具有低碰撞區(qū)的跳頻序列的理論界

唐小虎

（西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都611756）

由于跳頻擴(kuò)頻（FHSS）通信系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾能力、較高的保密性等特性，因而廣泛應(yīng)用于移動(dòng)通信、短距離無線通信、軍事無線通信等領(lǐng)域.對(duì)于跳頻通信系統(tǒng)，使用跳頻序列進(jìn)行頻移鍵控調(diào)制，使載波不斷地進(jìn)行跳變.漢明（Hamming）相關(guān)函數(shù)是兩個(gè)跳頻序列之間的一個(gè)重要特征，用來描述跳頻序列在不同時(shí)隙頻率重疊的總次數(shù)，是影響跳頻通信系統(tǒng)性能的重要因素之一.跳頻序列理論一直是現(xiàn)代擴(kuò)頻通信領(lǐng)域的重要研究課題.跳頻序列理論包括跳頻序列理論界與跳頻序列設(shè)計(jì)兩方面.跳頻序列理論界是評(píng)價(jià)跳頻序列集性能優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)跳頻序列設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義［1-7］.

根據(jù)跳頻通信理論可知，為了降低多址干擾，跳頻擴(kuò)頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)應(yīng)該具有如下“理想”特性：跳頻序列除零時(shí)延外的全部自相關(guān)值和全部互相關(guān)值都應(yīng)該是零.然而，由跳頻序列理論界可以推出，“理想”跳頻序列集的有關(guān)參數(shù)必須滿足等式MN＝q，其中，N為跳頻序列周期（長(zhǎng)度）、M為跳頻序列個(gè)數(shù)、q為跳頻序列利用的頻率數(shù)目［6］.在實(shí)際跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，使用的跳頻序列的長(zhǎng)度總是大于頻率數(shù)目，因而等式MN＝q總是不成立的，所以跳頻通信系統(tǒng)一定存在用戶間的多址干擾.

為了解決這些問題，必須創(chuàng)建一種新的研究思路，設(shè)計(jì)新型的跳頻序列.首先考慮使用的一種思路是在“較小”的時(shí)延范圍內(nèi)分析跳頻序列的漢明相關(guān)性.2006年，Peng等［8］提出低碰撞區(qū)跳頻序列的新概念，將跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)自變量限制在零時(shí)延附近的一個(gè)小區(qū)間（LH）內(nèi)進(jìn)行研究.對(duì)于跳頻序列集，當(dāng)時(shí)延不超過LH時(shí)，如果每個(gè)跳頻序列的漢明自相關(guān)值（零時(shí)延除外）和任意2個(gè)跳頻序列的漢明互相關(guān)值都取很小的值（例如0、1、2等），則把這種跳頻序列集稱為“低碰撞區(qū)跳頻序列集”，LH稱為“低碰撞區(qū)（LHZ）”.特別地，當(dāng)時(shí)延不超過LH時(shí)，如果每個(gè)跳頻序列的漢明自相關(guān)值（零時(shí)延除外）和任意兩個(gè)跳頻序列的漢明互相關(guān)值都取0，則把跳頻序列集稱為“無碰撞區(qū)跳頻序列集”，這樣的LH稱為“無碰撞區(qū)（NHZ）”，記為NH.很明顯，對(duì)于低碰撞區(qū)跳頻序列集，當(dāng)時(shí)延不超過LH時(shí)，序列的漢明相關(guān)值較小，并且序列數(shù)目較多［8-9］.

自從低（無）碰撞區(qū)跳頻序列的概念與研究方法被提出以后，尤其是首批研究成果公布報(bào)道以來，在國(guó)內(nèi)外引起較大反響，許多學(xué)者開始投入低碰撞區(qū)跳頻序列的研究，研究成果非常豐富，不斷在國(guó)際期刊或國(guó)際會(huì)議發(fā)表出來.人們不但建立了一批低碰撞區(qū)跳頻序列的理論界，而且構(gòu)造出許多最優(yōu)低碰撞區(qū)跳頻序列集，推動(dòng)了跳頻序列理論的發(fā)展［10-26］.本文綜合論述低碰撞區(qū)跳頻序列理論界的研究狀況.

