類比動力學(xué)模型突破電磁學(xué)建模難點(diǎn)

黎就圖

[摘? ?要]學(xué)生對抽象的物理情境建模需依托熟悉的情境模型。引導(dǎo)學(xué)生類比熟悉的模型對抽象的物理情境進(jìn)行建模，將會收到事半功倍的效果，同時對學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)也起到積極的作用。類比熟悉的力學(xué)模型對電磁學(xué)中的物理情境進(jìn)行建模，可使電磁學(xué)建模變得更具體、簡單，更有利于學(xué)生構(gòu)建電磁學(xué)知識體系。

[關(guān)鍵詞]電磁學(xué);力學(xué);類比;模型

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0043-03

電磁學(xué)是高中物理的重要內(nèi)容，在高考中的地位不言而喻，是高考考查的重中之重。但對電磁學(xué)的學(xué)習(xí)，高中生普遍感到非常抽象，難以尋找學(xué)習(xí)電磁學(xué)的規(guī)律，不易找到它與熟悉物理知識的聯(lián)系。而解決物理問題常常要將抽象的物理情境轉(zhuǎn)化成熟悉的物理模型，將復(fù)雜的物理過程簡單化，將未知的物理關(guān)系具體化。倘若教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生借助熟悉的力學(xué)模型對電磁學(xué)中抽象的物理情境進(jìn)行建模，讓學(xué)生找到熟悉的模型，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，將大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)電磁學(xué)的難度，有效解決電磁學(xué)問題。本文從以下三方面談?wù)勅绾晤惐仁煜さ牧W(xué)模型對一些電磁學(xué)中的物理情境進(jìn)行建模。

一、類比熟悉的力學(xué)斜面模型

力學(xué)斜面模型是高中生熟悉的基本模型，把抽象的電磁學(xué)模型轉(zhuǎn)換為力學(xué)斜面模型，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，即由抽象變?yōu)榫唧w，將陌生變?yōu)槭煜ぃ瑥亩档碗姶艑W(xué)問題的學(xué)習(xí)難度。

1.光滑斜面模型

[例1]已知質(zhì)量為m的帶電塵埃沿平行板電容器極板中線，由邊緣P點(diǎn)以初速度為零運(yùn)動到邊緣Q點(diǎn)，極板與水平面成[α]角，板間距離為d，板長為l，電容為C，不計邊緣效應(yīng)，如圖1。求：（1）塵埃的電荷量q;（2）到Q點(diǎn)時塵埃速度的大小。

解析：（1）在垂直[PQ]方向，由于電場力等于重力在該方向的分力，故有：[q?Ud=mgcos α]

由電容器的知識有[U=q0C]，可得：[q=cmgdcos αq0]

（2）沿[PQ]方向有[mgsinα=ma]，[v2=2al] ，聯(lián)立解得： [a=gsin α， v=2glsin α]

或由 [mglsin α=12mv2]? ?解得：[v=2glsin α]

評析：此題建模需要較強(qiáng)的立體空間想象能力，若將帶電塵埃沿極板的中線由P點(diǎn)以初速度為0運(yùn)動到Q點(diǎn)類比為一物體沿光滑斜面從斜面頂端由靜止出發(fā)運(yùn)動到斜面底端的力學(xué)斜面模型，帶電塵埃受到的電場力等效于斜面對物體的支持力（如圖2），此模型便轉(zhuǎn)換成高中生熟悉的物體沿光滑斜面下滑的力學(xué)斜面模型，可讓學(xué)生快速找到解決問題的切入點(diǎn)。

2.平衡狀態(tài)模型

[例2]如圖3，上端接電源和滑動變阻器R的寬度是d的平行導(dǎo)軌，導(dǎo)軌與水平面成q角。導(dǎo)電棒ab質(zhì)量為m，放在導(dǎo)軌上，棒與導(dǎo)軌動摩擦因數(shù)是[μ]，可認(rèn)為棒受到的靜摩擦力等于滑動摩擦力。場強(qiáng)為B的勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面向下?；瑒覽R]的滑片，保持棒不動，試分析流過棒的電流的取值范圍。

解析：當(dāng)棒受到沿導(dǎo)軌平面向下的靜摩擦力達(dá)到最大時，棒受到沿導(dǎo)軌平面向上的安培力[F1]為最大值，此時棒的電流[Imax]最大;同理，當(dāng)棒受到沿導(dǎo)軌平面向上的靜摩擦力達(dá)到最大時，棒受到沿導(dǎo)軌平面向上的安培力[F2]為最小值，棒的電流[Imin]最小。兩種情況下的受力圖如圖4所示。

情況一，對棒進(jìn)行正交分解有：沿導(dǎo)軌平面方向[F1-mgsinθ-f1=0]，垂直導(dǎo)軌平面方向[FN1-mgcosθ=0]，又摩擦力[f1=μFN1]，安培力[F1=BImaxd]。

解上述方程得：[Imax=mgsinθ+μmgcosθBd]

