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    關(guān)于Chebyshev多項式的首尾差r-循環(huán)矩陣的行列式

    2021-07-14 02:04:12何承源
    關(guān)鍵詞:行列式定理證明

    邱 濤, 雷 林, 何承源

    (西華大學(xué) 理學(xué)院,四川 成都610039)

    循環(huán)矩陣因其特殊的結(jié)構(gòu)特征,而被廣泛應(yīng)用于許多現(xiàn)代工程科學(xué)領(lǐng)域[1-5],如編碼理論、數(shù)字圖像識別、密碼學(xué)、信號處理、石油勘測等.近年來,在矩陣?yán)碚撗芯款I(lǐng)域,對特殊循環(huán)矩陣的研究一直是一個熱門的方向,國內(nèi)外大量學(xué)者對經(jīng)典循環(huán)矩陣[6]不斷進行推廣和延伸.主要研究包含特殊數(shù)列及多項式的特殊循環(huán)矩陣的行列式、逆矩陣、譜范數(shù)、非奇異性、自反廣義逆、特征值、冪運算等性質(zhì).

    循環(huán)矩陣的行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具,在各方面有著重要的作用.文獻[7]通過矩陣分解理論,給出了包含F(xiàn)ibonacci與Lucas數(shù)列的循環(huán)矩陣行列式;文獻[8]采用同樣的分解原理,將數(shù)列推廣到Jacobsthal與Jacobsthal-Lucas數(shù)列,并給出了行列式的顯式表達式;文獻[9]研究了H-循環(huán)矩陣及H-左循環(huán)矩陣的行列式;文獻[10-11]給出了H-循環(huán)矩陣的判別及求解H-循環(huán)矩陣線性系統(tǒng)的快速算法;文獻[12]討論了廣義Fibonacci多項式的循環(huán)矩陣行列式;文獻[13]給出了包含三階序列的行斜首加尾右循環(huán)(RSFPLR)和行斜尾加首左循環(huán)(RSLPFL)矩陣的行列式;文獻[14-16]將矩陣推廣到行首加r尾r右循環(huán)(RFPrLrR)和行尾加r首r左循環(huán)(RFPrLrL)矩陣,分別給出了包含不同線性遞推數(shù)列和多項式的行列式.

    基于以上研究,本文主要將對H-循環(huán)矩陣和行斜首加尾右循環(huán)矩陣的研究推廣到對首尾差r-循環(huán)矩陣的研究,同時把H-左循環(huán)矩陣和行斜尾加首左循環(huán)矩陣推廣到首尾差r-左循環(huán)矩陣,這2類矩陣具有更廣義的形式.本文利用多項式因式分解逆變換的方法,給出了包含第一、二類Chebyshev多項式的矩陣的行列式,最后通過數(shù)值實例對定理進行了驗證.

    1 預(yù)備知識

    定義1[17]第一、二類Chebyshev多項式是權(quán)函數(shù)為且由序列{1,x,…,x n,…}在區(qū)間[-1,1]上正交化得到的正交多項式,具體表達式為:

    其二階線性遞推公式為:

    {Tn(x)}與{Un(x)}的通項公式為:

    其中

    定義2[18]記Mn×n(C)為復(fù)數(shù)域上n階矩陣的集合,若矩陣A∈Mn×n(C)有如下形式

    則稱矩陣A為首尾差r-循環(huán)(FLDcircr)矩陣,簡記為A=FLDcircr(a1,a2,…,a n).

    第一行元素a0,a1,…,a n-1決定了矩陣A的構(gòu)成:對第i行的行尾元素先乘r,第i行的行首元素再減去第i行的行尾元素,所有元素向右移一位就得到第i+1行元素.FLDcircr矩陣是一類特殊的循環(huán)矩陣,不同于首尾和(FLS)r-循環(huán)矩陣[19-20]和行首加r尾r右循環(huán)矩陣(RFPrLrR)[14-16],也不是這2類的特殊情況.當(dāng)r=1,則FLDcircr矩陣就是H-循環(huán)矩陣[911];當(dāng)r= -1,則FLDcircr矩陣就是行斜首加尾循環(huán)矩陣(RSFPLR)[12-13].

