操作比較多元表征

白凌曉 李玉琴

運用動手操作、對比觀察、多元表征等教學(xué)方法可以幫助學(xué)生認識余數(shù)，在探索余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系中厘清商與余數(shù)的單位，理解余數(shù)要比除數(shù)小的內(nèi)涵，掌握除法豎式的表達方式，進而解決簡單的實際問題。

一、操作感知，初識余數(shù)

學(xué)生在學(xué)習(xí)表內(nèi)除法時積累了平均分的活動經(jīng)驗，對分物過程與除法計算的關(guān)聯(lián)有直觀的認識。這是學(xué)習(xí)有余數(shù)除法的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，筆者設(shè)計了三次操作活動，引導(dǎo)學(xué)生認識余數(shù)。

第一次動手操作。筆者把學(xué)生分成4人活動小組，給每個小組提供11根長度一致的小棒，引導(dǎo)他們合作完成學(xué)習(xí)任務(wù)：任意選擇一種圖形（三角形、四邊形、五邊形、六邊形），擺一擺，觀察用了幾根小棒，還剩幾根，并把結(jié)果記錄在任務(wù)單上。后續(xù)的分組匯報，學(xué)生第一次用語言、圖形、數(shù)字來表征余數(shù)。不管擺的是哪種圖形，都剩余數(shù)量不等的小棒。例如，擺五邊形的，擺了2個，還剩1根;擺三角形的，擺了3個，還剩2根。這使學(xué)生在認知上產(chǎn)生沖突的同時，直觀感知到余數(shù)是客觀存在的。

第二次動手操作。筆者給每個小組提供了6個草莓圖片，3個紙盤，要求每2個草莓擺一盤。學(xué)生繼續(xù)按小組完成操作。匯報結(jié)果顯示，各小組均按照2個草莓擺一盤，剛好擺完。學(xué)生不僅匯報了記錄結(jié)果，而且用除法算式6÷2=3（盤）把分的過程和結(jié)果表示出來。這樣做有效地溝通了表內(nèi)除法，為接下來有余數(shù)的分物操作做鋪墊。

第三次動手操作。筆者給每個小組提供了7個草莓圖片，3個紙盤，還是要求每2個草莓擺一盤。學(xué)生操作的結(jié)果是：按照2個草莓擺一盤，擺了3盤，還剩1個。剩下的1個草莓要不要擺一盤？這1個在數(shù)學(xué)上叫什么數(shù)，在除法算式中該如何表達呢？這些問題激發(fā)了學(xué)生探究的欲望。筆者乘機引導(dǎo)學(xué)生把第三次操作與第二次操作進行比較，分小組討論上述問題。有的學(xué)生認為剩下的1個要擺一盤，有的學(xué)生認為題目要求每2個草莓擺一盤，剩下的1個擺不成一盤，不符合題意。筆者順勢在黑板上寫出7÷2=3（盤）……1（個），并問學(xué)生能否這樣表達。在得到肯定的答復(fù)后，筆者向?qū)W生說明：剩余的這1個，在除法中叫“余數(shù)”，記為“……1”。隨后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對比操作過程，明確7÷2=3（盤）……1（個）建立在6÷2=3（盤）的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生建構(gòu)對表內(nèi)除法與有余數(shù)的除法關(guān)系的認知。

二、辨析“單位”，解決疑難

在認識余數(shù)的基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生獨立完成一組課后對比練習(xí)，并比較兩個算式中商和余數(shù)的單位，引起學(xué)生對單位名稱的關(guān)注。

例如，同樣是9支鉛筆，第一問是每人分2支，可以分給（??）人，還剩（??）支;第二問是平均分給4人，每人分（??）支，還剩（??）支。學(xué)生在匯報第一問時，筆者提問：商的單位為什么是“人”，它表示什么？余數(shù)的單位為什么用“支”，它又表示什么呢？學(xué)生在匯報第二問時，筆者提問：為什么商的單位是“支”，它表示什么？余數(shù)呢？學(xué)生在交流中明白了此題中兩個商的單位不同，是因為它們表示的含義不同，第一問表示分給幾個人，第二問表示每人分幾支，而兩個余數(shù)的單位都是“支”，是因為平均分完后都剩下1支鉛筆，從而有效地解決了確定商與余數(shù)的單位這個學(xué)習(xí)難點。

