關(guān)于“烙餅問題”教材編寫和教學(xué)的研究（二）

劉憲升

[摘 要]分析教材編排的“優(yōu)化烙法”不合情理的原因：沒有從整體出發(fā)，沒有抓住主要可變因素（厚度、面積及形狀等）進(jìn)行優(yōu)化，只是抓住了“交替烙”這一可變因素進(jìn)行優(yōu)化;更深層次的原因是對(duì)統(tǒng)籌與優(yōu)化思想理解的偏頗。

[關(guān)鍵詞]烙餅問題;優(yōu)化;主要因素

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）14-0004-02

《關(guān)于“烙餅問題”教材編寫和教學(xué)的研究（一）》分析了教材編寫存在的一些不足，下面就分析和探討教材如此設(shè)計(jì)的原因。

一、達(dá)成優(yōu)化烙餅方法受諸多隱含條件的制約

由教材（圖1）可知，“烙餅問題”的條件為：①用圓形平底鍋烙圓形的餅;②每次最多只能烙2張餅;③兩面都要烙，每面3分鐘;④烙3張餅。問題是“怎樣才能盡快吃上餅？”其實(shí)，在這些條件之下很難得出教材圖示的優(yōu)化方案。因?yàn)?，要讓學(xué)生探究出教材設(shè)計(jì)的烙餅方法，不僅需要把問題改為“怎樣才能盡快烙完餅？”，還需要一些條件做保證。

首先，條件①只是由圖示得出的，教材并沒有強(qiáng)調(diào)這一條件。這一條件的合理性是建立在人們的習(xí)慣性思維或思維定式之上的。否則，學(xué)生就有可能抓住這一點(diǎn)進(jìn)行思考，得出更優(yōu)化的烙餅方案。例如，李茂林在《如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處理好數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系——教學(xué)“烙餅問題”一課的思考》中指出，有的學(xué)生把第3張餅切開，填補(bǔ)到鍋的縫隙中，說出充分利用能源和空間的3張餅同時(shí)烙只需6分鐘的方案，這豈不比教材的烙法更好？故“用圓形（唯一不變）平底鍋烙餅，且餅是圓形（不變）的”這一條件必須明確，在此前提下，其他條件才有意義。

其次，對(duì)于條件②“每次最多只能烙2張餅”，要讓學(xué)生知道可以同時(shí)烙2張餅，這樣就能達(dá)到教材提示的“每次總烙2張餅就最省時(shí)間”。當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)問題的條件假設(shè)無(wú)可厚非，可與實(shí)際問題相結(jié)合得思考為什么做此假設(shè)，假設(shè)的合理性何在，最起碼得讓學(xué)生考慮到“鍋里不能同時(shí)放3張餅”這一隱含條件。嚴(yán)格來說，研究（一）中已提到“在圖示圓形平底鍋大小不變，在3張圓餅直徑相同”的情況下，餅的直徑最大為鍋的半徑，但應(yīng)大于鍋半徑的[0.928]倍時(shí)，才不能同時(shí)放3張餅。若缺少此隱含條件的限制，鍋里就有可能同時(shí)放3張餅，一起烙6分鐘即可。如圖2所示的3幅教學(xué)視頻截圖，學(xué)生一眼就可看出：鍋里不僅可以同時(shí)烙3張餅，甚至可以同時(shí)烙4張或更多張餅（更有不少教師讓學(xué)生用小圓紙片或小手當(dāng)餅，用課桌面或黑板當(dāng)鍋）。因此，在這樣的教學(xué)過程中，當(dāng)教師讓學(xué)生探究烙3張餅最少需要多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，就有學(xué)生說是6分鐘。雖然學(xué)生的結(jié)論是源于觀察或直覺，但觀察也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的重要方法。遺憾的是，由于不合教材或教師的設(shè)計(jì)套路，大多數(shù)教師都無(wú)視學(xué)生“6分鐘”的回答;個(gè)別教師雖然讓學(xué)生說想法，可當(dāng)學(xué)生說同時(shí)烙3張餅時(shí)，就會(huì)被教師強(qiáng)調(diào)一次最多只能烙2張餅懟了回去。這樣，既制約了學(xué)生觀察能力的發(fā)展，又約束了學(xué)生的思維，教師也失去了思考機(jī)會(huì)，不利于教學(xué)相長(zhǎng)。