1 具有低碰撞區(qū)的跳頻序列周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界

在跳頻通信系統(tǒng)中，發(fā)射機(jī)發(fā)送信號(hào)使用的頻率是不斷變化的，用跳頻序列來描述這種變化規(guī)律.用F＝｛f1，f2，…，f q｝表示跳頻通信系統(tǒng)使用頻率的集合，其中q＝｜F｜表示頻率的數(shù)目，把

x＝（x0，x1，…，x N－1），x i∈F，i＝0，1，…，N－1稱為F上的一個(gè)跳頻序列，其中N被稱為跳頻序列x的長(zhǎng)度或周期.令S是由M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合.

對(duì)于任給2個(gè)頻率f1，f2∈F，設(shè)

跳頻序列的漢明相關(guān)函數(shù)是刻畫跳頻通信系統(tǒng)2個(gè)用戶發(fā)送信號(hào)使用頻率相互重疊的次數(shù).

定義1.1［5］已知2個(gè)跳頻序列

l為整數(shù)，0≤l＜N，把

稱為跳頻序列x和y關(guān)于時(shí)延l的周期漢明相關(guān)函數(shù).式中的下標(biāo)加法i＋l是按模N運(yùn)算，并且這里只考慮正時(shí)延l.

已知跳頻序列集S，把

稱為S的最大周期漢明自相關(guān)邊峰值，把

稱為S的最大周期漢明互相關(guān)值.令

在不引起混淆的時(shí)候，簡(jiǎn)記

對(duì)于異步跳頻通信系統(tǒng)，要求每對(duì)跳頻序列在整個(gè)周期內(nèi)無碰撞，可是根據(jù)跳頻序列的理論界，這樣的跳頻序列的數(shù)目非常少，難以支持較多的用戶.但是，如果將序列的漢明相關(guān)值限制在零時(shí)延附近的一個(gè)較小的時(shí)延范圍內(nèi)研究，就能夠構(gòu)造出較多的跳頻序列.這就是低碰撞區(qū)跳頻序列產(chǎn)生的基本思想.

下面給出低碰撞區(qū)跳頻擴(kuò)頻序列的準(zhǔn)確定義.

定義1.2［4，8］設(shè)S是由頻率集F上的M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合，任給正整數(shù)

令

把LAHZ稱為S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)低碰撞區(qū)，LCHZ稱為S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)低碰撞區(qū)，LHZ稱為S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū).進(jìn)一步地，把S稱為一個(gè)具有低碰撞區(qū)LHZ的跳頻序列集，或者簡(jiǎn)稱S是一個(gè)LHZ跳頻序列集.

在定義1.1中，如果令

低碰撞區(qū)LHZ被稱為跳頻序列集S的一個(gè)無碰撞區(qū)，記為NHZ，同時(shí)把S稱為一個(gè)具有無碰撞區(qū)NHZ的跳頻序列集，或簡(jiǎn)稱S是一個(gè)NHZ跳頻序列集.

由定義1.1可知，完整描述一個(gè)低碰撞區(qū)跳頻序列集S需要的參數(shù)有：跳頻序列使用頻率的數(shù)目q、跳頻序列的長(zhǎng)度N、序列的數(shù)目M、低碰撞區(qū)長(zhǎng)度LHZ、在低碰撞區(qū)內(nèi)的最大漢明自相關(guān)邊峰值Ha和在低碰撞區(qū)內(nèi)的最大漢明互相關(guān)值Hc.因此，可以把低碰撞區(qū)跳頻序列集記為

類似地，無碰撞區(qū)跳頻序列集具有4個(gè)參數(shù)，記為對(duì)于跳頻通信系統(tǒng)，為了減少多址干擾，設(shè)計(jì)的跳頻序列應(yīng)該使其Ha和Hc盡可能?。ɡ鏗a，Hc＝0，1或2等），使低碰撞區(qū)長(zhǎng)度LHZ和序列個(gè)數(shù)M盡可能大.基于低碰撞區(qū)跳頻序列的準(zhǔn)同步跳頻多址通信系統(tǒng)，只要相對(duì)時(shí)延不超過低碰撞區(qū)，序列之間的漢明相關(guān)值仍然是零或者是很小的值，能夠有效地降低甚至消除系統(tǒng)的多址干擾.低碰撞區(qū)跳頻序列在多用戶雷達(dá)、聲納、藍(lán)牙和超寬帶等無線通信系統(tǒng)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值［25-30］.

為了評(píng)價(jià)低碰撞區(qū)跳頻序列的性能，必須揭示低碰撞區(qū)跳頻序列集全部參數(shù)滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系.2003年，Ye等［9］首次給出了具有無碰撞區(qū)的跳頻序列關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界.

