩(wěn)定性、一致性分析.圖1（a）和（b）分別為無模糊劃分和有模糊劃分條件下，高個子隸屬度與實驗次數(shù)的關系曲線圖.圖2與圖3為無模糊劃分和有模糊劃分條件下，“高個子”和“中年人”這2個模糊概念的隸屬函數(shù)圖像對比.

由圖1可知，對同一模糊概念，隨實驗次數(shù)增加，有模糊劃分之下使用模糊統(tǒng)計法確定的隸屬度具有更好的穩(wěn)定性.由圖2可知，在模糊劃分下被調(diào)查者認為1.95 m是高個子的程度是0.983 6，隨身高增加，是高個子的程度趨近于1，由此可認為身高大于等于1.95 m的人都是“高個子”；而無模糊劃分下，“高個子”的隸屬函數(shù)圖像在身高為1.9 m時達到最大值0.932 2，之后隨身高增加，屬于高個子的程度逐漸降低，最終穩(wěn)定于0.63，但這與認知不一致.通過分析問卷1的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，被調(diào)查者在填寫“高個子”所對應的區(qū)間時，具有一定的“隨意性”，即被調(diào)查者在填寫區(qū)間時寫下自己認為是“高個子”的區(qū)間，但是所給出的區(qū)間就會出現(xiàn)類似于區(qū)間［1.8，2.2］；而問卷2是在給出模糊劃分的限制條件下，使得被調(diào)查者對“高個子”這一模糊概念更明確，給出的區(qū)間都類似于區(qū)間［1.8，2.5］.“隨意性”產(chǎn)生的原因是在收集數(shù)據(jù)時，對模糊概念的限制條件太少.由圖3可發(fā)現(xiàn)，“中年人”的隸屬函數(shù)圖像在模糊劃分下比未給出模糊劃分下要更符合認知.通過上述分析，對于同一模糊概念，在已知模糊劃分條件下，采用模糊統(tǒng)計法確定的隸屬度具有更好的穩(wěn)定性和一致性.

圖1 高個子隸屬度與實驗次數(shù)關系曲線Fig.1 Relation curve between the tall and test times

圖2 高個子隸屬函數(shù)對比曲線Fig.2 The contrast chart of membership function of the tall

圖3 中年人隸屬函數(shù)對比圖Fig.3 The contrast chart of membership functions of middle-aged people

2）模糊劃分下模糊集合隸屬函數(shù)對定義1符合程度分析.表2為問卷2中關于模糊概念“矮個子”“中等個子”“高個子”數(shù)據(jù)，基于模糊統(tǒng)計法計算論域中任意一個元素x對這3種模糊概念的隸屬程度.圖4為表2所對應的隸屬函數(shù)圖像.利用相同計算方法，圖5為“未成年人”“青年人”“中年人”“老年人”和“長壽老人”的隸屬函數(shù)圖像.

由表2可知，論域U＝［0.55，2.50］中的每一個元素x，都對應一個模糊子類Ai，使得 μAi（x）＞0.對于每一個模糊子類Ai都有一個元素x，使得μAi（x）＝1或趨近于1.在已知模糊劃分下，各模糊概念的隸屬函數(shù)在最大值左側不減，在最大值右側不增，如圖4所示.對于論域中任意一個元素x，有

圖4 矮個子、中等個子、高個子隸屬函數(shù)曲線Fig.4 The curve of membership function of the short，the medium and the tall

如表2中，1.7 m對矮個子的隸屬度是0.245 9，對中等個子的隸屬度是0.744 3，對高個子的隸屬度是0.009 8，而0.245 9＋0.744 3＋0.009 8＝1.上述性質(zhì)對屬性年齡的模糊子類隸屬函數(shù)仍符合，如圖5所示.

圖5 未成年人、青年人、中年人、老年人、長壽老人隸屬函數(shù)曲線Fig.5 The curve of membership function of the young，the middle-aged，the elderly，and the long-lived elderly

3）模糊集合隸屬函數(shù)的波動分析.圖6與圖7分別為模糊概念“高個子”與“中年人”各自論域中每一個元素在無模糊劃分和有模糊劃分下的隸屬度方差.可知，整體上隸屬函數(shù)在無模糊劃分條件下波動振幅較大，而在有模糊劃分下較穩(wěn)定，波動較小.這說明被調(diào)查者在模糊劃分下對模糊概念的理解更清晰化，而在部分點（如圖6中的身高1.75 m）或部分區(qū)間（如圖7中的［51，60］），在模糊劃分下隸屬度的波動振幅大于無模糊劃分下隸屬度的波動振幅，這是因為問卷2在給出模糊劃分的條件下，讓被調(diào)查者分別給出同一屬性的各模糊子類所對應的區(qū)間.這些波動較大的元素或區(qū)間可看成是2個相鄰模糊子類的“分界點”，在“分界點”處的隸屬度波動比較大的原因在4）中會進行說明.由圖2和圖3可明顯觀察出，未給出模糊劃分的隸屬函數(shù)的跨度比模糊劃分下隸屬函數(shù)的跨度要大.由上述分析可知，在未給出模糊劃分的條件下，隸屬函數(shù)呈現(xiàn)出較大波動振幅和跨度，且在邊界處波動更為明顯.

