曲率對車身A級曲面控制頂點排列的影響*

徐家川 薛遠(yuǎn)水 宋增祥 鄭偉成

（山東理工大學(xué)）

1 前言

影響汽車車身曲面光順質(zhì)量和效率的根本因素是曲面控制頂點的排列[1]，良好的曲面控制頂點排列對于獲得期望的形狀和提高光順效率具有重要意義。對于汽車車身A級曲面，其控制頂點的排列除與曲面的形狀有關(guān)外，還與曲面的曲率和曲面與周邊曲面的連續(xù)性有關(guān)?，F(xiàn)有文獻(xiàn)對曲面光順準(zhǔn)則僅提出控制頂點排列要規(guī)則有序[2,3]，或僅從連續(xù)性方面分析了曲面曲率對控制頂點排列的影響[4]，而沒有對曲面的形狀控制等進(jìn)行探討。針對上述情況，研究了曲面曲率大小對單個基本曲面及多個基本曲面控制頂點排列的影響，并討論了曲率大小對過渡曲面控制頂點排列及其對過渡曲面形狀控制問題。

2 汽車車身A級曲面的表示與Bézier曲面的連續(xù)性

2.1 汽車車身A級曲面的表示

汽車車身A級曲面用Bézier方法表示，其Bernstein基的表達(dá)式為[5]：

式中，p（u,v）為 Bézier曲面上的點，bi，j（i=0,1，···，m，j=0,1，···，n）為曲面的控制頂點；Bi，m（u）和 Bj，n（v）分別為u、v方向的Bernstein基函數(shù)。

圖1為某車身頂蓋曲面及其控制頂點，該曲面為 5×6 次 Bézier曲面。

2.2 Bézier曲面的連續(xù)性

在汽車車身A級曲面中，其過渡曲面在基本曲面之間進(jìn)行過渡時，過渡曲面的兩側(cè)要與基本曲面相匹配。在這種情況下，若過渡曲面與基本曲面之間的連續(xù)性要達(dá)到曲率或以上連續(xù)，則過渡曲面在拼接方向上的次數(shù)應(yīng)為5次（曲率連續(xù)）或7次（撓率連續(xù)）。

在車身曲面光順實踐中，在拼接邊界的長度方向上，過渡曲面與基本曲面的控制頂點有相同的列數(shù)，若在拼接方向上每列控制頂點都滿足曲率或以上連續(xù)的條件，則過渡曲面與基本曲面就滿足曲率或以上連續(xù)，所以曲面的連續(xù)可歸結(jié)為Bézier曲線的連續(xù)。

設(shè)2條n次Bézier曲線Г1末端和曲線Г2首端相拼接，要達(dá)到G2連續(xù)，首先曲線Г1末端和曲線Г2首端的控制頂點重合，即an=b0；同時，曲線Г1末端的2個控制頂點an-1和an與曲線Г2首端的2個控制頂點 b0和 b1共線，即 an-1-an=k（b0-b1），而且按照 an-1、an=b0、b1順序排列，且有：

式中，△an-2=an-1-an-2、△an-1=an-an-1、△b0=b1-b0、△b1=b2-b1分別為控制頂點的差分矢量。

圖2為2條n次Bézier曲線曲率連續(xù)的條件。

3 曲率對基本曲面控制頂點排列的影響

3.1 單個基本曲面控制頂點排列

車身A級曲面中的基本曲面曲率較小，即曲面相對較平坦，這樣的曲面可采用單個Bézier曲面進(jìn)行光順，曲面控制頂點的排列則根據(jù)曲面在u、v方向的曲率大小確定，曲率大的區(qū)域曲面控制頂點密集一些，曲率小的區(qū)域曲面控制頂點稀疏一些。

對于圖1所示的車身頂蓋曲面，其沿u向的前部區(qū)域和后部區(qū)域的曲率較大，而中部區(qū)域的曲率較小，所以在該方向上前部和后部區(qū)域的控制頂點應(yīng)密集，而中部區(qū)域的控制頂點可稀疏；其沿v向的整個曲面的曲率變化不大，所以該方向控制頂點的間距基本一致。這樣布置的控制頂點不僅使曲面能夠很好地貼近點云，提高曲面重構(gòu)的精度，又能保持曲面符合車身造型的總體趨勢。

3.2 復(fù)雜基本曲面控制頂點排列

車身A級曲面中的某些曲面在中部區(qū)域曲率較小，而在曲面的1個或幾個邊緣處的曲率很大。這樣的曲面如果用單個曲面來擬合則構(gòu)建時較難處理，所以通常在合適的位置將該曲面分成2個曲面，且曲率較小處的控制頂點排列稀疏，曲率大的區(qū)域則用密集的控制頂點表示曲面。