最后，條件③“兩面都要烙，每面3分鐘”也不只是一個(gè)簡(jiǎn)單的條件假設(shè)。因?yàn)橐瑫r(shí)烙2張餅，并能同時(shí)烙熟且不煳，一個(gè)必要的、關(guān)鍵的前提條件是餅的厚度（基本）相同。否則，就不可能同時(shí)烙好、烙熟。其實(shí)，在火焰大小一定的情況下，餅的厚度才是影響烙熟快慢及2張餅同時(shí)烙熟的主要因素（可參考研究（一）中更優(yōu)化烙餅方案的論述）。

綜上，搟成的3張餅只有在滿足上述的隱含條件，且認(rèn)可餅的正反兩面都烙3分鐘，及烙1張餅和烙2張餅都用6分鐘能烙熟的假設(shè)，再加上圓形平底鍋及爐灶的火焰大小一定且每次都烙2張餅的條件下，才可能出現(xiàn)“交替烙”和“不交替烙”這兩種不同烙法的比較，才能滿足教材上所謂的優(yōu)化烙餅方法——9分鐘烙熟3張餅的時(shí)間最省。因此，若按照教材的思路設(shè)計(jì)教學(xué)，就需要處處控制學(xué)生的思維，這與教學(xué)目標(biāo)是相悖的。簡(jiǎn)單地說，教材編寫的優(yōu)化烙餅方法是在添加諸多不可變隱含條件下的一種被逼無(wú)奈之不合情理的選擇，而不是抓住烙餅過程中的可變因素進(jìn)行統(tǒng)籌與優(yōu)化的主動(dòng)、理性、科學(xué)思考的結(jié)果。再者，不少教學(xué)都把教材的最多烙2張餅改成了每次都烙2張餅，這說明教師也發(fā)現(xiàn)了這一問題。當(dāng)然，教材編寫有可能是考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，故不可能列出這么多條件限制。

二、對(duì)統(tǒng)籌與優(yōu)化認(rèn)識(shí)的偏頗是教材如此編寫的根本原因

統(tǒng)籌，顧名思義，是指通盤籌劃或統(tǒng)一籌劃。而統(tǒng)籌的前提是要解決的問題必須存在一些可變因素，這樣才能提供統(tǒng)籌的可能與空間。否則，若要解決的問題中一個(gè)可變因素都不存在，那就失去了統(tǒng)籌的可能性。如，烙餅問題若規(guī)定了每張餅必須烙熟才能出鍋，那教材給出的優(yōu)化方法就不存在了;沏茶問題若規(guī)定必須用燒開的水燙茶杯來殺菌，那茶葉就不能在燒水的時(shí)候提前放了;田忌賽馬若規(guī)定必須用同等級(jí)的馬進(jìn)行比賽，孫臏就沒有了運(yùn)籌的空間。因此，統(tǒng)籌的首要任務(wù)就是從要解決問題的整個(gè)過程或全局的角度，去觀察及思考問題中有沒有可變因素，有哪些可變因素，哪些可變因素更合情合理，以及可變因素之間的關(guān)系（如前后邏輯關(guān)系、并行關(guān)系等）;然后，統(tǒng)籌考慮這些可變因素，尤其是抓住合理的可變因素進(jìn)行運(yùn)籌，提出或制訂不同的解決問題的方法，展現(xiàn)解決問題方法的多樣性，為解決問題提供比較和選擇的機(jī)會(huì)與空間，進(jìn)而選擇或確定最優(yōu)化的解決問題的方法;最后，按確定的最優(yōu)方法統(tǒng)籌安排解決問題的具體過程，實(shí)施并獲得問題的解決。這樣，只要可變因素考慮得全面，就不會(huì)顧此失彼，不因小失大，使問題得到圓滿解決。

