無(wú)跡卡爾曼濾波法估計(jì)鋰離子電池的SOC

高博洋,劉廣忱*,張建偉,王生鐵

(1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)電力學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010080; 2. 內(nèi)蒙古自治區(qū)電能變換傳輸與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010080; 3. 內(nèi)蒙古電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070)

鋰離子電池具有電壓高、循環(huán)壽命長(zhǎng)等諸多優(yōu)點(diǎn),但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重事故,如過充電或過放電導(dǎo)致電池自燃或爆炸[1]。 荷電狀態(tài)(SOC)是電池管理系統(tǒng)(BMS)衡量電池性能的主要因素。 準(zhǔn)確地估計(jì)電池的SOC,不僅能防止出現(xiàn)過充或過放,還能降低事故的發(fā)生率。 常用的電池SOC 估算方法有開路電壓法、安時(shí)積分法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和卡爾曼濾波(KF)法等[2-3]。 對(duì)于電池這樣的非線性系統(tǒng),目前大多采用改進(jìn)的KF 算法對(duì)SOC 進(jìn)行估計(jì)[4-6]。 鋰離子電池內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)比較復(fù)雜,必須建立合適的模型,將鋰離子電池內(nèi)部和外部工作特性聯(lián)系起來(lái)[7]。 目前常用的模型主要有電化學(xué)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、耦合模型和等效電路模型等4 類。

本文作者選擇二階RC 等效電路模型,通過對(duì)電池進(jìn)行大量充放電實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù),離線辨識(shí)出模型中的各個(gè)參數(shù),利用無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)法和擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)法對(duì)電池SOC 進(jìn)行估計(jì)。 通過對(duì)比仿真,驗(yàn)證UKF 法對(duì)鋰離子電池SOC 估計(jì)的準(zhǔn)確性和可行性。

1 模型建立和參數(shù)辨識(shí)

1.1 電池模型的選取

大量實(shí)驗(yàn)表明,二階RC 等效電路模型與三階或更高階模型的精度差別不大,計(jì)算量相對(duì)較小,又比Thevenin 等效電路模型精度高,還很好地模擬電池不同的極化特征,因此,實(shí)驗(yàn)選用圖1 所示的二階RC 模型作為研究模型。

圖1 二階RC 等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

圖1 中:Uoc為開路電壓;R0為歐姆內(nèi)阻;I為流過電阻R0的電流;Uout為端電壓;C1和C2分別為兩個(gè)極化電容;R1和R2分別為兩個(gè)極化內(nèi)阻。 得到相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式(1)-(3)中:U1為極化回路R1C1兩端的電壓;U2為極化回路R2C2兩端的電壓;t為充放電時(shí)間。

結(jié)合安時(shí)估計(jì)法,SOC 定義如式(4)所示。

式(4)中:S0、Sts分別是初始和ts時(shí)刻的SOC 值;Qv是額定容量;ηi是庫(kù)侖效率;i為ts時(shí)刻的電流。

將電池模型進(jìn)行離散化處理,得到離散的狀態(tài)方程和輸出方程為:

式(5)-(6)中:t為采樣時(shí)間;k表示時(shí)刻;Ik為系統(tǒng)工作電流;wk為系統(tǒng)過程噪聲;S為SOC 值。

1.2 電池模型參數(shù)離線辨識(shí)

二階RC 等效電路模型需辨識(shí)的參數(shù)有:開路電壓Uoc、歐姆內(nèi)阻R0、極化內(nèi)阻R1和R2、極化電容C1和C2等。

對(duì)滿充電池進(jìn)行脈沖放電,測(cè)量每次脈沖放電后的Uoc,對(duì)放電實(shí)驗(yàn)得到的SOC 和Uoc關(guān)系進(jìn)行非線性擬合,可以辨識(shí)Uoc。 實(shí)驗(yàn)對(duì)象為3 只LGABC21865 型鈷酸鋰鋰離子電池(南京產(chǎn),額定容量為2.8 Ah)串聯(lián)組成的電池組。 實(shí)驗(yàn)步驟為:在室溫環(huán)境下,以1.00C(2.80 A)恒流充電至12.6 V,轉(zhuǎn)恒壓充電至電流小于0.05C(0.14 A),此時(shí)電池視為已充滿。 以0.20C放電15 min,放出額定容量的5%,靜置30 min,得到開路電壓,再重復(fù)放電過程1 次,此時(shí)SOC=0.90;然后以0.20C放電30 min,靜置30 min,重復(fù)此過程8 次,此時(shí)SOC=0.10;記錄每次靜置后的電壓,最后,以0.20C放電15 min,靜置30 min,此時(shí)SOC=0.05。 根據(jù)所得數(shù)據(jù),對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行6 階多項(xiàng)式擬合[8],Uoc-SOC 擬合的關(guān)系曲線如圖2 所示。

圖2 Uoc 與SOC 的關(guān)系Fig.2 Relation between Uoc and SOC

從圖2 可知,擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線基本一致,說明采用6階多項(xiàng)式的擬合度較高,有助于提高SOC 的估計(jì)精度。

