混合B樣條實體模型的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化

楊佳明，趙 罡,2，王 偉,3，郭馬一，杜孝孝

混合B樣條實體模型的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化

楊佳明1，趙 罡1,2，王 偉1,3，郭馬一1，杜孝孝1

(1. 北京航空航天大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，北京 100191；2. 航空高端裝備智能制造技術(shù)工業(yè)和信息化部重點實驗室，北京 100191；3. 北京市高效綠色數(shù)控加工工藝及裝備工程技術(shù)研究中心，北京 100191)

等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法將經(jīng)典拓?fù)鋬?yōu)化理論中的有限元分析過程更改為等幾何分析計算，從而提高了拓?fù)鋬?yōu)化的效率與穩(wěn)定性。針對現(xiàn)有的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法在處理復(fù)雜實體結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題時具有一定的局限性，提出一種非結(jié)構(gòu)化樣條實體等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法。基于混合B樣條構(gòu)造技術(shù)，在非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格上構(gòu)造具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的樣條實體，并將其作為拓?fù)鋬?yōu)化問題的設(shè)計域。用于描述這一樣條實體的基函數(shù)被直接應(yīng)用于材料密度分布的表達(dá)以及等幾何分析計算。在數(shù)值算例中，該方法表現(xiàn)出應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)時的良好穩(wěn)定性和魯棒性。研究成果對等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法應(yīng)用于實際工程問題具有一定的參考意義。

拓?fù)鋬?yōu)化；等幾何分析；體參數(shù)化；B樣條；非結(jié)構(gòu)化樣條

拓?fù)鋬?yōu)化是一種重要的工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。目前常見的拓?fù)鋬?yōu)化方法包括：均勻化方法[1]、固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)法[2-3]、漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[4]、水平集方法[5-7]、移動組件法[8-9]等。由于這些方法可以在設(shè)計域中按照給定約束條件高效地搜索最優(yōu)的設(shè)計結(jié)構(gòu)，因此被廣泛應(yīng)用于各類工程問題。其中，AAGE等[10]將千兆體素級的SIMP法應(yīng)用于全尺寸機翼的結(jié)構(gòu)設(shè)計并將該成果發(fā)表于《Nature》期刊上，體現(xiàn)了拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的應(yīng)用潛力。

這些經(jīng)典的拓?fù)鋬?yōu)化方法一般都會通過有限元方法來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計算。但傳統(tǒng)的有限元方法存在以下問題和局限性：①低階連續(xù)性的有限元有可能影響優(yōu)化計算的準(zhǔn)確性并導(dǎo)致數(shù)值計算的不穩(wěn)定 性[11]；②繁瑣耗時的有限元前處理過程割裂了幾何設(shè)計與力學(xué)分析過程，從而使拓?fù)鋬?yōu)化難以作為一種設(shè)計工具完全融入到現(xiàn)有的計算機輔助設(shè)計系統(tǒng)之中。

HUGHES等[12-13]推廣的等幾何分析方法作為有限元方法，被認(rèn)為有可能突破上述局限性。其核心思想是直接利用CAD中描述幾何模型的樣條基函數(shù)來表達(dá)力學(xué)分析中的未知場。由于該方法統(tǒng)一了設(shè)計與分析過程中模型的基礎(chǔ)表達(dá)形式，避免了模型轉(zhuǎn)換引起的誤差，因此具有諸多優(yōu)勢。國內(nèi)外很多學(xué)者將其應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化，從而形成了等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法。其中，SEO等[14]最先提出在拓?fù)鋬?yōu)化中使用等幾何分析方法及裁剪樣條曲面；隨后，HASSANI等[15]提出了在點密度SIMP法基礎(chǔ)上引入NURBS基函數(shù)的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法；QIAN[16]將設(shè)計域嵌入到一個B樣條空間中，證明了基于樣條函數(shù)的材料密度分布表示方法不僅具有良好的效率和魯棒性，并且具有固有的過濾性質(zhì)。國內(nèi)WANG和BENSON[17]將等幾何分析引入到水平集方法中，并針對等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法提出了一種高效的計算框架[18]；XIE等[19-20]探索了等幾何拓?fù)鋬?yōu)化在移動組件法中的應(yīng)用；GAO等[21-22]對基于NURBS的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法及相關(guān)應(yīng)用開展了深入的研究。