情況二，對棒進(jìn)行正交分解有：沿導(dǎo)軌平面方向[F2-mgsinθ+f2=0]，垂直導(dǎo)軌平面方向[FN2-mgcosθ=0]，又摩擦力[f2=μFN2]，安培力[F2=BImind]。

解上述方程得： [Imin=mgsinθ-μmgcosθBd]

則通過ab桿的電流范圍為：

[mgsinθ-μmgcosθBd≤I≤mgsinθ+μmgcosθBd]

評析：此題可類比如圖5所示的斜面模型，棒中的電流為[a→b]，棒所受的安培力方向沿導(dǎo)軌平面向上（類似物體受到沿斜面向上的拉力[F]）。當(dāng)流過棒的電流為最大值[Imax]時，安培力達(dá)最大值[F1]（拉力[F]達(dá)最大值），此時棒受到沿導(dǎo)軌平面向下的靜摩擦力（物體受到沿斜面向下靜摩擦力）也達(dá)到最大值;當(dāng)電流為最小值[Imin]時，棒受到沿導(dǎo)軌平面向上的最大靜摩擦力（物體有沿斜面向上的最大靜摩擦力），此時安培力記為[F2]（拉力[F]達(dá)最小值）。截面圖如圖4（a）、（b）。

二、將電磁場中的旋轉(zhuǎn)類運(yùn)動模型與勻加速直線運(yùn)動模型及圓周運(yùn)動模型類比

帶電粒子在電磁場中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動對高中生來說是很抽象的問題，若能把此類問題類比轉(zhuǎn)換為學(xué)生熟知勻加速直線運(yùn)動模型，定會起到化繁為簡、化曲為直的效果。

[例3]如圖6甲，在圓柱形區(qū)域內(nèi)存在一方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B]的勻強(qiáng)磁場，在此區(qū)域內(nèi)，沿水平面固定一半徑為[r]的圓環(huán)形光滑細(xì)玻璃管，環(huán)心[O]在區(qū)域中心。一質(zhì)量為[m]、帶電量為[q（q>0）]的小球，在管內(nèi)沿逆時針方向（從上向下看）做圓周運(yùn)動。已知磁感應(yīng)強(qiáng)度大小[B]隨時間[t]的變化關(guān)系如圖6乙，其中[T0=2πmqB0]，設(shè)小球在運(yùn)動過程中電量保持不變，對原磁場的影響可忽略。

（1）在[t=0]到[t=T0]這段時間內(nèi)，小球不受細(xì)管側(cè)壁的作用力，求小球的速度大小[v];

（2）在豎直向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度增大的過程中，將產(chǎn)生渦旋電場，其電場線是在水平面內(nèi)一系列沿逆時針方向的同心圓，同一條電場線上各點(diǎn)的場強(qiáng)大小相等。試求[t=T0]到[t=1.5T0]這段時間內(nèi)：①細(xì)管內(nèi)渦旋電場的場強(qiáng)大小[E];②電場力對小球做的功W。

解析：（1）對小球，有[qvB=mv2r]，故有：[v=qB0rm]

（2）①磁場變化引起圓管處產(chǎn)生勻強(qiáng)電場[E=Ud=B0rT0]，由法拉第感應(yīng)定律得電勢差[U=ΔφΔt=2B0-B0×πr21.5T0-T0=2B0πr2T0]，又[T0=2πmqB0]，所以[E=qB20r2πm]

②小球加速度為：[a=Fm]，又[F=Eq]，小球在[T0-1.5T0]時間為做內(nèi)加速直線運(yùn)動，末速度為：[v=v0+at]

小球做功為：[W=12mv2-12mv20]

故電場力做功為：[W=5q2B20r28m]

評析：此題（2）①問中，在[T0-1.5T0]時間內(nèi)，產(chǎn)生的渦旋電場（圓環(huán)形的場）可等效為平行板勻強(qiáng)電場，把抽象的曲線模型轉(zhuǎn)化為直線模型，轉(zhuǎn)化為熟悉的力學(xué)模型（勻強(qiáng)電場的受力），學(xué)生對這樣的問題便能迎刃而解了;②問中，在[T0-1.5T0]時間內(nèi)，小球在圓環(huán)形光滑細(xì)玻璃管內(nèi)，在感生電場力的作用下被加速，其運(yùn)動可以運(yùn)用化曲為直的思想，把小球的運(yùn)動等效為勻加速直線運(yùn)動模型，加速度的大小為：[a=qEm] ，最終速度為[v=v0+at]，電場力做的功為：[W=12mv2-12mv20]

[例4]兩個D形金屬盒放在磁感強(qiáng)度B大小不變、方向垂直于盒底面的磁場中，兩盒與使盒間窄縫形成勻強(qiáng)電場的交流電相連，可讓離子穿過狹縫時都得到加速。能射出比荷是[q/m]的離子源放于盒圓心附近，D形盒最大半徑為[Rm]，其運(yùn)動軌跡如圖7，設(shè)兩D形盒間的電勢差為[U]，盒間距離為d，其電場均勻，求（1）離子最大速度為多大？最大動能為多少？（2）加速到最大動能所需要的時間。