采用脈沖放電實(shí)驗(yàn)來(lái)辨識(shí)模型中的其他參數(shù),以1.00C電流放電,放電時(shí)間為3 min,電池放出額定容量(2.8 Ah)的5%,此時(shí)電池SOC=0.95,靜置30 min;再重復(fù)放電過程1次,此時(shí)SOC=0.90;以1.00C放電6 min,靜置30 min,重復(fù)此過程8 次,此時(shí)SOC=0.10;最后,以1.00C放電3 min,靜置30 min,此時(shí)SOC=0.05。 SOC=0.80 時(shí),脈沖放電端電壓與電流的關(guān)系如圖3 所示。

圖3 脈沖放電電流與端電壓Fig.3 Current and terminal voltage of pulse discharge

從圖3 可知,電池在放電開始或放電結(jié)束的瞬間,端電壓都會(huì)發(fā)生突變,此現(xiàn)象是由歐姆內(nèi)阻R0引起的,R0的計(jì)算公式為:

式(7)中:UA、UB、UC和UD為圖3(a)中相應(yīng)各點(diǎn)處的端電壓值。

電池在脈沖放電結(jié)束后,從C 點(diǎn)到靜置時(shí)間E 點(diǎn)的響應(yīng)可視為電路的零輸入電壓響應(yīng)。 利用Origin 軟件對(duì)圖3 中的DE 段進(jìn)行二階指數(shù)擬合,擬合曲線如圖4 所示。

圖4 DE 段端電壓的擬合曲線Fig.4 Fitting curve of terminal voltage in DE section

擬合公式如式(8)所示:

式(8)中:y等效為端電壓;y0等效為開路電壓;A1等效為極化回路R1C1兩端電壓的負(fù)值;A2等效為極化回路R2C2兩端電壓的負(fù)值;t1、t2為極化時(shí)間常數(shù);e 為自然常數(shù)。

根據(jù)式(8),并結(jié)合電路的零輸入電壓響應(yīng),得到模型的各參數(shù)值,如表1 所示。

表1 電池模型參數(shù)離線辨識(shí)結(jié)果Table 1 Offline identification results of battery model parameters

1.3 模型驗(yàn)證

在MATLAB 中建立二階RC 等效電路仿真模型,根據(jù)得到的模型參數(shù)及實(shí)驗(yàn)得到的電壓和電流數(shù)據(jù),驗(yàn)證離線辨識(shí)模型參數(shù)的準(zhǔn)確性。 仿真驗(yàn)證結(jié)果如圖5 所示。

圖5 脈沖放電仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of pulse discharge

從圖5 可知,測(cè)量電壓與仿真電壓曲線在17 040 s 之前基本吻合,但之后兩者的差別較大;同樣,從誤差曲線可知,在17 040 s 前,誤差(E)在[-0.04 V,0.04 V]區(qū)間內(nèi)上下波動(dòng),說明在此區(qū)間內(nèi)測(cè)量值與仿真值差別很小;在17 040 s后,測(cè)量值與仿真值差距急劇增大,主要原因是:當(dāng)電池放電到截止電壓附近時(shí),端電壓下降速度急劇加快,且此時(shí)放出的電量很少,另外,利用安時(shí)積分法計(jì)算時(shí),放電時(shí)間越長(zhǎng),誤差積累越大。 從整體來(lái)看,采用離線辨識(shí)法辨識(shí)出的等效電路模型參數(shù),能較好地模擬鋰離子電池的工作特性。

2 電池SOC 估計(jì)

KF 法一般針對(duì)線性系統(tǒng),對(duì)于電池這樣的非線性系統(tǒng)不再適用,因此,實(shí)驗(yàn)采用EKF、UKF 法等改進(jìn)的KF 法對(duì)電池SOC 進(jìn)行估計(jì)。

EKF 法在計(jì)算時(shí),首先要對(duì)非線性模型進(jìn)行線性化處理,再利用KF 法完成對(duì)狀態(tài)的預(yù)估。

非線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型方程一般為:

式(9)-(10)中:yk為k時(shí)刻的輸出值;xk為k時(shí)刻的狀態(tài)變量;uk為系統(tǒng)的控制輸入變量;vk為系統(tǒng)觀測(cè)噪聲;f(xk,uk)為系統(tǒng)的非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù);g(xk,uk)為系統(tǒng)的非線性觀測(cè)函數(shù)。

將f(xk,uk)和g(xk,uk)非線性離散系統(tǒng)局部線性化后,對(duì)式(5)按一階泰勒級(jí)數(shù)展開,得到模型線性化處理后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Ak、輸入矩陣Bk、輸出矩陣Ck和前饋矩陣Dk:

線性化處理后的離散模型為:

將模型線性化處理后,再根據(jù)KF 法的遞推步驟,完成對(duì)鋰離子電池SOC 的估計(jì)。

UKF 法的核心是無(wú)跡(UT)變換,UT 變換的關(guān)鍵是確定σ采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)、位置和對(duì)應(yīng)的權(quán)值。