從上面的分析可以看出，觀察、思考問題中的可變因素是統(tǒng)籌的前提，綜合可變因素及其之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)籌，并提出不同解決問題的方法是統(tǒng)籌與優(yōu)化的關(guān)鍵，選擇并實(shí)施最優(yōu)方法解決問題是統(tǒng)籌與優(yōu)化的過程和結(jié)果。總之，統(tǒng)籌是從開始到結(jié)束的解決問題的過程，優(yōu)化只是其中的比較選擇環(huán)節(jié)。從數(shù)學(xué)的角度來說，數(shù)學(xué)問題的可變因素主要有兩方面：一是數(shù)量的變化;二是形式的變化。因此，統(tǒng)籌作為一種數(shù)學(xué)方法，其過程之本質(zhì)是抓住要解決問題的各種數(shù)量關(guān)系（比如餅的厚度和每個(gè)面的面積等）和空間形式（如餅的形狀）的可變因素及其之間的邏輯等相互關(guān)系進(jìn)行運(yùn)籌。只有運(yùn)籌到位，才有比較、優(yōu)化選擇的可能，才能給出最優(yōu)化的解決問題的方法。

基于上述認(rèn)識(shí)，教材的編排沒有從全局——整個(gè)烙餅過程的角度進(jìn)行統(tǒng)籌，忽略了搟餅的過程（這是數(shù)量關(guān)系和空間形式變化的關(guān)鍵），只抓住了烙餅過程中的部分程序（交替烙）進(jìn)行優(yōu)化。從哲學(xué)的角度講，就是沒抓住主要矛盾（因素），而是抓住了次要矛盾（因素）;只抓住了部分，而忽略了整體。因此，教材編寫的所謂優(yōu)化烙餅方法脫離實(shí)際，違背常識(shí)，且不是最優(yōu)方法就不足為怪了。

冒昧揣測(cè)，教材之所以如此編寫，可能與華羅庚先生的科普作品《優(yōu)選法評(píng)話及其補(bǔ)充》及《統(tǒng)籌法評(píng)話及補(bǔ)充》中，所舉工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的實(shí)例大都是工序安排問題有關(guān)。須知，統(tǒng)籌不只是工序問題，統(tǒng)籌或運(yùn)籌也不只是數(shù)學(xué)方法，只是現(xiàn)代才明確為一門學(xué)科（運(yùn)籌學(xué)）或方法（統(tǒng)籌法）。眾所周知，古代勞動(dòng)人民沒有多少數(shù)學(xué)知識(shí)，但在生活中解決問題時(shí)也需要運(yùn)籌，成語(yǔ)“運(yùn)籌帷幄”就是現(xiàn)今運(yùn)籌學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。再者，就是工序問題，搟餅當(dāng)然也是工序之一，且是最重要的、最先開始的工序，那為什么不考慮？當(dāng)然，教材編寫也有可能是在引用別人的舉例時(shí)忽略了問題的條件而簡(jiǎn)單搬移的結(jié)果。

值得指出的是，小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然簡(jiǎn)單，但數(shù)學(xué)教育工作者切不可麻痹大意。這不僅因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著啟蒙的作用，還有著開啟思維促進(jìn)能力發(fā)展的作用。再者，小學(xué)生的思維更活躍，發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維也更強(qiáng)，甚至?xí)幸恍┢嫠济钕耄绻麛?shù)學(xué)教育工作者對(duì)教材及教學(xué)設(shè)計(jì)淺嘗輒止，浮于表面，流于形式，那就有可能出現(xiàn)教師面對(duì)學(xué)生質(zhì)疑時(shí)只能尷尬應(yīng)對(duì)的局面，甚至?xí)`、禁錮或影響學(xué)生思維能力的發(fā)展。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（四年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 李茂林.如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處理好數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系：教學(xué)“烙餅問題”一課的思考[J].課程教育研究，2016（9）.

[3] 董桂云.談教學(xué)“烙餅問題”[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2011（5）.

[4] 聞浩.“數(shù)學(xué)烙餅”豈能吃[J].教育實(shí)踐與研究（A），2011（2）.

【本文系濱州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘綜合與實(shí)踐領(lǐng)域教材編寫與優(yōu)化研究——以人教版第二學(xué)段數(shù)學(xué)教材為例”（BJK13520-109）成果之一?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）