圖3a為某微型商務(wù)車發(fā)動機罩，在其黑框線內(nèi)的基本曲面中，前部區(qū)域的曲率很大，而中后部區(qū)域的曲率很小，所以應(yīng)在前部合適位置將該曲面分成2個Bézier曲面。圖3b為黑框線內(nèi)基本曲面的分塊及控制頂點排列，在其前、后方向上曲面前部區(qū)域的控制頂點非常密集，而后部曲面的控制頂點則較稀疏，密集的控制頂點使得曲面更貼近點云，利于大曲率曲面拼接到小曲率曲面上。這2個曲面的構(gòu)建順序是，先建立后部曲面，然后建立前部曲面，最后將前部大曲率曲面匹配到后部小曲率曲面上。

4 曲率對過渡曲面控制頂點排列的影響

為討論曲率對過渡曲面控制頂點排列的影響，首先探討曲率對過渡曲線控制頂點排列的影響。

4.1 曲率對過渡曲線控制頂點排列的影響

在2條曲線之間連接1條平滑的過渡曲線，該曲線控制頂點的排列受曲線曲率和曲線連續(xù)性的影響。圖4表示在2條曲線C1和C2之間搭接1條光滑過渡曲線C3，若要求連續(xù)性在2階以上，則該曲線的次數(shù)應(yīng)在5次（6個控制頂點）以上，那么該曲線曲率的大小對控制頂點排列就有很大影響。

圖4a中過渡曲線C3的曲率處于正常情況，故過渡曲線的控制頂點排列較均勻；圖4b過渡曲線C3的曲率較小，所以其控制頂點在拼接點的兩邊較集中；圖4c中過渡曲線C3的曲率更?。ㄇ€近乎平直），其控制頂點在拼接點的兩邊更集中；圖4d中過渡曲線C3的曲率較大，其控制頂點向曲線的中部聚集；圖4e的過渡曲線C3曲率更大，其控制頂點在中部甚至出現(xiàn)了交叉；圖4f的過渡曲線C3在與兩邊的曲線過渡過程中曲率大小有變化，使得曲線歪向一側(cè)，其控制頂點則是一側(cè)分散，一側(cè)集中。

在曲面光順過程中，圖4a、圖4b、圖4d、圖4f幾種情況可根據(jù)過渡部分曲率的大小和變化情況以及與其它曲線的連續(xù)性，通過調(diào)整過渡曲線的弦高使控制頂點的排列來實現(xiàn)。而圖4c和圖4e的情況下容易出現(xiàn)畸變。

4.2 曲率對過渡曲面控制頂點排列的影響

曲面曲率較大的區(qū)域是連接2個基本曲面的過渡區(qū)域。與過渡曲線一樣，過渡曲面處的曲率對控制頂點的排列也有很大影響，所以在構(gòu)建過渡曲面時，應(yīng)根據(jù)過渡曲面的曲率及其變化情況，采用合適的控制頂點排列使過渡曲面很好地貼近點云，并使之與基本曲面獲得良好的連續(xù)性，提高曲面的光順效率，而不當(dāng)?shù)目刂祈旤c排列則會使曲面出現(xiàn)畸變。

圖5所示的是基本曲面S1和S2在各種曲率下，過渡曲面S3控制頂點的排列及其曲面質(zhì)量的曲率梳評價。圖5a的過渡曲面曲率處于正常情況，其過渡曲面的控制頂點在拼接方向上排列較均勻，曲率梳由基本曲面向過渡曲面逐漸增大，達(dá)到極大值后再逐漸減小，過渡曲面在2個基本曲面之間具有良好的過渡，其本身也有良好的品質(zhì)；圖5b中的過渡曲面曲率較大，故在拼接方向上中間2排控制頂點向曲面中部集中，接近基本曲面處的曲率梳較小，并向過渡曲面的中部逐漸加大，在中部達(dá)到極大值，評價結(jié)果表明該過渡曲面也有良好的品質(zhì)。這2種情況的控制頂點排列都可應(yīng)用于汽車車身A級曲面的光順中。