圖6 高個子隸屬度方差Fig.6 The variance of membership degree of the tall

圖7 中年人隸屬度方差Fig.7 The variance of membership degree of the middle-age

4）模糊集合隸屬函數(shù)的圖像分析.如圖2～5所示，屬性身高的每一個模糊子類的隸屬函數(shù)圖像都較光滑，而無論是否有模糊劃分，屬性年齡的每個模糊子類的隸屬函數(shù)圖像都存在間斷點.問卷1要求被調(diào)查者給出恰當?shù)膮^(qū)間，即傳統(tǒng)模糊統(tǒng)計法，問卷2在此基礎上加入了模糊劃分這一前提條件.由于不同被調(diào)查者受家庭背景、教育程度、人生閱歷、性格等影響，所以給出的區(qū)間端點存在一定差異，“分界點”的產(chǎn)生也源于此，從而出現(xiàn)間斷點，這也是模糊統(tǒng)計法確定隸屬函數(shù)所存在的缺陷.由圖2和圖3也可發(fā)現(xiàn)，對于同一模糊概念，在給出模糊劃分前提條件之下，隸屬函數(shù)圖像的間斷點要比無模糊劃分下更少.

3 基于模糊劃分確定模糊集合隸屬函數(shù)的一般原則

由統(tǒng)計實驗可知，在模糊劃分之下，每個模糊劃分子類所對應的模糊集合隸屬函數(shù)在總體上符合定義1中關于模糊劃分的5個條件.基于定義1和本文對實驗結果的分析，提出基于模糊劃分確定模糊集合隸屬函數(shù)的一般性原則：對于某個模糊謂詞（如：中年人），可以采用如下方法確定其隸屬函數(shù)：

1）確定產(chǎn)生該謂詞的模糊劃分，如前文所述，模糊謂詞產(chǎn)生于模糊劃分，例如“中年人”所在的模糊劃分為｛青年人，中年人，老年人｝；

2）確定該謂詞所對應屬性的取值范圍，例如“中年人”所對應的屬性是“年齡”，年齡的取值范圍為U＝［0，150］；

3）在取值范圍U中，分別確定模糊劃分中的每個模糊謂詞所對應的標準點或標準區(qū)間，即使得關于模糊劃分中的模糊謂詞的隸屬度為1的點或者其構成的集合，標準點或者標準區(qū)間可通過調(diào)查獲得，例如“中年人”對應的標準區(qū)間為［45，50］；

4）基于標準點或標準區(qū)間，利用定義1中的條件4）和5）即可大致確定出模糊劃分中各模糊謂詞所對應的模糊集合的隸屬函數(shù).

模糊集合的隸屬函數(shù)僅是關于對象由量變到質(zhì)變過程的數(shù)學描述，是一種近似的描述.該描述也符合一般性的規(guī)律，即符合一定范圍內(nèi)大多數(shù)人對模糊謂詞的認識規(guī)律.從這個意義上講，隸屬度與概率類似.由大數(shù)定律知道，概率描述的是大量隨機現(xiàn)象的平均規(guī)律.

4 結論

本文研究了模糊劃分對模糊集合隸屬函數(shù)的影響，通過2組實驗對2個模糊屬性值“高個子”“中年人”的隸屬函數(shù)進行了對比分析.實驗表明：在已知模糊劃分條件下，采用模糊統(tǒng)計法確定隸屬度具有更好的穩(wěn)定性和一致性，且滿足文獻［27-28］中模糊劃分定義的5個條件.在無模糊劃分條件下，隸屬函數(shù)的波動幅度和跨度更大.因此，模糊劃分對模糊集合隸屬函數(shù)的確立存在顯著影響.此外，采用模糊統(tǒng)計法確定隸屬函數(shù)時存在一個明顯缺陷，即區(qū)間端點的確定易受社會觀念影響，從而導致隸屬函數(shù)出現(xiàn)間斷點.

本項研究雖在一定程度上闡明了模糊劃分對模糊集合隸屬函數(shù)的影響，但由于所涉及的模糊謂詞相對較少，實驗的調(diào)查范圍相對較窄，且實驗所采集到的數(shù)據(jù)量也相對較少.因此，影響模糊集合隸屬函數(shù)確定的關鍵要素及其影響機制，還需進一步研究，并通過更多的實驗數(shù)據(jù)支撐，這將是今后工作的努力方向.