定理1.1（Ye-Fan界）［9］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合，NHZ是序列集S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的無碰撞區(qū)，則有

設(shè)a是一個(gè)實(shí)數(shù)，用表示小于或等于a的最大整數(shù)，用表示大于或等于a的最小整數(shù).

2006年，Peng等［8］首次建立了具有低碰撞區(qū)的跳頻序列關(guān)于周期漢明相關(guān)的理論界.

定理1.2（Peng-Fan-Lee界）［8］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合，LHZ是S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū)，令

那么對(duì)于任意整數(shù)Z（0≤Z≤LHZ），有

注意到，Hm＝max｛Ha，Hc｝，由定理1.2可以得到如下推論.

推論1.1設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，LHZ是S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū)，令

那么對(duì)于任意整數(shù)Z（0≤Z≤LHZ），有

很明顯，界（4）比界（5）更簡(jiǎn)潔，但由于

所以，界（5）比界（4）更緊.

在定理1.2中，令Ha＝Hc＝0，直接得到下面關(guān)于無碰撞區(qū)跳頻序列的理論界.

推論1.2設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，NHZ是S的無碰撞區(qū).令

那么

可見，界（6）就是Ye-Fan界（1）.

現(xiàn)在將界（7）進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到如下結(jié)果.

推論1.3設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，NHZ是S的無碰撞區(qū)，那么

證明把界（7）變形為

設(shè)

代入上式得

當(dāng)0≤ε＜1時(shí)，有

所以（8）式成立.

界（6）可以變形為可見，界（8）比界（6）更緊.

定理1.2開創(chuàng)了低碰撞區(qū)跳頻序列研究的新方向，從此以后，有關(guān)低碰撞區(qū)跳頻序列的理論界與序列設(shè)計(jì)的研究成果不斷被報(bào)道.2011年，Ye等［31］進(jìn)一步改進(jìn)了無碰撞區(qū)跳頻序列關(guān)于周期漢明相關(guān)的理論界，獲得了以下結(jié)果.

定理1.3（Ye-Fan界）［31］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，NHZ是序列集S關(guān)于周期漢明相關(guān)的無碰撞區(qū)，則有

2019年，Liu等［15］建立了一個(gè)新的低碰撞區(qū)跳頻序列關(guān)于周期漢明相關(guān)的理論界.

定理1.4（Liu-Shu-Zeng界）［15］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合，LHZ是序列集S關(guān)于周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū).那么

在定理1.4中，令LHZ＝N－1，可以得到常規(guī)跳頻序列集周期漢明相關(guān)函數(shù)新的理論界.

推論1.4設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列組成的集合，那么

2 具有低碰撞區(qū)的跳頻序列非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界

跳頻序列的非周期漢明相關(guān)函數(shù)是描述跳頻通信系統(tǒng)頻率碰撞的又一個(gè)重要指標(biāo)，它的定義如下.

定義2.1已知2個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列

l為整數(shù)，且0≤l＜N，跳頻序列x和y關(guān)于時(shí)延l的非周期漢明相關(guān)函數(shù)定義為

已知跳頻序列集S，把

稱為S的最大非周期漢明自相關(guān)邊峰值.把

稱為S的最大非周期漢明互相關(guān)值.設(shè)

為了簡(jiǎn)便，令

現(xiàn)在給出跳頻序列集非周期漢明相關(guān)函數(shù)低碰撞區(qū)的概念.

定義2.2已知跳頻序列集S，令整數(shù)a≥0，c≥0，那么，S關(guān)于非周期漢明相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)低碰撞區(qū)LAAHZ、互相關(guān)低碰撞區(qū)LACHZ與低碰撞區(qū)LAHZ分別定義如下：

2010年，Niu等［20］首次給出了具有低碰撞區(qū)跳頻序列集的非周期漢明相關(guān)函數(shù)的理論界.

定理2.1（Niu-Peng-Liu界）［20］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，LAHZ是序列集S關(guān)于非周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū).那么，對(duì)于任意整數(shù)Z（0≤Z≤LAHZ），有

推論2.1設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，LAHZ是序列集S關(guān)于非周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū).那么，對(duì)于任意整數(shù)Z（0≤Z≤LAHZ），有

在定理2.1中，令

可以得到常規(guī)跳頻序列集非周期漢明相關(guān)函數(shù)一個(gè)新的理論界.