可以看到，現(xiàn)有的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化研究大多基于經(jīng)典的樣條構(gòu)造方法，如B樣條、NURBS。而這些張量積樣條方法受制于矩形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。盡管可以使用裁剪、拼接等造型方法進行處理，但要保證復(fù)雜設(shè)計域模型的水密性依舊是一件極具挑戰(zhàn)的任務(wù)。現(xiàn)有的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法大多只能在簡單的矩形設(shè)計域上進行驗證，制約了在復(fù)雜問題上的探索。尤其對于三維實體問題，一些在復(fù)雜平面設(shè)計域問題中表現(xiàn)良好的方法難以直接推廣至實體層面，如ZHAO等[23]提出的基于非結(jié)構(gòu)化T樣條曲面的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法。

針對上述問題，本文將一種可以在非結(jié)構(gòu)化體網(wǎng)格上構(gòu)造樣條實體的方法引入等幾何拓?fù)鋬?yōu)化。由于允許奇異邊(點)的存在，因此可以對高虧格的復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行表達(dá)，突破傳統(tǒng)方法的矩形拓?fù)湎拗疲贤負(fù)鋬?yōu)化過程的需求。本文使用WEI等[24]提出的混合B樣條構(gòu)造方法。此方法構(gòu)造的樣條函數(shù)不僅具有優(yōu)良的性質(zhì)，如非負(fù)性、規(guī)范性、線性無關(guān)性，并且構(gòu)造過程可靠，具有很好的適應(yīng)性。本文基于此方法構(gòu)造非結(jié)構(gòu)化的樣條實體模型，并給出了在此類模型上實現(xiàn)等幾何拓?fù)鋬?yōu)化的方法，通過算例驗證了其可行性，及對復(fù)雜實體結(jié)構(gòu)的處理能力。該研究成果有望推動等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法在實際工程問題中的應(yīng)用與推廣。

1 混合B樣條實體構(gòu)造方法

本節(jié)簡要回顧B樣條及非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格上的混合B樣條構(gòu)造方法，相關(guān)細(xì)節(jié)可以參考文獻(xiàn)[24-25]。

1.1 B樣條

雙變量/三變量B樣條基函數(shù)可以通過單變量B樣條基函數(shù)的張量積得到。

1.2 混合B樣條構(gòu)造方法

其中，為中的一部分控制頂點。

由節(jié)點插入算法[27]可知，，和0之間存在線性變換關(guān)系

其中，和可以直接通過節(jié)點插入算法得到。將其代入式(4)可以得到基函數(shù)之間的線性關(guān)系

圖2 三變量B樣條基函數(shù)的截斷((a)一個C2控制頂點；(b)基函數(shù)的等值面；(c) C2控制點周圍存在一個激活的C0控制頂點；(d)從中截取后得到的截斷基函數(shù)的等值面)

文獻(xiàn)[24]將上述情況稱為02構(gòu)造。除此之外，根據(jù)激活的0，1控制頂點不同還存在012和02構(gòu)造形式。相比于012和02，本文采用的02方法盡管在奇異點鄰域的連續(xù)性上存在不足，但具有構(gòu)造形式簡單以及基函數(shù)局部線性無關(guān)等優(yōu)勢。

1.3 C02混合B樣條實體構(gòu)造方法

一個非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格中包含了頂點、邊、面和體單元4類元素。定義邊(頂點)的價為：包含這條邊(頂點)的體單元的個數(shù)。定義奇異邊為：價不為4的內(nèi)部邊以及價不為1或2的邊界邊。定義奇異點為：奇異邊的端點。

如果一個體單元的頂點中包含了奇異點，則稱這個體單元為不規(guī)則單元。其余的體單元稱為規(guī)則單元。規(guī)則單元又可分為2類：1-鄰域內(nèi)存在不規(guī)則單元的規(guī)則單元稱為規(guī)則過渡單元，否則稱為規(guī)則非過渡單元。圖3為一個包含三價奇異邊的簡單非結(jié)構(gòu)化體網(wǎng)格，并通過顏色區(qū)分了不同的單元類型。

