高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的熱點(diǎn)問題探析

楊潔

【摘要】三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是高考的重要考點(diǎn)，所以我們需要加強(qiáng)對(duì)此方面的關(guān)注程度.我們通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)下很多學(xué)生無(wú)法在考試中發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)相關(guān)習(xí)題的考查點(diǎn)，出現(xiàn)嚴(yán)重失分的現(xiàn)象，所以本文總結(jié)了高考數(shù)學(xué)中三角函數(shù)方面的熱點(diǎn)問題，指出相關(guān)習(xí)題的考查內(nèi)容與解題方式，以達(dá)到對(duì)學(xué)生解答三角函數(shù)相關(guān)問題有一定的啟示作用的目的.

【關(guān)鍵詞】高考;三角函數(shù);熱點(diǎn)問題;分析

教育部越來(lái)越重視學(xué)生對(duì)知識(shí)基礎(chǔ)概念的掌握與運(yùn)用，對(duì)于這一點(diǎn)，我們從近些年高中數(shù)學(xué)考試中便可以發(fā)現(xiàn)一些端倪.三角函數(shù)是高中知識(shí)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考的重要組成部分，從這幾年的高考試卷中我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于三角函數(shù)習(xí)題的設(shè)置，集中于基礎(chǔ)概念、三角恒等變換等內(nèi)容.因此，學(xué)生必須理解并掌握三角函數(shù)的理論知識(shí)，遇到三角函數(shù)相關(guān)習(xí)題后，可以快速掌握出題人的意圖，選擇科學(xué)的方法解答問題.以下將指出高考中三角函數(shù)方面的熱點(diǎn)問題，在此基礎(chǔ)上給出解答相關(guān)問題的方法.

一、三角函數(shù)熱點(diǎn)問題

（一）常規(guī)題

例題1 （2018全國(guó)Ⅲ理）若sin α=13，則cos 2α=（? ）.

A.89?? B.79?? C.-79?? D.-89

解析 本題利用二倍角公式可以得出答案，cos 2α=1-2sin2α=1-2[]9=7[]9，所以本題選擇B.

（二）公式的正用與逆用

例題2 （2019江蘇）已知tan αtanα+π4=-23，則sin2α+π4的值是.

解析 展開已知條件給出的式子，tan αtan α+11-tan α=tan α（1-tan α）tan α+1=-23，為了簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，防止計(jì)算過程中出錯(cuò)，在這里我們使用換元法，用x替換等式中的tan α，在等式兩邊交叉相乘后得到等式3x2-5x-2=0，解得x 1=-13，x 2=2，即tan α=-1[]3，或tan α=2.展開sin2α+π[]4得22（sin 2α+cos 2α），這里可以使用萬(wàn)能公式求解，但是會(huì)增加求解過程，所以本題使用齊次思想，將等式轉(zhuǎn)換成22×2sinαcosα-sin2α+cos2αsin2α+cos2α=22×2tan α-tan 2α+1tan 2α+1，接下來(lái)將tan α=-13或tan α=2分別代入式子中，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果均是210.故填2[]10.

（三）三角函數(shù)方程與零點(diǎn)問題

例題3 （2018全國(guó)Ⅲ理）函數(shù)f（x）=cos3x+π6在[0，π]中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

解析 本道題求的是函數(shù)在[0，π]中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以使用兩種方法：

①因?yàn)閤∈[0，π]，所以3x+π6∈π6，19π6，令3x+π6分別等于π[]2，3π[]2，5[]2π，均可以得到一個(gè)零點(diǎn).

②令cos3x+π6=0，則3x+π6=π2+kπ3x=π3+kπ，x=π9+kπ3，因?yàn)閤∈[0，π]，所以k可以取0，1，2.采

用第一種做法與第二種做法均可以求出函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).故填3.

（四）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例題4 （2018天津理）將函數(shù)y=sin2x+π5的圖像向右平移π10個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)（? ）.