三、類比推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

余數(shù)和除數(shù)之間是怎樣的關(guān)系呢？在學(xué)生擺的過程中，筆者強調(diào)運用幾何直觀、符號、語言等多元表征方式幫助學(xué)生尋找有余數(shù)除法的規(guī)律，進而掌握算法，理解算理。

利用第一次動手操作的學(xué)具——小棒，筆者引導(dǎo)學(xué)生擺正方形，要求學(xué)生分小組合作，邊擺邊畫，并用除法算式做記錄。首先，學(xué)生用8根小棒正好擺2個正方形，12根小棒正好擺3個正方形;而9根、10根、11根小棒擺正方形，分別剩余1根、2根、3根小棒。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生用13根、14根、15根小棒繼續(xù)擺正方形。學(xué)生擺完后驚喜地發(fā)現(xiàn)，再次出現(xiàn)剩余1根、2根、3根小棒的情況。然后，學(xué)生用16根小棒正好擺4個正方形，沒有剩余。最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生猜想用17根、18根、19根小棒擺正方形會出現(xiàn)什么情況。學(xué)生猜想并動手操作去驗證自己的猜想，果然再次出現(xiàn)剩余1根、2根、3根小棒的情況。經(jīng)過對比觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在用小棒擺正方形的過程中，除了正好擺完之外，總是剩余1根、2根、3根小棒，不會出現(xiàn)剩余4根或超過4根的情況。也就是說，4根為一組時，余數(shù)不可能大于、等于4。

為了驗證這個重要的發(fā)現(xiàn)，筆者鼓勵學(xué)生繼續(xù)用小棒擺五邊形、六邊形、八邊形，并引導(dǎo)學(xué)生類比擺四邊形的情況思考它們各自的余數(shù)可能是幾、最大是幾、不可能是幾。學(xué)生操作后總結(jié)：擺五邊形的余數(shù)可能是1、2、3、4，最大是4，不可能是5或比5大的數(shù);擺六邊形的余數(shù)可能是1、2、3、4、5，最大是5，不可能是6或比6大的數(shù)……筆者追問：如果余數(shù)大于或等于除數(shù)會出現(xiàn)什么情況？學(xué)生因為有了直觀的操作經(jīng)驗，又經(jīng)過對比分析，很容易聯(lián)想到余數(shù)如果大于或等于除數(shù)，就能夠再擺一個這樣的圖形，所以余數(shù)只能小于除數(shù)。

四、“橫豎”對比，學(xué)法明理

掌握除法豎式是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。怎樣讓學(xué)生接納、理解、運用除法豎式解決問題？小棒仍是有效的學(xué)習(xí)工具。

教材例題呈現(xiàn)13根小棒，每4根分一組，要求學(xué)生圈一圈，并用除法算式表達分的過程和結(jié)果。實踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生都能夠圈出3組、余下1根，并列出算式13÷4=3（組）……1（根）。教師呈現(xiàn)除法豎式的表達方式，指出其各部分的名稱，并引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，得出除法橫式與除法豎式各部分之間的關(guān)系。

在學(xué)生初步認識豎式后，筆者組織學(xué)生獨立嘗試用豎式解決“把42根小棒平均分給3個人，怎么分”的問題，促使學(xué)生進一步將分物的過程與除法豎式的每一個步驟及每個數(shù)字的含義關(guān)聯(lián)起來。具體來說，第一步，先把4捆平均分給3個人，每人分1捆，還剩1捆，算式是4÷3=1（捆）……1（捆），對應(yīng)豎式中40除以3，商1，余1的過程;第二步，把余下的1捆打開，與單獨的2根合在一起，共12根，算式是10+2=12（根），對應(yīng)豎式中42減30得12的過程;第三步，把12根再平均分給3個人，每人4根，算式是12÷3=4（根），對應(yīng)豎式中12除以3，商4，余0的過程;最后結(jié)果是每人14根。（見下圖）

從實物操作到算式表達，學(xué)生對有余數(shù)除法的理解從直觀層面過渡到抽象層面。學(xué)生自主表達除法豎式的過程，不僅提高了他們的數(shù)學(xué)表達能力，更加深了他們對有余數(shù)除法的算法和算理的理解。

（作者單位：白凌曉，襄陽市教育科學(xué)研究室;李玉琴，襄陽市海容小學(xué)）

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