圖3 非結(jié)構(gòu)化體網(wǎng)格及3種單元類型

1.3.1 不規(guī)則單元

其中，0包含了64個三-三次貝奇爾基函數(shù)。

1.3.2 規(guī)則非過渡單元

1.3.3 規(guī)則過渡單元

圖4 eRT與相鄰非規(guī)則單元之間不同的相對位置關(guān)系

1.3.4 統(tǒng)一構(gòu)造形式

綜上，由式(13)、式(15)和式(17)，可將非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格上的02混合B樣條實體構(gòu)造總結(jié)為

可以發(fā)現(xiàn)，3類單元均可寫為統(tǒng)一的形式，即

1.3.5 連續(xù)性

按照式(19)構(gòu)造的樣條實體模型，在規(guī)則單元間為2連續(xù)，在非規(guī)則單元間為0連續(xù)，在非規(guī)則單元和規(guī)則單元間為0連續(xù)。02混合B樣條實體的連續(xù)性分析的簡要證明如下：

為了討論過渡單元與其相鄰規(guī)則單元間的連續(xù)性，引入以下結(jié)論：

引理[24]1. 對于任意一個固定的單元，其混合B樣條表達(dá)形式(式(12))等價于這個單元的B樣條表達(dá)形式(式(4))。

為了使模型插值于邊界，本文將邊界單元均按照非規(guī)則單元處理。因此，此時邊界曲面為0連續(xù)曲面。為了提高邊界曲面的連續(xù)性，可使用非結(jié)構(gòu)化四邊形網(wǎng)格的012混合構(gòu)造方法對其進行處理。當(dāng)存在原始的B-rep模型時，也可通過調(diào)整邊界控制頂點使其恢復(fù)原始曲面的光順性。

2 等幾何拓?fù)鋬?yōu)化

本節(jié)對混合B樣條實體的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法進行介紹。為了簡化問題的討論同時又不失一般性，本文著重考慮拓?fù)鋬?yōu)化問題中的最小化柔順度問題。

2.1 基于混合B樣條基函數(shù)的材料密度分布

其中，0為材料本身的楊氏模量；min為設(shè)定的最小剛度值，用以避免剛度矩陣奇異的情況；為懲罰因子。

2.2 等幾何分析

在等幾何方法中，可以將靜態(tài)載荷下線彈性問題的剛度方程表示為

其中，為幾何映射(e)的雅可比矩陣。同時，可以通過式(23)對物理域坐標(biāo)的偏導(dǎo)求得；則通過式(22)表示為

其中，0為楊氏模量等于1時的彈性系數(shù)矩陣。

使用高斯積分法來完成式(26)的數(shù)值積分運算，則可表示為

2.3 拓?fù)鋬?yōu)化

2.4 靈敏度分析

則目標(biāo)函數(shù)的靈敏度，即式(31)可寫為

2.5 優(yōu)化流程

圖5 混合B樣條實體等幾何拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

3 數(shù)值算例

3.1 算例1

圖6(b)為用于構(gòu)造此設(shè)計域樣條實體模型的非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格，通過彩色點標(biāo)出了模型表面的部分奇異點。可以看到本文所使用的構(gòu)造方法可以支持邊界奇異點，以及奇異點相鄰的情況。圖6(c)和6(d)分別給出了本文構(gòu)造的02混合B樣條實體及其控制頂點分布。此模型的控制頂點數(shù)(同時也為設(shè)計變量數(shù))為17 745，單元數(shù)為540?？梢钥吹侥Ｐ蛢?nèi)部包含了一些奇異邊(點)。當(dāng)直接使用傳統(tǒng)張量積樣條方法進行構(gòu)造時，需要考慮多塊拼接、裁剪等問題。而本文使用的02混合構(gòu)造方法在處理時則較為簡潔。

圖6 算例1的設(shè)計域及混合B樣條實體模型((a)設(shè)計域；(b)用于構(gòu)造混合B樣條實體的非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格；(c)構(gòu)造的混合B樣條實體模型及等幾何分析結(jié)果(x向位移)；(d)樣條實體模型的控制點)