基于UT 變換及式(9)、(10)的非線性系統(tǒng),UKF 法實(shí)現(xiàn)的具體步驟如下。

①初始化狀態(tài)變量的均值x與協(xié)方差P

式(17)中:E為期望值;下標(biāo)0 為初始狀態(tài)。

②經(jīng)UT 變換,獲取2n+1 個(gè)σ采樣點(diǎn)

式(18)中:Xk-1為構(gòu)造的點(diǎn)集;λ為尺度調(diào)節(jié)因子。

③計(jì)算狀態(tài)變量的狀態(tài)協(xié)方差矩陣

式(20)-(21)中:Wm為均值權(quán)重;Wc為對(duì)應(yīng)的協(xié)方差權(quán)重;Qk為過程噪聲協(xié)方差矩陣。

④計(jì)算系統(tǒng)觀測(cè)的均值

⑤計(jì)算系統(tǒng)觀測(cè)的互協(xié)方差矩陣和協(xié)方差矩陣

式(25)中:Rk為觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣。

⑥計(jì)算卡爾曼增益K

⑦更新系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和誤差協(xié)方差矩陣

與EKF 法相比,UKF 法無(wú)需對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化處理,可直接代入非線性形式的電池模型,進(jìn)行SOC 估算,減小系統(tǒng)估計(jì)誤差,提高算法的精度。

3 仿真與結(jié)果分析

有關(guān)EKF 法的研究較深入,為突出UKF 法的優(yōu)越性,在MATLAB/Simulink 環(huán)境下,分別搭建基于EKF 法和UKF 法的鋰離子電池SOC 估計(jì)仿真模型,并對(duì)比兩種算法模型的精度。 仿真驗(yàn)證采用脈沖放電和恒流放電等兩種工況。

3.1 脈沖放電工況下的SOC 估計(jì)

仿真結(jié)果如圖6 所示。

圖6 脈沖放電工況下SOC 估計(jì)曲線Fig.6 SOC estimation curves at pulse discharge condition

從圖6 可知,在仿真初始階段,由于電池內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)還未達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),估計(jì)結(jié)果波動(dòng)都比較大,但隨著放電的進(jìn)行,仿真誤差逐漸減小并趨近于0。 EKF 法估計(jì)的整體誤差穩(wěn)定在0.04 以內(nèi),而UKF 法估計(jì)的整體誤差穩(wěn)定在0.01 以內(nèi),原因是UKF 法無(wú)需對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行局部線性化處理,可以直接代入非線性形式的電池模型中進(jìn)行SOC 估算,提高了算法的精度。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,UKF 法的精確性較好,對(duì)誤差有良好的矯正性。

3.2 恒流放電工況下的SOC 估計(jì)

在常溫下,利用電池測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)對(duì)滿充的鋰離子電池進(jìn)行恒流放電實(shí)驗(yàn),放電電流為0.50C,當(dāng)電池放電到截止電壓時(shí),停止放電。 采集放電過程的端電壓、放電電流與放電容量,與仿真結(jié)果對(duì)比,如圖7 所示。

圖7 恒流放電工況下SOC 估計(jì)曲線Fig.7 SOC estimation curves at galvanostatic discharge condition

從圖7 可知,仿真開始時(shí),恒流放電工況仿真結(jié)果與脈沖放電工況一樣,波動(dòng)都比較大,但隨著放電的進(jìn)行,仿真誤差逐漸減小并趨近0。 EKF 法估計(jì)的整體誤差穩(wěn)定在0.012以內(nèi),UKF 法估計(jì)的整體誤差穩(wěn)定在0.007 以內(nèi),再次證明利用UKF 法對(duì)電池SOC 進(jìn)行估計(jì),精確度較高。

4 結(jié)論

本文作者首先建立電池二階RC 等效電路模型,并通過脈沖放電工況實(shí)驗(yàn)獲得放電端電壓曲線,再對(duì)端電壓曲線進(jìn)行二階指數(shù)擬合,經(jīng)計(jì)算獲取模型離線辨識(shí)參數(shù),驗(yàn)證搭建仿真模型驗(yàn)證離線辨識(shí)的可行性及準(zhǔn)確性。 分別研究EKF法和UKF 法的基本原理,并進(jìn)行詳細(xì)介紹;再利用MATLAB仿真軟件,在Simulink 環(huán)境下,搭建基于EKF 法和UKF 法的電池SOC 估計(jì)仿真模型,并分別采用脈沖放電和恒流放電等兩種放電工況,驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性及算法精度。

從仿真結(jié)果可知,對(duì)于脈沖放電實(shí)驗(yàn),EKF 法估計(jì)整體誤差穩(wěn)定在0.04 以內(nèi),而UKF 法估計(jì)整體誤差穩(wěn)定在0.01以內(nèi)。 對(duì)于恒流放電實(shí)驗(yàn),EKF 法估計(jì)整體誤差穩(wěn)定在0.012 以內(nèi),UKF 法估計(jì)整體誤差穩(wěn)定在0.007 以內(nèi)。 相比于EKF 法,UKF 法估計(jì)精度更高,收斂性更好,因此UKF 法可以更好地滿足電池估計(jì)的要求。