短線法節(jié)段預(yù)制橋梁幾何線形控制的坐標(biāo)變換方法研究

時(shí)學(xué)軍

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司,武漢 430063)

1 概述

隨著橋梁施工技術(shù)的發(fā)展，短線法橋梁節(jié)段預(yù)制拼裝施工具有預(yù)制用地少、自動(dòng)化程度高、運(yùn)輸方便、工期短等優(yōu)點(diǎn)，在橋梁建設(shè)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛[1-4]。在基于短線法的橋梁節(jié)段預(yù)制施工過(guò)程中，需根據(jù)設(shè)計(jì)線形控制每個(gè)節(jié)段在匹配位置的空間位置和姿態(tài)，從而保證拼裝后的線形滿足設(shè)計(jì)和施工要求[5-6]。然而，在節(jié)段預(yù)制施工過(guò)程中，受到測(cè)量誤差、模板誤差、溫度變化等多種因素綜合影響，節(jié)段的實(shí)際位置與理論位置不可避免地存在偏差[7-9]。由于節(jié)段預(yù)制完成后線形將不可調(diào)，因此，高精度幾何線形控制是短線法節(jié)段預(yù)制橋梁施工過(guò)程中的一項(xiàng)重要工作[10-12]。

在短線法節(jié)段預(yù)制橋梁幾何線形控制過(guò)程中，通過(guò)測(cè)量澆筑在節(jié)段上的控制點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)計(jì)算節(jié)段從澆筑位置移動(dòng)到匹配位置的幾何變換關(guān)系，然后評(píng)定節(jié)段在匹配位置與理論設(shè)計(jì)位置的偏差，進(jìn)而對(duì)下一節(jié)段進(jìn)行相應(yīng)的修正，控制誤差的累積，保持線形的準(zhǔn)確性[13-14]。由此可知，控制點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)確的空間變化方法尤為重要，是節(jié)段預(yù)制幾何線形控制的關(guān)鍵因素[15]。侍剛和周凌宇等[16-17]在節(jié)段預(yù)制過(guò)程中利用6個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)(3個(gè)平移參數(shù)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù))實(shí)現(xiàn)2個(gè)坐標(biāo)系間的空間轉(zhuǎn)換，忽略了尺度參數(shù)。黃躍等[18]考慮了尺度參數(shù)，利用基于7參數(shù)的Bursa模型[19]進(jìn)行節(jié)段坐標(biāo)變換，然而B(niǎo)ursa模型是一個(gè)近似的簡(jiǎn)化線性模型，只適用于微小旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)系變換[20]，不適用于角度較大的曲線型橋梁。

從節(jié)段不同階段間坐標(biāo)空間變換的原理出發(fā)，同時(shí)考慮3個(gè)平移參數(shù)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個(gè)尺度參數(shù)，詳細(xì)推導(dǎo)非線性最小二乘平差計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)的方法，該轉(zhuǎn)換方法適用于任意旋轉(zhuǎn)角度間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。同時(shí)，將該方法在鄭許市域鐵路許昌段項(xiàng)目中進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，驗(yàn)證該方法的有效性。

2 幾何線形控制方法

圖1 短線法節(jié)段預(yù)制平面示意

將已澆筑好的節(jié)段n移動(dòng)到其理論設(shè)計(jì)位置時(shí)，由于受到測(cè)量誤差、人工操作、溫度等各種因素綜合影響，節(jié)段n無(wú)法精確移動(dòng)到理論位置，不可避免地存在偏差。為保證橋梁整體線形符合設(shè)計(jì)要求，需對(duì)節(jié)段n進(jìn)行誤差分析，然后對(duì)待澆節(jié)段n+1進(jìn)行糾偏處理，防止誤差累積，短線法幾何線形控制流程如圖2所示。

圖2 短線法幾何線形控制流程

3 空間坐標(biāo)變換方法

3.1 空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

短線法橋梁節(jié)段預(yù)制過(guò)程中關(guān)鍵是控制點(diǎn)坐標(biāo)的空間變換，是進(jìn)行后續(xù)誤差分析與糾偏處理的基礎(chǔ)。對(duì)空間坐標(biāo)變換采用7參數(shù)模型：3個(gè)平移參數(shù)(ΔX，ΔY，ΔZ)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)(εx，εy，εz)和1個(gè)尺度參數(shù)K。ΔX，ΔY，ΔZ分別為X，Y，Z方向上的平移量，εx，εy，εz分別為繞X，Y，Z軸的旋轉(zhuǎn)角度。由于節(jié)段從澆筑位置移動(dòng)到匹配位置后，受到混凝土硬化與溫度等因素影響，節(jié)段尺寸也會(huì)發(fā)生微小的變化，因此，尺度參數(shù)K也納入坐標(biāo)變換模型?；?參數(shù)的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型如式(1)所示