等幾何拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖7(a)所示，最終目標(biāo)函數(shù)值為60.283 8，迭代次數(shù)為78。作為對比，圖7(b)中展示了SIMP方法的優(yōu)化結(jié)果。該模型的單元數(shù)為22 680，最終目標(biāo)函數(shù)值為66.488 1。相比于SIMP方法，本文方法以較少的單元數(shù)得到了較好的優(yōu)化結(jié)果(更低的柔順度)。主要是由于在SIMP方法中，材料密度分布通過離散單元的形式來表達(dá)，每一個單元對應(yīng)一個單一的密度值。而本文方法以連續(xù)的樣條函數(shù)來表達(dá)材料密度分布，每個單元都具有內(nèi)部的密度分布函數(shù)，且單元間密度分布連續(xù)，因此可以通過較少的單元表達(dá)復(fù)雜的材料密度分布結(jié)構(gòu)。

圖7 算例1的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果((a)混合B樣條實體等幾何拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果；(b) SIMP法優(yōu)化結(jié)果)

圖8為本例中等幾何拓?fù)鋬?yōu)化的收斂曲線以及部分中間結(jié)果?？梢钥吹秸麄€優(yōu)化過程的收斂速度較快，且較為光滑，沒有出現(xiàn)明顯的振蕩。說明本文的方法具有較好的收斂性質(zhì)。

圖8 算例1的優(yōu)化收斂曲線

3.2 算例2

本例為一個復(fù)雜實體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。設(shè)計域及邊界條件如圖9(a)所示，圖中紅色圓柱面固定，3個角上的藍(lán)色平面施加垂直于平面向外的均布載荷，大小為1。本文將體積分?jǐn)?shù)設(shè)為40%，設(shè)計變量的初始值為0.4。

圖9(b)為用于構(gòu)造此設(shè)計域樣條實體模型的非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格。在圖9(c)中展示了在樣條實體構(gòu)造過程中識別的不同單元類型。其中，紅色為非規(guī)則單元，白色為規(guī)則單元。規(guī)則單元間具有2連續(xù)性。圖9(d)為最終構(gòu)造的02混合B樣條實體及等幾何分析結(jié)果?？梢钥吹轿灰茍鲈谀Ｐ蛢?nèi)部具有較高的連續(xù)性。該模型共有162 303個控制頂點，如圖10(a)所示。如果完全采用貝奇爾提取方法來處理此樣條實體模型，則控制頂點數(shù)為197 895，如圖10(b)所示。由于02構(gòu)造方法在模型內(nèi)部具有更高的連續(xù)性，因此使用了更少的控制頂點，其分布更為稀疏，同時減少了設(shè)計變量的規(guī)模。

圖9 算例2的設(shè)計域及混合B樣條實體模型((a)設(shè)計域；(b)用于構(gòu)造混合B樣條實體的非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格；(c)不同的單元類型：紅色為非規(guī)則單元，白色為規(guī)則單元；(d)構(gòu)造的混合B樣條實體模型及等幾何分析結(jié)果(x向位移))

圖11為本例中等幾何拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果，最終目標(biāo)函數(shù)值為112.159，迭代次數(shù)為100。圖12為目標(biāo)函數(shù)收斂曲線、體積分?jǐn)?shù)收斂曲線，以及部分中間結(jié)果。可以看到，同算例1，在本例中優(yōu)化收斂速度較快，無明顯振蕩，說明本文方法在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時也具有較好的穩(wěn)定性和魯棒性。

圖10 混合B樣條實體與完全采用貝奇爾提取方法時的控制頂點分布對比，圖中每一個紅色點表示一個控制頂點，紅色點越密集的區(qū)域控制頂點數(shù)目越多((a)混合B樣條實體的控制頂點分布；(b)完全采用貝奇爾提取方法時的控制頂點分布)

圖11 算例2的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

圖12 算例2的優(yōu)化收斂曲線

3.3 算例3

本例為一個多工況復(fù)雜實體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。設(shè)計域及2個工況狀態(tài)如圖13(a)和圖13(b)所示。圖中4個紅色圓柱面固定。在工況1時兩側(cè)懸臂的藍(lán)色圓柱面區(qū)域分別受到軸正向和負(fù)向的載荷，大小為1。在工況2時兩側(cè)懸臂的藍(lán)色圓柱面區(qū)域分別受到軸正向和負(fù)向的載荷，大小為1。取體積分?jǐn)?shù)約束為30%。

