新課程理念下的三角函數(shù)圖象變換教學(xué)

安徽 王東旭

(作者單位：安徽省滁州二中)

三角函數(shù)圖象變換歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，也是高考常常眷顧的考點.其中周期變換和相位變換，理解起來比較困難，極易造成混亂.新課程理念注重學(xué)生課堂學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，強調(diào)學(xué)生的自主探究，注重學(xué)習(xí)的遷移.數(shù)學(xué)新課程理念還強調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對人的思維的培育.本文基于新課程理念，以教育學(xué)的基本理論為指導(dǎo)，針對以上兩個難點提出破解策略.

一、問題描述

三角函數(shù)的周期變換，即由函數(shù)y=Asinx到y(tǒng)=Asinωx的變換，學(xué)生經(jīng)常錯誤地認為是在縱坐標不變的情況下，橫坐標變?yōu)樵瓉淼摩乇?假定ω>0)；三角函數(shù)的相位變換，即對于函數(shù)y=Asinωx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(φ>0)的變換，學(xué)生經(jīng)常錯誤的認為是向左平移φ個單位.

二、課程設(shè)計主線

以問題為導(dǎo)向的“拋錨式”教學(xué)模式，是將知識拋錨在一定的問題情境中，以激發(fā)學(xué)生的好奇心為內(nèi)驅(qū)力.教師通過在課堂上不斷地提出問題，讓學(xué)生在教師的指引下自主完成相關(guān)任務(wù).以周期變換為例，簡要敘述課程設(shè)計主線.

學(xué)習(xí)方式：將班級分成兩大組，每組推選組長.小組內(nèi)部獨立完成教師提出的各項要求和問題，內(nèi)部要積極合作交流，達成解決問題的方案，組內(nèi)互幫互助.小組之間圍繞著問題進行PK！

問題1：函數(shù)y=sinx與y=sin2x圖象之間有何關(guān)系?如何研究？

教師提示：可以通過我們熟悉的“五點法”作圖觀察圖象來解決.

過程：學(xué)生在教師事先準備好的表格和坐標系上作圖.

每小組內(nèi)部討論，遴選出質(zhì)量較高的圖示，教師在多媒體上進行投影，分享給其他同學(xué).

教師點評，并給出準確的作圖.

問題2：如何用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)y=sinx與y=sin2x圖象之間的關(guān)系?

小組討論，并派代表發(fā)言……緊接著教師點評，并給出規(guī)范化的表達……舉一反三，教師追問……

小組討論，并派代表發(fā)言……緊接著教師點評，并給出規(guī)范化的表達……

問題4：根據(jù)以上具體函數(shù)圖象之間的變換規(guī)律，能否對函數(shù)y=sinx到函數(shù)y=sinωx的變換進行描述?

有了以上學(xué)生的回答，以及教師的點評和講解，知識的生成應(yīng)是水到渠成的.當(dāng)然教師對以上的每個問題都要給出最精準的描述或總結(jié)，教師的描述和總結(jié)就是最終生成的知識；其次教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生注重知識的遷移，主動闡釋前后知識的聯(lián)系.

教師點評：教師的點評對學(xué)生來說既是知識性的，又是情感性的.點評的好壞不僅影響到學(xué)生對新知識的接受程度，還影響到學(xué)生的興趣、情緒、情感.因此，教師既要注重知識的總結(jié)性評價，也要注重過程性評價，還要針對不同層次的學(xué)生進行差異性評價等.例如，教師可以就小組探究結(jié)論的正確性進行點評，可以就數(shù)學(xué)語言表達的準確性進行點評，還可以就學(xué)生在參與小組合作過程中表現(xiàn)出的合作精神、態(tài)度和價值觀等進行點評.

鞏固與提升：讓學(xué)生口頭敘述一些函數(shù)圖象的變換，再給出相應(yīng)的變式訓(xùn)練.

三角函數(shù)圖象的相位變換的設(shè)計思路與周期變換基本一致，這里不再贅述.

三、課程設(shè)計的基本理念

(一)改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式

新課程改革要求還課堂給學(xué)生，改變以往教師“滿堂灌”的教學(xué)模式.倡導(dǎo)學(xué)生主動參與、樂于探究、勤于思考，培養(yǎng)學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力.

在探究函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，要求學(xué)生列表、作圖、小組討論、交流、回答預(yù)設(shè)問題等等.教師只需在課堂上觀察、指導(dǎo)和評價，合理有序的組織課堂.充分發(fā)揮學(xué)生在課堂上的主體地位.