圖5c中的過渡曲面曲率很大，所以中間2排控制頂點更密集，以致出現(xiàn)交叉，導(dǎo)致曲面出現(xiàn)畸變，從其曲率梳放大圖也可看出，其曲率由基本曲面與過渡曲面拼接處先減小，然后再增大達(dá)到極大值，另一側(cè)的變化與此對稱，這在A級曲面的光順中是不允許出現(xiàn)的情況；圖5d是過渡曲面曲率較小的情況，這使得過渡曲面的控制頂點在拼接方向上向拼接的邊界集中，過渡曲面較平坦，其曲率梳也出現(xiàn)了波動，即由基本曲面處開始先增大，達(dá)到極大值后減小，達(dá)到極小值再增大，達(dá)到極大值再減小，這種情況在A級曲面的光順中也不允許出現(xiàn)。對于這2種情況，可以通過改變基本曲面與過渡曲面的拼接邊界來改善控制頂點的排列，以獲得高品質(zhì)曲面。

圖5e所示的是過渡曲面與兩側(cè)基本曲面拼接時兩側(cè)曲率出現(xiàn)歪斜的情況，即一側(cè)曲率較大，另一側(cè)較小，甚至出現(xiàn)反凹，這在汽車尾部進(jìn)行鴨尾處理時經(jīng)常用到。因此應(yīng)使其過渡曲面較大曲率一側(cè)控制頂點排列密集，而曲率較小一側(cè)的控制頂點排列稀疏，這樣可得到需要的曲面形狀。

5 實例驗證

在汽車車身A級曲面光順中，過渡曲面曲率對基本曲面的控制頂點排列影響實例見圖1和圖3，這里不再贅述。

對于曲率對過渡曲面控制頂點排列的影響，以某轎車后備箱蓋為例進(jìn)行試驗研究。圖6為該轎車后備箱蓋過渡曲面不同曲率及其控制頂點排列情況,S4、S5為后備箱上2個基本曲面，S6為兩基本曲面之間的過渡曲面。

圖6 a的后備箱過渡曲面S6曲率處于正常情況，其控制頂點排列均勻。如果過渡曲面曲率增大，則該曲面的控制頂點在曲面拼接方向上的中間位置排列密集，兩側(cè)稀疏，過渡曲面尖銳；而如果過渡曲面曲率減小，則控制頂點在拼接邊界處排列密集，中間稀疏，過渡曲面平坦。

圖6b的后備箱過渡曲面S6曲率兩側(cè)不均勻，與上部基本曲面S4拼接處的曲率小，與豎直基本曲面S5拼接處的曲率大，所以過渡曲面S6與上部基本曲面S4拼接處的控制頂點較稀疏，而與豎直基本曲面S5拼接處的控制頂點較密集，這使得此處構(gòu)建出了一個鴨尾形狀，且該鴨尾自左至右形狀一致。

圖6c的后備箱過渡曲面S6曲率不僅在拼接方向上有變化，而且左、右方向不同位置其拼接方向的曲率變化也不一致。在過渡曲面S6的左、右兩端，在拼接方向上曲率變化不大，所以其兩端控制頂點排列較均勻，過渡曲面S6與上部基本曲面S4拼接處的曲率從兩端向中部逐漸減小，而與豎直基本曲面S5拼接處的曲率變化不大，因此其與上部基本曲面S4拼接處的控制頂點由兩端向中部逐漸稀疏，在中部最稀疏；而過渡曲面S6與下部豎直基本曲面S5拼接處的控制頂點排列由兩邊至中間稀疏變化不大，因此后備箱蓋過渡曲面處在中間有較明顯的鴨尾，而兩邊鴨尾逐漸減弱以致消失，獲得了不同的形狀效果。

6 結(jié)束語

汽車車身A級曲面光順是車身設(shè)計的關(guān)鍵技術(shù)之一。為提高曲面光順的質(zhì)量和效率，研究了曲面曲率對曲面控制頂點排列的影響。對于基本曲面，可根據(jù)曲面曲率大小調(diào)整曲面控制頂點的排列，曲率大的位置控制頂點密集，曲率小的位置控制頂點排列稀疏些。對于過渡曲面，根據(jù)其曲率大小和連續(xù)性調(diào)整控制頂點排列，以獲得良好的形狀品質(zhì)和連續(xù)性要求。實例表明，合理控制頂點排列不僅可使曲面具有較好的品質(zhì)，而且能提高曲面的光順效率。

1 徐家川，雷雨成，洪英武，等.逆向工程中車身A級曲面的評價方法.汽車技術(shù)，2007（4）：4～8.

2 蘇步青，劉鼎元.計算幾何.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.

3 徐家川，雷雨成，洪英武，等.汽車車身A級曲面光順方法.汽車技術(shù)，2008（2）：17～20.

4 于濟業(yè)，徐家川，李迪，等.汽車車身曲面光順中控制頂點的排列.汽車技術(shù)，2011(7)：51～54.

5 施法中.計算機輔助幾何設(shè)計與非均勻有理B樣條.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1994.