(1)

式中，(X1，Y1，Z1)為節(jié)段在澆筑位置時(shí)控制點(diǎn)的坐標(biāo)；(X2，Y2，Z2)為節(jié)段移動(dòng)到匹配位置后對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)坐標(biāo)；R(ε)為旋轉(zhuǎn)矩陣。R(ε)的構(gòu)建過(guò)程如下：首先將坐標(biāo)軸繞X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)εx，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R(εx)；再將坐標(biāo)軸繞新的Y軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)εy，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R(εy)；最后將坐標(biāo)軸繞新的Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)εz，構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣R(εz)。3次旋轉(zhuǎn)變換合并得到旋轉(zhuǎn)矩陣R(ε)

R(ε)=R(εz)R(εy)R(εx)

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

因此

(6)

顯然，式(6)代入式(1)是一個(gè)非線性方程，對(duì)于Bursa模型，認(rèn)為εx，εy，εz的值很小，利用sinεx≈εx，sinεy≈εy，sinεz≈εz，cosεx≈1，cosεy≈1，cosεz≈1，sinεxsinεy≈0，sinεxsinεz≈0，sinεysinεz≈0進(jìn)行近似替代，所以式(6)可以簡(jiǎn)化為

(7)

Bursa模型將簡(jiǎn)化后的旋轉(zhuǎn)矩陣R(ε)代入式(1)則轉(zhuǎn)換為線性方程，方便利用最小二乘進(jìn)行間接平差求解計(jì)算轉(zhuǎn)換7參數(shù)。

3.2 非線性最小二乘法平差

(8)

式中，dX，dY，dZ為平移參數(shù)的改正數(shù)；dK為尺度參數(shù)的改正數(shù)；dεx，dεy，dεz為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的改正數(shù)，dR為旋轉(zhuǎn)矩陣的微分，其中

(9)

r11=-sinεycosεzdεy-cosεysinεzdεz

(10)

r12=(-sinεxsinεz+cosεxsinεycosεz)dεx+

sinεxcosεycosεzdεy+

(cosεxcosεz-sinεxsinεysinεz)dεz

(11)

r13=(cosεxsinεz+sinεxsinεycosεz)dεx-

cosεxcosεycosεzdεy+

(sinεxcosεz+cosεxsinεysinεz)dεz

(12)

r21=sinεysinεzdεy-cosεycosεzdεz

(13)

r22=-(sinεxcosεz+cosεxsinεysinεz)dεx-

sinεxcosεysinεzdεy-

(cosεxsinεz+sinεxsinεycosεz)dεz

(14)

r23=(cosεxcosεz-sinεxsinεysinεz)dεx+

cosεxcosεysinεzdεy-

(sinεxsinεz-cosεxsinεycosεz)dεz

(15)

r31=cosεydεy

(16)

r32=-cosεxcosεydεx+sinεxsinεydεy

(17)

r33=-sinεxcosεydεx-cosεxsinεydεy

(18)

式(8)依據(jù)間接平差方法可列誤差方程如下

(19)

(20)

其中

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

z33=0

(31)

在式(19)中，li為自由項(xiàng)矩陣，表示為

(32)

間接法平差得到參數(shù)改正數(shù)結(jié)果

(33)

式中，P為權(quán)系數(shù)矩陣，默認(rèn)P=E，另外有

(34)

3.3 轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算過(guò)程

利用最小二乘法直接平差計(jì)算得到7參數(shù)X=[ΔX，ΔY，ΔZ，K，εx，εy，εz]T的步驟如下：

(1)給定參數(shù)初值X0=[0，0，0，1，0，0，0]T；

(5)計(jì)算各控制點(diǎn)的轉(zhuǎn)換殘差，判斷是否有粗差點(diǎn)，如果有粗差點(diǎn)則剔除粗差點(diǎn)后返回步驟(1)重新迭代計(jì)算轉(zhuǎn)換參數(shù)。