推論2.2設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，則有

推論2.3設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，則有

容易驗(yàn)證，理論界（14）與（15）比早期的常規(guī)跳頻序列集非周期漢明相關(guān)的Peng-Fan界更緊［5］.2015年，Han等［23］得到了低碰撞區(qū)跳頻序列集關(guān)于非周期漢明相關(guān)理論界的如下結(jié)果.

定理2.2（Han-Peng-Liu界）［23］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，LAHZ是序列集S關(guān)于非周期漢明相關(guān)函數(shù)的低碰撞區(qū).對(duì)于任意整數(shù)Z（0≤Z≤LAHZ），有如下結(jié)論.

當(dāng)0≤Z≤min（LAHZ，N－a）時(shí)，有

當(dāng)0≤Z≤min（LAHZ，N－a）時(shí)，有

2018年，Liu等［32］得到了無碰撞區(qū)跳頻序列集關(guān)于非周期漢明相關(guān)的一個(gè)新理論界.

定理2.3（Liu-Zhou-Zeng界）［32］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，NAHZ是序列集S關(guān)于非周期漢明相關(guān)函數(shù)的無碰撞區(qū)，則有

3 具有低碰撞區(qū)的跳頻序列部分漢明相關(guān)函數(shù)的理論界

跳頻序列的部分漢明相關(guān)是在一個(gè)比序列周期“更小”的時(shí)延范圍內(nèi)考慮序列的漢明相關(guān)特性.在實(shí)際應(yīng)用中，部分漢明相關(guān)比全周期漢明相關(guān)能更準(zhǔn)確地描述跳頻通信系統(tǒng)的干擾特性.由于跳頻序列部分漢明相關(guān)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，研究比較困難，所以，在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，公開報(bào)道的研究結(jié)果較少.近年來，引入了跳頻序列低碰撞區(qū)的概念，為跳頻序列部分漢明相關(guān)函數(shù)理論研究提供了一種新方法，從而獲得了一系列新的研究結(jié)果.

首先給出跳頻序列周期部分漢明相關(guān)函數(shù)的概念.

定義3.1［5，16］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，對(duì)于任意兩個(gè)跳頻序列

序列x和y在相對(duì)時(shí)延為τ，相關(guān)窗起點(diǎn)為j，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)時(shí)的周期部分漢明相關(guān)函數(shù)定義為

其中，下標(biāo)i＋τ按模N運(yùn)算.當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，

被稱為周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)；當(dāng)x≠y時(shí)被稱為周期部分漢明互相關(guān)函數(shù).明顯地，如果令j＝0并且L＝N，周期部分漢明相關(guān)函數(shù)與周期漢明相關(guān)函數(shù)一致.進(jìn)一步地，把

稱為跳頻序列集S的最大周期部分漢明自相關(guān).把

稱為跳頻序列集S的最大周期部分漢明互相關(guān).把

稱為跳頻序列集S的最大周期部分漢明相關(guān).在不引起混淆的時(shí)候，令

現(xiàn)在定義跳頻序列周期部分漢明相關(guān)函數(shù)低碰撞區(qū)的概念.

定義3.2設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合.對(duì)于任意給定的相關(guān)窗L（L≤N），令正整數(shù)

把定義為跳頻序列集S的部分漢明自相關(guān)低碰撞區(qū)，把

定義為跳頻序列集S的部分漢明互相關(guān)低碰撞區(qū)，把

定義為跳頻序列集S的部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū).

特別地，當(dāng)j＝0且L＝N時(shí)，序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)、周期部分漢明自相關(guān)低碰撞區(qū)和周期部分漢明互相關(guān)低碰撞區(qū)分別成為跳頻序列集的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū)，周期漢明自相關(guān)低碰撞區(qū)和周期漢明互相關(guān)低碰撞區(qū).為了簡(jiǎn)便，令LPHZ＝LPHZ（L）.

2018年，文獻(xiàn)［18，33］首次建立了低碰撞區(qū)跳頻序列集周期部分漢明自相關(guān)和周期部分漢明互相關(guān)理論界.

定理3.1［18，33］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，部分漢明相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），LPHZ為S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)，令

那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LPHZ），有

令PLm＝max｛PLa，PLc｝，由定理3.1立即得到以下推論.

推論3.1對(duì)于任意正整數(shù)Z，0≤Z≤LPHZ，令

有

在定理3.1中，令L＝N，則跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LPHZ即成為序列集S的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LHZ，可以直接導(dǎo)出低碰撞區(qū)跳頻序列集周期漢明相關(guān)的理論界.