    定義π為n階基本FLDcircr矩陣,則π的具體表達形式為

    π的特征多項式為

    且有

    規(guī)定π0=In,這里In是n階單位矩陣.FLDcircr矩陣可由基本FLDcircr矩陣π來表示,有

    定義3若矩陣B∈Mn×n(C)有如下形式:

    則稱B為首尾差r-左循環(huán)(FLDLcircr)矩陣,簡記為B=FLDLcircr(a1,a2,…,a n).

    FLDLcircr矩陣的構(gòu)成規(guī)則:對第i行的行首元素先乘r,第i行行尾元素再減去第i行的行首元素,所有元素向左移一位就得到第i+1行.

    引理1[18]設(shè)矩陣

    那么A的特征值為

    這里 ωi(i=1,2,…,n)是基本FLDcircr矩陣π的特征值,即ωi是方程

    的根.

    引理2

    其中

    ωi(i=1,2,…,n)是方程(2)的根,s、t是方程

    的根,a≠0,c,b,a∈R.

    證明

    其中s、t是方程的根,根據(jù)韋達定理有

    由于ωi是方程(2)的根,則有

    其中,Δn-1=sn-1+t n-1,Δn=sn+t n(下同).

    引理3設(shè)

    是一個FLDLcircr矩陣,

    是一個FLDcircr矩陣,則有

    證明容易驗證:

    其中

    進一步可以得到

    2 主要結(jié)論及其證明

    首先,研究關(guān)于第一類Chebyshev多項式Tn的首尾差r-循環(huán)矩陣及首尾差r-左循環(huán)矩陣的行列式,得到的結(jié)果和證明如下.

    定理1設(shè)矩陣C=FLDcircr(T1,T2,…,Tn),那么

    其中

    證明矩陣C=FLDcircr(T1,T2,…,Tn)表示為

    由引理1,可得矩陣C的行列式為

    根據(jù)引理2,可得

    的2個根.

    推論1設(shè)矩陣

    那么

    其中

    證明矩陣

    表示為

    類似定理1的證明,可以得到推論1的結(jié)果.

    定理2設(shè)矩陣

    那么

    其中

    證明由定義3,矩陣

    可以表示為

    所以,根據(jù)引理3有

    且由推論1知

    故有

    其中

    其次,考慮包含第二類Chebyshev多項式Un的首尾差r-循環(huán)矩陣及首尾差r-左循環(huán)矩陣的行列式,得到的結(jié)果和證明如下.

    定理3設(shè)矩陣

    那么

    其中

    證明矩陣

    表示為

    由引理1,可得矩陣F的行列式為

    根據(jù)引理2,可得

    其中

    s3、t3是關(guān)于 ωi的方程

    的2個根.

    推論2設(shè)矩陣

    那么

    其中

    證明矩陣

    表示為

    類似定理3的證明,可以得到推論2的結(jié)果.

    定理4設(shè)矩陣

    那么

    其中

    證明由定義3,矩陣

    可以表示為

    所以,根據(jù)引理3有detH=detGdet,且由推論2知

    故有

    其中

    3 數(shù)值舉例

    設(shè)3階矩陣

    求矩陣A的行列式.

    解由定義1和定義2可知,矩陣A是包含第一類Chebyshev多項式的首尾差r-循環(huán)矩陣,其中r=2,那么A可以簡記為A=FLDcirc2(T1,T2,T3).根據(jù)定理1可以得到

    其中

    取x= -1,則

    由定理1可得

    當(dāng)x= -1,矩陣根據(jù)行列式理論有

    4 結(jié)論

    通過數(shù)值舉例,對本文提出的方法進行了驗證.利用類似的證明方法,參數(shù)r取不同的值,可以將對FLDcircr矩陣和FLDLcircr矩陣的研究推廣到其他特殊的循環(huán)矩陣,如:當(dāng)r=1,可以得到H-循環(huán)矩陣和H-左循環(huán)矩陣的行列式,見文獻[9];當(dāng)r=-1,可以得到行斜首加尾循環(huán)矩陣和行斜尾加首左循環(huán)矩陣的行列式,見文獻[12-13].利用本文的這些理論也可將矩陣元素推廣到二階線性遞推數(shù)列、三階線性序列和多項式,進而研究包含這些特殊數(shù)列的特殊循環(huán)矩陣行列式及其他性質(zhì).

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