平差得到轉(zhuǎn)換參數(shù)值后根據(jù)轉(zhuǎn)換參數(shù)計(jì)算匹配節(jié)段實(shí)際位置與理論位置的偏差，然后根據(jù)設(shè)計(jì)線形對(duì)下一節(jié)段進(jìn)行糾偏處理，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算流程

4 工程應(yīng)用實(shí)例

鄭許市域鐵路許昌段與鄭州機(jī)場(chǎng)至許昌市域鐵路工程鄭州段接軌，線路總長(zhǎng)33.78 km，其中，地上線長(zhǎng)29.76 km，地下線長(zhǎng)4.02 km，線路最小曲線半徑800 m。該段線路橋梁采用后張法預(yù)應(yīng)力混凝土雙線簡(jiǎn)支箱梁，采用節(jié)段預(yù)制拼裝法施工。簡(jiǎn)支箱梁分為12個(gè)節(jié)段進(jìn)行拼接，首尾節(jié)段長(zhǎng)度2.45 m，中間10個(gè)節(jié)段每段長(zhǎng)度2.5 m。為進(jìn)行自動(dòng)化測(cè)量、數(shù)據(jù)分析計(jì)算、線形調(diào)整等工作，開(kāi)發(fā)了基于安卓手機(jī)的應(yīng)用程序，如圖4所示。每個(gè)節(jié)段上布設(shè)6個(gè)控制點(diǎn)，測(cè)量操作通過(guò)手機(jī)藍(lán)牙連接徠卡TS60全站儀進(jìn)行測(cè)量。

圖4 手機(jī)控制程序界面

(35)

利用均方根誤差RMSE(Root Mean Square Error)，來(lái)評(píng)定坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法的精度，節(jié)段n的RMSE值計(jì)算方式如下

(36)

式中，m為節(jié)段上控制點(diǎn)數(shù)量，本文m=6。對(duì)于鄭許市域鐵路許昌段某一直線橋梁，計(jì)算各節(jié)段RMSE值，將該方法與Bursa模型方法對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 直線橋梁各節(jié)段RMSE mm

從表1可以看出，在直線段橋梁上，利用本文轉(zhuǎn)換算法各節(jié)段RMSE值均小于Bursa模型方法。該算法的節(jié)段RMSE平均值為1.39 mm，比Bursa模型小0.14 mm，精度提高了9%。對(duì)于某一曲線橋梁，同樣計(jì)算各節(jié)段RMSE值，將該方法與Bursa模型方法對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 曲線橋梁各節(jié)段RMSE mm

從表2可以看出，在曲線段橋梁上，本算法的節(jié)段RMSE平均值為1.76 mm，Bursa模型方法平均值RMSE為2.12 mm，本算法平均RMSE減少0.36 mm，精度提高17%，提升效果明顯。本算法在曲線段上精度明顯高于Bursa模型算法，主要是由于曲線橋梁上節(jié)段從澆筑位置移動(dòng)到匹配位置后的偏轉(zhuǎn)角度略大于直線橋梁，Bursa模型對(duì)小偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算進(jìn)行了簡(jiǎn)化，而本算法采用嚴(yán)密的轉(zhuǎn)換處理，因此在曲線段橋梁節(jié)段預(yù)制過(guò)程中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法精度更高。

5 結(jié)語(yǔ)

常規(guī)基于Bursa模型的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法只適用于微小旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，在短線法節(jié)段預(yù)制橋梁的幾何線形控制過(guò)程中對(duì)于曲線形橋梁的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換處理存在較大的誤差。通過(guò)構(gòu)建7參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，詳細(xì)推導(dǎo)了基于非線性最小二乘平差的參數(shù)求解過(guò)程，該方法適用于任意旋轉(zhuǎn)角度的坐標(biāo)變換，能夠準(zhǔn)確地對(duì)節(jié)段進(jìn)行坐標(biāo)變換，為節(jié)段誤差分析和糾偏處理奠定了基礎(chǔ)。該方法已經(jīng)成功應(yīng)用于鄭許市域鐵路許昌段的幾何線形控制項(xiàng)目中，結(jié)果表明：該方法在短線法節(jié)段預(yù)制橋梁幾何線形控制的坐標(biāo)變換中具有高精度、高可靠性優(yōu)勢(shì)，適用于各種線形類(lèi)型的橋梁線形控制，尤其在曲線段橋梁上具有更高的轉(zhuǎn)換精度，能夠滿足實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中線形控制的精度要求。