A.在區(qū)間3π4，5π[]4上單調(diào)遞增

B.在區(qū)間3π4，π上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間5π4，3π2上單調(diào)遞增

D.在區(qū)間3π2，2π上單調(diào)遞減

解析 閱讀題干，圖像向右平移π10個(gè)單位長(zhǎng)度，按照左加右減的規(guī)律，得到平移后的圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin2x-π10+π5=sin 2x.圖1為y=sin 2x的函數(shù)圖像，通過圖像直接進(jìn)行判斷，發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)A的表述與函數(shù)圖像一致.故選A.

例題5 （2019天津文）已知函數(shù)f（x）= Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<π）是奇函數(shù)，且f（x）的最小正周期是π，將函數(shù)y=f（x）的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x），若gπ4=2，則f3π8=（? ）.

A.-2?? B.-2?? C.2?? D.2

解析 從題目提供的已知條件中我們了解到f（x）=Asin（ωx+φ）是一個(gè)奇函數(shù)，暗示著函數(shù)中的φ一定是π[]2的偶數(shù)倍.題干給出|φ|<π的條件，在此種情況下φ只能取0.根據(jù)掌握的條件函數(shù)表達(dá)式為f（x）=Asix ωx，又函數(shù)的最小正周期是π，故通過周期公式T=2πω得2πω=π，得出ω=2，因?yàn)楹瘮?shù)式中ω是正數(shù)，所以確定ω就是2.此時(shí)函數(shù)式中只剩A一個(gè)未知量了，根據(jù)題干條件“將函數(shù)y=f（x）的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加到原來(lái)的2倍”，橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍代表函數(shù)周期變成原來(lái)的2倍，則ω相應(yīng)地減少一半，在條件改變后得到的函數(shù)解析式g（x）=Asin x.結(jié)合已知條件“gπ4=2”，得g（x）=Asinπ4=2A=2，函數(shù)f（x）中的未知量全部解出來(lái)了，f（x）=2sin 2x，此時(shí)將3π[]8代入函數(shù)式中，f3π8=2sin3π4=2，因此本題應(yīng)該選擇C.

（五）綜合應(yīng)用

例題6 （2019全國(guó)Ⅰ理）關(guān)于函數(shù)f（x）=sinx+sin x有下述四個(gè)結(jié)論：

（1）f（x）為偶函數(shù);

（2）f（x）在區(qū)間π[]2，π單調(diào)遞增;

（3）f（x）在[-π，π]有4個(gè)零點(diǎn);

（4）f（x）的最大值是2.

以上結(jié)論中正確的編號(hào)是（? ）.

A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.（2）（4）

D.（1）（4）

解析

分析第一個(gè)結(jié)論，函數(shù)是否為偶函數(shù)，由偶函數(shù)具備f（-x）=f（x）的特性，分析函數(shù)f（x）=sinx+sin x，sinx與sin x分別含有絕對(duì)值符號(hào)，所以對(duì)x添加負(fù)號(hào)不會(huì)對(duì)函數(shù)值造成影響，結(jié)論（1）是正確的.

從結(jié)論（2）給出的條件，我們知道x的范圍在區(qū)間π[]2，π上，函數(shù)中的自變量x在此區(qū)間中可以去掉sin|x|的絕對(duì)值符號(hào).因?yàn)閤在區(qū)間π[]2，π內(nèi)時(shí)|sin x|是正數(shù)，絕對(duì)值符號(hào)添加與否不會(huì)改變函數(shù)的結(jié)果，所以|sin x|的絕對(duì)值符號(hào)也可以去掉.函數(shù)的兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)去掉后，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=sin x+sin x=2sin x，該函數(shù)在π[]2，π范圍中單調(diào)遞減，所以結(jié)論（2）不正確.

結(jié)論（3）提問函數(shù)f（x）的零點(diǎn)數(shù)量，我們使用0作為分界點(diǎn)研究一半?yún)^(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)量，這樣可以快速判斷函數(shù)在整個(gè)區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)量.結(jié)合函數(shù)解析式先計(jì)算f（0），因?yàn)閒（0）=sin|0|+|sin 0|=0，所以可以直接排除此選項(xiàng)，因?yàn)閒（x）=sin|x|+|sin x|本身就是偶函數(shù)，以零為分界點(diǎn)的兩個(gè)區(qū)間零點(diǎn)數(shù)量應(yīng)該相同，所以函數(shù)在[-π，π]中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)該是奇數(shù)，與結(jié)論⑶存在出入，所以此結(jié)論是錯(cuò)誤的.