按照本文方法所構(gòu)造的樣條實體如圖13(c)所示，圖中同時顯示了工況1下的等幾何分析結(jié)果。此模型的控制頂點分布如圖13(d)所示，總個數(shù)為110 283。可以看到由于此模型包含了多個孔洞結(jié)構(gòu)，因此如果直接使用張量積NUBRS實體進行構(gòu)造將會遇到很大困難。

圖13 算例3的設(shè)計域及混合B樣條實體模型((a)設(shè)計域及工況1；(b)設(shè)計域及工況2；(c)構(gòu)造的混合B樣條實體模型及等幾何分析結(jié)果(z向位移)；(d)樣條實體模型的控制點)

在優(yōu)化過程中本文設(shè)定目標(biāo)函數(shù)為2種工況下柔順度的平均值。等幾何拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖14所示，最終目標(biāo)函數(shù)值為141.173，其中工況1的柔順度為267.901，工況2為14.445，迭代次數(shù)為100次。此算例進一步證明了該方法在復(fù)雜實體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題中具有良好的適應(yīng)性。

圖14 算例3的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

4 結(jié)束語

本文針對現(xiàn)有等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法難以處理復(fù)雜實體結(jié)構(gòu)設(shè)計域這一問題，提出了一種基于混合B樣條構(gòu)造的非結(jié)構(gòu)化樣條實體等幾何拓?fù)鋬?yōu)化方法。此方法可在非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格上構(gòu)造具有一定內(nèi)部連續(xù)性的樣條實體。本文將構(gòu)造得到的樣條基函數(shù)直接用于描述拓?fù)鋬?yōu)化問題中的材料密度分布，以及結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算中的未知場。給出了等幾何拓?fù)鋬?yōu)化表達(dá)式以及相應(yīng)的靈敏度計算公式。最后，通過3個算例驗證了本文方法在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題時的有效性和穩(wěn)定性。在這一研究成果基礎(chǔ)之上，有望形成面向?qū)嶋H工程中復(fù)雜模型的等幾何拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計工具。在后續(xù)研究中，如何提高奇異點鄰域的連續(xù)性將會是一個關(guān)鍵的研究方向。

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Isogeometric topology optimization of blended B-spline solid model

YANG Jia-ming1, ZHAO Gang1,2, WANG Wei1,3, GUO Ma-yi1, DU Xiao-xiao1

(1. School of Mechanical Engineering & Automation, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Key Laboratory of Aeronautics Smart Manufacturing, Ministry of Industry and Information Technology, Beijing 100191, China;3. Beijing Engineering Technological Research Center of High-Efficient & Green CNC Machining Process and Equipment, Beijing 100191, China)

For isogeometric topology optimization (ITO) methods, isogeometric analysis (IGA) is adopted for topology optimization to address the limitation of the finite element method, which can improve the efficiency and stability of the optimization. However, it is of great challenge for existing ITO methods to manage arbitrarily shaped design domains, especially in three-dimensional solid problems. Therefore, a new ITO method was proposed to handle unstructured solid models. A spline solid with complex structures was obtained from an unstructured hexahedral mesh based on the blended B-spline construction. The basis functions describing the unstructured spline solid were applied to the representation of density distribution and the calculation of IGA. Several examples proved the flexibility and robustness of the proposed method in dealing with complex structures. These results may shed light on the application of ITO in practical engineering problems.

topology optimization; isogeometric analysis; volume parameterization; B-spline; unstructured splines

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021030501

A

2095-302X(2021)03-0501-10

2020-09-17；

2020-10-15

17 September，2020；

15 October，2020

國家自然科學(xué)基金項目(61972011，61572056)

National Natural Science Foundation of China (61972011, 61572056)

楊佳明(1995-)，男，北京人，博士研究生。主要研究方向為等幾何拓?fù)鋬?yōu)化、T樣條。E-mail：yangjiaming@buaa.edu.cn

YANG Jia-ming (1995-), male, PhD candidate. His main research interests cover isogeometric topology optimization and T-splines. E-mail: yangjiaming@buaa.edu.cn

王 偉(1978-)，男，河北衡水人，副教授，博士。主要研究方向為CAD/CAE、智能計算等。E-mail：jrrt@buaa.edu.cn

WANG Wei (1978-), male, associate professor, Ph.D. His main research interests cover CAD/CAE, intelligence computation, etc. E-mail：jrrt@buaa.edu.cn