解析：（1）已知D形盒最大半徑為[Rm]，故有：[qvmB=mv2mRm]

所以[vm=RmqBm]，最大動能[Ek=12mv2m]，得[Ek=q2B2R2m2m]。

（2）粒子加速到最大動能所需要的時間可分為在兩個D形盒中做圓周運(yùn)動的時間和在縫隙中加速運(yùn)動的時間。離子每旋轉(zhuǎn)一周增加的能量為[2qU]，提高到[Ek]的旋轉(zhuǎn)次數(shù)為：[n=Ek2qU=qB2R2m4mU]

在磁場中運(yùn)動時間為：

[t0=nT=qB2R2m4mU·2πmqB=BR2mπ2U]

其中粒子在窄縫中的運(yùn)動可等效為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，其加速度為[a=Uqdm]，粒子速度從零加速到[vm]的時間就等于粒子在窄縫中運(yùn)動的時間t，[t=vma=RmBdU]。故加速到最大動能所需要的時間為：[t0+t=πBR2m2U+RmBdU]

評析：此題為復(fù)雜的曲線運(yùn)動，粒子在兩個D形盒中做周期性的圓周運(yùn)動，其時間為旋轉(zhuǎn)[n]周的時間;粒子在縫隙中旋轉(zhuǎn)加速運(yùn)動可等效為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，這樣時間的計算就變得簡單了。此題的電磁學(xué)情境中旋轉(zhuǎn)圓周運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)加速運(yùn)動模型，學(xué)生很難把握，具體解題時，需要把抽象的信息有效地提取出來并建模，轉(zhuǎn)化為熟悉的初速度為零的勻加速直線運(yùn)動和周期性的圓周運(yùn)動模型。

三、將電磁學(xué)中的雙桿運(yùn)動模型與雙球完全非彈性碰撞模型類比

兩個小球在光滑水平面上發(fā)生完全非彈性碰撞的模型，學(xué)生較為熟悉，而電磁學(xué)中雙桿運(yùn)動模型與兩個小球在光滑水平面上發(fā)生完全非彈性碰撞模型極為相似，兩者進(jìn)行類比，有利于學(xué)生借鑒已有的熟悉模型，構(gòu)建電磁學(xué)雙桿運(yùn)動模型。

[例5]如圖8，放在磁感強(qiáng)度為[B]的豎直向上的勻強(qiáng)磁場中的導(dǎo)軌由斜軌部分和水平部分組成（導(dǎo)軌的斜軌部分在磁場以外），其水平部分光滑且足夠長，電阻可忽略，導(dǎo)軌間距為[L]。質(zhì)量為m的金屬棒a，從斜軌上高[h]處靜止釋放，質(zhì)量為[m2]的金屬棒b放在水平軌上，棒a、b不發(fā)生碰撞。求棒b的最后運(yùn)動速度及損失的機(jī)械能。

解析：設(shè)棒a剛進(jìn)入水平軌道時速度為[v0]，在水平軌道上，棒a受到水平向左的安培力，棒b受到水平向右的安培力，故棒a、b作為整體，在水平方向所受的合力為零，故整體動量守恒。設(shè)棒a、b運(yùn)動的共同速度為[v]，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：[mgh=12mv02]

由動量守恒有：[mv0=m+m2v]

由功能關(guān)系有：[ΔE=12mv02-12m+m2v2]

解得：[v=232gh]，[Δ][E=13mgh]

評析：在水平軌道上棒[a]受到水平向左的安培力，棒[b]受到水平向右的安培力，故棒[a]、[b]作為整體，水平方向合力為零，整體動量守恒。[a]、[b]整體損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電阻發(fā)熱的內(nèi)能。此過程可類比光滑水平面上發(fā)生完全非彈性碰撞的兩個小球模型，兩球碰后以共同速度一起運(yùn)動，系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。如圖9，質(zhì)量為[m1]、[m2]的兩個大小相同的球， [m1]靜止在光滑水平面上，[m2]以速度[v0]沿同一直線運(yùn)動，兩球碰撞，碰后黏合在一起以速度[v]一起運(yùn)動。

碰撞前后動量守恒，故有：[m2v0=（m1+m2）v]

碰撞后系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：[ΔE=12mv02-12m+m2v2]

由此可見，此題就是典型的“完全非彈性碰撞”模型。兩物體完全非彈性碰撞過程具有以下特點(diǎn)：①相互作用后兩物體具有共同速度;②作用前后系統(tǒng)動量守恒;③作用后系統(tǒng)有機(jī)械能損失，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能。

因此，類比熟悉的力學(xué)模型，對電磁學(xué)中抽象的物理情境建模，可讓學(xué)生快速解答相關(guān)電磁學(xué)問題，也有利于學(xué)生構(gòu)建電磁學(xué)知識體系，進(jìn)而提升學(xué)生解決電磁學(xué)問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 朱聯(lián)星.2012年福建高考理綜物理題壓軸題的鑒賞與另解拓展[J].中學(xué)物理，2012（11）：57-58.

（責(zé)任編輯 易志毅）