推論3.2設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，LHZ為跳頻序列集S的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū).令

那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LHZ），有

因此，界（21）和（22）分別是關(guān)于低碰撞區(qū)跳頻序列周期漢明相關(guān)的Peng-Fan-Lee界（2）和（3）.如果令跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)Z＝LPHZ＝N－1，由定理3.1直接得出常規(guī)跳頻序列集周期漢明相關(guān)的理論界.

推論3.3設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，則有

可以看出，理論界（23）和（24）即是關(guān)于常規(guī)跳頻序列周期漢明相關(guān)的Peng-Fan界［5］.在定理3.1中，令LPHZ＝N－1，可以得到常規(guī)跳頻序列周期部分漢明相關(guān)的理論界［5］.

推論3.4設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），令

則有

注意到Pm＝max｛Pa，Pc｝，可以直接得到以下推論.

推論3.5設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），令

有

2017年，Zhou等［25］改進(jìn)了界（20），獲得了低碰撞區(qū)跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)一個(gè)新的理論界.

定理3.2（Zhou-Peng-Liang界）［25］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)，令

那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LPHZ），有

定理3.3（Zhou-Peng-Han界）［26］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū).那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LPHZ），有

容易檢驗(yàn)，界（30）比界（19）更緊.2018年，Liu等［17］獲得了低碰撞區(qū)跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)的一個(gè)理論界.

定理3.4（Liu-Zhou界）［17］設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū).那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LPHZ），有

容易檢驗(yàn)，界（31）比界（20）（29）更緊，并且與（20）（29）式相比較，（31）式更簡(jiǎn)潔，它不含參數(shù)I.在定理3.4中，令LPHZ＝N－1，直接得到常規(guī)跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)的理論界.

推論3.6設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），則有

容易檢驗(yàn)，界（32）比界（27）和（28）更緊.

4 具有低碰撞區(qū)的跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)平均值的理論界

對(duì)于跳頻序列的理論界，早期學(xué)者基本上都集中研究跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)的最大值，這是從“最壞”的角度評(píng)估跳頻序列的性能，根本原因還是數(shù)學(xué)描述比較容易.對(duì)于跳頻擴(kuò)頻通信系統(tǒng)性能評(píng)估，跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)的平均值也是一個(gè)重要的標(biāo)準(zhǔn).但是，跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)平均值的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，研究很難，一直未見有關(guān)研究結(jié)果.從2000年以來，彭代淵［4-5］開始研究跳頻序列漢明相關(guān)函數(shù)平均值的理論界，不斷有研究結(jié)果被發(fā)表出來.

首先給出跳頻序列集平均漢明相關(guān)的有關(guān)定義.

定義4.1［5，34］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，那么

和

分別稱為跳頻序列集S的周期漢明自相關(guān)碰撞總數(shù)和周期漢明互相關(guān)碰撞總數(shù).將

和

分別稱為跳頻序列集S的平均周期漢明自相關(guān)和平均周期漢明互相關(guān).在不引起混淆的時(shí)候，令

現(xiàn)在給出部分漢明相關(guān)函數(shù)平均值的定義.

定義4.2［5，35］設(shè)F是個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N）.把

稱為跳頻序列集S在相關(guān)窗L內(nèi)的周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)總值，把

稱為跳頻序列集S在相關(guān)窗L內(nèi)的周期部分漢明互相關(guān)總值.跳頻序列集S在相關(guān)窗L內(nèi)的周期部分漢明自相關(guān)函數(shù)平均值與周期部分漢明互相關(guān)平均值分別定義為：

現(xiàn)在給出低碰撞區(qū)跳頻序列集平均周期部分漢明相關(guān)的定義.

定義4.3［35-36］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū).對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LPHZ），把

和

分別稱為跳頻序列集S在低碰撞區(qū)LPHZ內(nèi)的周期部分漢明自相關(guān)總碰撞次數(shù)和周期部分漢明互相關(guān)總碰撞次數(shù)，并把

和

分別稱為跳頻序列集S在低碰撞區(qū)LPHZ內(nèi)的平均周期部分漢明自相關(guān)和平均周期部分漢明互相關(guān).2010年，Niu等［35-36］得到了具有低碰撞區(qū)的跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)平均值的理論界.

定理4.1（Niu-Peng-Liu界）［35-36］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），LPHZ為跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)，令

那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LPHZ），有

在定理4.1中，令j＝0，L＝N，則跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LPHZ成為S的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LHZ，從而直接得到低碰撞區(qū)跳頻序列集周期漢明相關(guān)函數(shù)平均值的理論界如下.