(二)立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.直觀想象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》指出直觀想象是中學(xué)生著力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)形結(jié)合這一思想方法是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，是體現(xiàn)直觀想象核心素養(yǎng)的重要途徑.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的指引下，教師在講解這部分知識時，應(yīng)充分強調(diào)“五點法作圖”對于學(xué)生理解圖象變換問題的價值.通過圖象上具體的一個個“點動”引起“圖動”，從而激發(fā)同學(xué)們對圖象變換原理的思考和認識.

2.數(shù)學(xué)抽象

“五點法作圖”最終得出函數(shù)圖象的變換方式.在推理模式上是由特殊到一般的不完全歸納推理，因此自身存在不嚴謹?shù)囊幻?數(shù)學(xué)上，追求一般性原理是數(shù)學(xué)邏輯的魅力所在，也是人的直觀想象思維向抽象邏輯思維邁進的必然要求.針對水平層次較高的學(xué)生,引入函數(shù)圖象的變換的原理就更為必要.一般性原理的生成正是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的重要途徑.

再如，三角函數(shù)圖象的周期變換本質(zhì)上是平面直角坐標系中坐標的伸縮變換.函數(shù)圖象的伸縮變換在人民教育出版社A版選修4-4教材中才正式引入.但在教學(xué)實踐中會不斷地遇到相關(guān)的問題，筆者認為針對水平層次較高的學(xué)生，不妨大膽地提前引入！

(三)運用信息化平臺

利用數(shù)學(xué)軟件作出函數(shù)圖象精準、快速、高效，在軟件平臺上操作，圖象可以根據(jù)需要進行局部特寫，這大大地提高課堂的效率，也能夠充分吸引學(xué)生的注意力，引起學(xué)生的無意注意.這種效果是教師手工繪制無法企及的.在三角函數(shù)圖象變換這節(jié)課，教師可以充分利用現(xiàn)代的教育技術(shù)，展示圖象的千變?nèi)f化，并在這個過程中不斷引導(dǎo)學(xué)生對圖象變換的具體過程進行思考、探索.例如，函數(shù)y=sinx與y=sin2x的圖象，可以將兩個函數(shù)圖象畫在同一個平面直角坐標系中，二者之間的關(guān)系便一目了然!

還可以設(shè)置參數(shù)ω，制作函數(shù)y=sinωx，讓函數(shù)y=sinωx的圖象隨著ω的變化而動起來，這樣在同一坐標系下函數(shù)y=sinx與y=sinωx的關(guān)系將十分清楚，教學(xué)效率大大提高，能起到事半功倍的效果！

同樣可以設(shè)置參數(shù)φ，制作函數(shù)y=sin(2x+φ)，讓函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象隨著φ的變化而動起來，讓學(xué)生觀察動態(tài)效果！

無論是周期變換，還是相位變換，教學(xué)中都不要急于把結(jié)論拋給學(xué)生，要結(jié)合多個具體的函數(shù)變換實例，讓學(xué)生自主探究，并結(jié)合幾何畫板操作，最終得到結(jié)論.在知識產(chǎn)生形成的過程中，教師要讓學(xué)生親歷從具體到抽象、從特殊到一般的探究過程，要讓學(xué)生有思考和探究的機會，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，只有這樣學(xué)生才會理解的深刻！這也正是新課程改革的理念所在！

“互聯(lián)網(wǎng)+”已經(jīng)滲透到教育行業(yè)，教師可以提前制作好微視頻，給學(xué)生觀看，或者利用網(wǎng)絡(luò)上優(yōu)質(zhì)的教學(xué)視頻、素材，作為教學(xué)的一個補充.

(四)注重學(xué)習(xí)遷移

(五)典型例題講解

例題對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用是不言而喻的，變式訓(xùn)練既能加強學(xué)生對新知識的理解，也能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維.三角函數(shù)圖象變換，容易跟三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)形成交匯.

【解法1】先周期變換，再相位變換

【解法2】先相位變換，再周期變換

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【解法1】特殊點法

【解法2】解析突破

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隨著參數(shù)t的變化，g(x)的圖象隨之變化，x1，x2的相對位置也緊跟變化，這里可以結(jié)合幾何畫板的動態(tài)效果，展示g(x)在不同位置時，|x1-x2|取得最小值時的變化情況.

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答案：D.