分析結(jié)論（4），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=sin|x|+|sin? x|是偶函數(shù)，且當(dāng)x在π[]2，π內(nèi)時(shí)f（x）=2sin x，所以函數(shù)的最大值就是2.

因此本題應(yīng)該選擇D選項(xiàng).

二、提高學(xué)生解題能力的建議

近些年高考出題注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念與公式的把控，三角函數(shù)作為高考數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，占據(jù)一定的分?jǐn)?shù)，從往年高考數(shù)學(xué)試卷學(xué)生在三角函數(shù)方面得分的表現(xiàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)屬于學(xué)生的薄弱項(xiàng)，大部分學(xué)生不能靈活地使用學(xué)習(xí)過的概念、性質(zhì)與公式處理問題，以下將提出解決相關(guān)問題的方法.

（一）熟記基礎(chǔ)概念與公式

靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解三角函數(shù)問題的前提是掌握三角函數(shù)的定義與公式.我們對(duì)往年高考試卷在三角函數(shù)方面的習(xí)題進(jìn)行深入的研究與分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)下命題組在三角函數(shù)習(xí)題設(shè)置方面，主要通過正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系.解答高考試卷內(nèi)的三角函數(shù)試題，需要運(yùn)用三角函數(shù)公式，鑒于很多學(xué)生容易遺忘三角函數(shù)公式，所以采用科學(xué)的方式記憶公式與三角函數(shù)概念變得異常關(guān)鍵，學(xué)生可以使用象限作為輔助工具記憶相關(guān)知識(shí)，第一、二象限角的正弦值為正，第一、四象限角的余弦值為正等，防止正弦、余弦轉(zhuǎn)換時(shí)因?yàn)榉?hào)問題，無(wú)法得出正確的結(jié)果.

（二）掌握三角函數(shù)性質(zhì)與三角形邊角的關(guān)系

三角函數(shù)相關(guān)問題注重性質(zhì)與函數(shù)圖像的考查.解答三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的問題時(shí)，我們一般使用數(shù)形結(jié)合的答題方式，使用五點(diǎn)畫圖法或是平移，確定函數(shù)圖像，在此基礎(chǔ)上分析函數(shù)性質(zhì).高考在三角函數(shù)性質(zhì)考查方面，一般常出已知函數(shù)性質(zhì)與圖像，在此基礎(chǔ)上提出問題的題，還有一類是已經(jīng)函數(shù)表達(dá)式研究函數(shù)性質(zhì).

遇到三角形邊角關(guān)系的問題時(shí)，我們一般使用余弦定理、正弦定理，將問題中混雜邊角的內(nèi)容轉(zhuǎn)換成單一的邊問題或角問題，這是解答三角形邊角關(guān)系問題的思路.其中正弦定理與余弦定理是完成三角形邊角轉(zhuǎn)化的橋梁，學(xué)生必須對(duì)其擁有正確的認(rèn)識(shí)，在平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練.

三、結(jié)語(yǔ)

高考數(shù)學(xué)重視學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，三角函數(shù)方面的知識(shí)集中在知識(shí)應(yīng)用性與綜合性層面的考查，雖然當(dāng)下三角函數(shù)的知識(shí)逐漸與其他類型的知識(shí)相互結(jié)合，但是高考對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的考查仍然集中在基礎(chǔ)性質(zhì)方面.當(dāng)下學(xué)生應(yīng)該夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，在掌握三角函數(shù)性質(zhì)與圖像的基礎(chǔ)上，還需要按照高考出題難度于課下勤加練習(xí)，由此強(qiáng)化自身在解三角形與三角恒等變換方面的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉憶多.高考中一類三角函數(shù)問題的解法探析[J].科學(xué)咨詢，2015（37）：80.