推論4.1［5］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，S的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū)為L(zhǎng)HZ，設(shè)

那么對(duì)于任意正整數(shù)Z（0≤Z≤LHZ），有

在定理4.1中，令Z＝LPHZ＝N－1，得到常規(guī)跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)平均值的理論界.

推論4.2［5］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的跳頻序列構(gòu)成的集合，相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L≤N），設(shè)

那么

5 具有低碰撞區(qū)的寬間隔跳頻序列漢明相關(guān)的理論界

在有些無線通信應(yīng)用中，要求實(shí)現(xiàn)寬間隔跳頻，即要求在2個(gè)相鄰跳頻時(shí)隙里發(fā)射的2個(gè)載波的頻率間隔大于某個(gè)規(guī)定的值.使用寬間隔跳頻序列，有利于對(duì)抗窄帶干擾、跟蹤干擾與寬帶阻塞式干擾［2］.首先給出寬間隔跳頻序列的定義.

定義5.1［2，37］設(shè)F＝ ｛f1，f2，…，f q｝是一個(gè)頻率集，f1＜f2＜…＜f q，x＝（x0，x1，…，x N－1）是F中長(zhǎng)度為N的跳頻序列，D是一個(gè)給定的整數(shù)，如果

則稱x是一個(gè)寬間隔跳頻序列，并且把滿足（39）式最小的D稱為x的最小間隔.

2019年，Li等［37］首次得到了具有低碰撞區(qū)的寬間隔跳頻序列集部分漢明相關(guān)的理論界.

定理5.1（Li-Fan-Yang界）［37］設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的寬間隔跳頻序列構(gòu)成的集合，部分漢明相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（1≤L≤N），LPHZ為S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)，令

那么

在定理5.1中，令部分漢明相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝N，則跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LPHZ即成為序列集S的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LHZ，可以直接得到具有低碰撞區(qū)的寬間隔跳頻序列集周期漢明相關(guān)的理論界.

推論5.2設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的寬間隔跳頻序列構(gòu)成的集合，LHZ為跳頻序列集S的周期漢明相關(guān)低碰撞區(qū)，令

那么

在定理5.1中，令跳頻序列集S的周期部分漢明相關(guān)低碰撞區(qū)LPHZ＝N－1，則直接導(dǎo)出寬間隔跳頻序列集周期部分漢明相關(guān)的理論界.

推論5.2設(shè)F是一個(gè)頻率集，其元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的寬間隔跳頻序列構(gòu)成的集合，部分漢明相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)（1≤L≤N），令

那么

在推論5.2中令跳頻序列集S的部分漢明相關(guān)窗長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝N，則直接導(dǎo)出寬間隔跳頻序列集周期漢明相關(guān)的理論界.

推論5.3設(shè)F是一個(gè)頻率集，元素個(gè)數(shù)為q，S是由F中M個(gè)長(zhǎng)度為N的寬間隔跳頻序列構(gòu)成的集合，令

那么

特別地，在（52）式中，令M＝1，得到一個(gè)長(zhǎng)度為N的寬間隔跳頻序列最大漢明自相關(guān)的理論界，那么

其中r＝Nmodq.

6 結(jié)論

跳頻序列一直是擴(kuò)頻通信領(lǐng)域的基礎(chǔ)理論研究課題.跳頻序列理論包括理論界與序列設(shè)計(jì)2個(gè)方面.長(zhǎng)期以來，跳頻序列設(shè)計(jì)的研究成果很豐富，但跳頻序列理論界的研究結(jié)果不多.直到本世紀(jì)初，我國(guó)學(xué)者提出了“低碰撞區(qū)跳頻序列”的概念，并建立了相應(yīng)的研究方法，為跳頻序列的研究開創(chuàng)了一個(gè)新方向.從此開始，在國(guó)內(nèi)外掀起了一股跳頻序列的研究熱潮，許多學(xué)者從事跳頻序列理論的研究，大量研究成果被報(bào)道.文獻(xiàn)［5］全面論述了常規(guī)跳頻序列理論界的研究成果.本文完整地系統(tǒng)地闡述具有低碰撞區(qū)的跳頻序列理論界的研究成果.可以看到，低碰撞區(qū)跳頻序列理論界不但包含常規(guī)跳頻序列理論界作為特例，而且得到了一些新的更緊的常規(guī)跳頻序列理論界.

關(guān)于低碰撞區(qū)跳頻序列設(shè)計(jì)的研究成果，將另外撰文論述.